第一课时 2.5.1 平面几何中的向量方法
教学要求：理解向量加减法与向量数量积的运算法则；会用向量知识解决几何问题；能通过向量运算研
究几何问题中点、线段、夹角之间的关系.
教学过程： 一、复习准备：
1.提问：向量的加减运算和数量积运算是怎样的?
2.讨论：① 若o 为ABC ∆的重心，则OA +OB +OC =0；
②水渠横断面是四边形ABCD ,DC =12
AB ,且|AD |=|BC |，则这个四边形为等腰梯形。
类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?
二、讲授新课：
1.教学平面几何的向量：
(1). 平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来。
例如，向量数量积对应着几何中的长度.如图：
平行四边行ABCD 中，设AB ＝，AD ＝，
则+=+=
（平移）
，-=-=， 2
2
b AD ==（长度）
．向量AD ，AB 的夹角为DAB ∠ (2). 讨论：①向量运算与几何中的结论“若b a =，则
=，且,所在直线平行或重合”相类比，你
有什么体会？
②由学生举出几个具有线性运算的几何实例．
(3). 用向量方法解平面几何问题的步骤（一般步骤） ① 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量． ② 通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等． ③ 把运算结果“翻译”成几何关系． 2.教学例题：
①例1：求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．
分析:由向量的数量积的性质，线段的长的平方可看做相应向量自身的内积．
② 例2：如图，平行四边行ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、 DC 边的中点，BE 、 BF 分别与AC 交于R 、
T 两点，你能发现AR 、 RT 、TC 之间的关系吗？ 分析：设,,,,n m
====分别
求向量,,即可。
③ 例3、如图，在OBCA 中，b OB a OA ==,-=+，求证四边形OBCA 为矩形
分析：要证四边形OBCA 为矩形，只需证一角为直角．
C
F
④ 练习：AC 为⊙O 的一条直径，ABC ∠为圆周角，求证90ABC ∠=︒
⑤ 练习：求证平行四边形对角线互相平分．
三、巩固练习：
1. 已知平行四边形ABCD ，E F 、在对角线BD 上，并且BE=FD ，求证AECF 是平行四边形．
2. 求证：两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
3. 在平行四边形ABCD 中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2，求对角线AC 的长．
四、作业：课本P113 习题2.5 A 组 1、2
第二课时：2.5.2 向量在物理中的应用举例
教学要求：理解向量线性运算及数量积运算，会用向量知识解决物理问题. 教学过程： 一、复习准备：
1. 讨论：①两个人提一个旅行包，夹角越大越费力。
②在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力.
2. 提问：类比物理元素之间的关系，你会想到向量运算之间有什么关系?
二、讲授新课：
1. 教学物理中的向量：
① 物理中有许多量，比如力、速度、加速度、位移都具有大小和方向，因而它们都是向量.
② 力、速度、加速度、位移的合成就是向量的加法，因而它们也符合向量加法的三角形法则和平行四边形法则。
力、速度、加速度、位移的分解也就是向量的分解，运动的叠加也用到了向量的加法。
③
动量mv 是数乘向量。
④ 力所做的功就是作用力F 与物体在力F 的作用下所产生的位移s 的数量积。
⑤ 用向量研究物理问题的方法：首先把物理问题转化成数学问题，即将物理量之间的关系抽象成数学模型，然后利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象。
⑥ 探究：学生举出几个关于力、速度、加速度、位移的例子。
2 .教学例题：
①
练习：（1）例1：某人在静水中游泳，速度为
① 如果他径直游向河对岸，水流速度为4km/h ，那么他实际上沿什么方向前进？速度大小为多少？ ② 他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？
(分析：解决此类行船问题的关键在于“水速+船速=船实际速度”，注意到速度是一个向量，既有大小、
又有方向.)
12150010/2/d m A B v km h v km h ===例。
一条河的两岸平行，河宽，一艘船从出发航行到河的正对岸处。
航行的速度，水流的速度，
问行驶航程最短时，所用的时间是多少？1212210/,2/.
v v v v km h v km h v v t =+==⊥分析：如图，已知，
，，求
（2）例2：在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力。
你能从数学的角度解释这种现象吗？
分析：上面的问题可以抽象为如图所示的数学模型。
只要分析清楚θ,,三角之间的关系（其中为
21,F F 的合力），就得到了问题的数学解释。
（3） 练习：如图,用两根分别长10m 和的绳子将100N 的物体吊在水平屋顶上，平衡后G 点距屋顶的距离恰好为5m ，求A 处受力的大小。
(分析：解决此类问题要先依题意将物理向量用有向线段来表示，利用向量加法的平行四边形法则，将物理问题转化为数学中向量加法，然后由已知条件进行计算.)
（4）练习：用两条成120︒角的等长的绳子挂一个灯具，已知灯具的重量10N ，则每根绳子的拉力大小是
多少?.
三、巩固练习：
1. 静水中船的速度是每分钟40m ，水流的速度是每分钟20m ，如果船沿着垂直水流的方向到达对岸，那么船行进的方向与河岸的夹角为_________.
2. 甲飞机从A 城市向北飞行了
，然后向东飞行300km ；乙飞机从B 城市向东飞行了300km ，然后向北飞行，那么甲、乙两飞机飞行的位移相等吗？为什么？
四、. 作业：教材P113 习题A 组2.5 3、4题.
2.3～2.4平面向量的坐标表示及数量积复习
一、基本知识点
1、向量的坐标运算
①若),(11y x a =，),(22y x b =，则+),(2121y y x x ++=，-),(2121y y x x --
=； ②若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --=。
2、向量的数量积
①向量数量积公式 )(cos 与是向量其中θθ=∙；
②若),(11y x =，),(22y x =，则2121y y x x b a +=∙。
3、平面向量的基本应用
（1）向量共线(平行)的充要条件：①)(//R ∈=⇔λλ ；②a ∥b (b
≠)⇔x
1y 2-x 2y
1=0。
（2）向量垂直的充要条件：①0a b a
b ⊥⇔∙
=；② 则02121
=+⇔⊥y y
x x （3）利用向量求长度： ①=
（即=）； ②
=
（4）利用向量求角度的大小（设a
=(x 1， y 1) ，b =(x 2， y 2)，向量a 与b 的夹角为θ）
① =
θcos ； ② 2
2
2
22
12
12
121cos
y x y x y y x x +∙++=
θ
二、典型例题
例1、已知4||||==b a ，且b a ,的夹角为60°。
⑴ 求||+-； ⑵ 求与-的夹角.
练习：1、已知向量a ，b 满足1,4,a b ==且2a b ⋅=,则a 与b 的夹角为( )
A ．
6π B ．4π C ．3π D ．2
π 2、已知 ,a b 均为单位向量，它们的夹角为0
60，那么3a b +=（ ）
A ．7
B ．10
C ．13
D ．4
例2、已知(1,2)a =,)2,3(-=,当k 为何值时，（1）ka b +与3a b -垂直？（2）ka +与3a -平
行？平行时它们是同向还是反向？
练习：1、向量(2,3)a =，(1,2)b =-，若ma b +与2a b -平行，则m 等于（ ）
A ．2-
B ．2
C ．21
D ．12
-
2、已知()()1, 0, 1, 1a b ==，若()
a b a λ+⊥，则实数λ=_______.
三、巩固练习
1、已知向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=则|2|-的最大值，最小值分别是（ ）
A ．0,24
B ．24,4
C ．16,0
D ．4,0
2、若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为 ．
3、已知点()()2,1, 3, 2A B -，向量()24, 6m k =-，且m ∥AB ，则k 的值为（ ）.
()()()(). 1 ; B . 2; C . 3 ; D . 4.A
4、已知向量()()(),12, 4,5, ,10OA k OB OC k ===-，且,,A B C 三点共线，求k 的值.
四、作业：
1、已知单位向量1e 与2e 的夹角为60，且22112, 32,a e e b e e =+=-+，求：（1）∙；（2）a 与b 的夹角。
2、(06全国II)已知向量()()sin ,1,1,cos ,.2
2
a b π
π
θθθ==-
<<
若a b ⊥,求θ;。