26.1 二次函数
知|识|目|标
1．通过对教材“问题1”“问题2”中所列函数关系式共同点的探索，归纳出二次函数的定义，并会判断一个函数是不是二次函数．
2．类比根据实际问题列出一次函数关系式的方法，能根据实际问题或几何图形写出二次函数的关系式及自变量的取值范围．
目标一能识别二次函数
例1 教材补充例题下列函数：①y＝x＋2；②y＝2x2；③y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数)；
④y＝3
x2；⑤y＝x(x＋1)；⑥y＝－
1
3
x2－x＋2；⑦y＝(x＋1)2－x(x＋1)．其中y一定是x的
二次函数的有哪些？请指出二次函数中相应的a，b，c的值．
【归纳总结】
1．一个函数是二次函数必须同时满足：
(1)函数关系式是整式；(2)化简后自变量的最高次数是2；(3)二次项系数不等于零．三者缺一不可．
2．确定二次函数中各项系数时，应先将关系式化为一般形式，注意各项系数应包括它前面的符号．
目标二会列二次函数关系式
例2 教材练习第1题针对训练如图26－1－1，有长为30 m的篱笆，现一面利用墙(墙的最大可用长度为15 m)围成中间隔有一道篱笆的长方形菜园．设菜园的一边AB＝x m，总面积为S m2，求S关于x的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．
图26－1－1
【归纳总结】列二次函数关系式“三步法”：
(1)审清题意，找到实际问题中的已知量(常量)和未知量(变量)，分析各量之间的关系，找出等量关系．
(2)根据实际问题中的等量关系，列出二次函数关系式，并化成一般形式．
(3)根据实际问题的意义及所列函数关系式，确定自变量的取值范围．
知识点一 二次函数的概念
定义：形如__________________________________的函数叫做二次函数．
其中x 是自变量，ax 2，bx ，c 分别是二次函数的二次项、一次项和常数项．a ，b ，c 分别是
二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．自变量x 的取值范围是__________． 知识点二 列二次函数关系式
根据题意用自变量表示出题目中的相关量，然后列出函数关系式．列出函数关系式后，要注意标明自变量的取值范围．
当m 为何值时，y ＝(m ＋1)是关于x 的二次函数？
解：令x 的指数是2，即m 2－3m －2＝2，
解得m 1＝－1，m 2＝4.
所以当m ＝－1或m ＝4时，y ＝(m ＋1)是关于x 的二次函数．
以上解答过程正确吗？若不正确，请指出错误，并给出正确的解答过程．
教师详解详析
【目标突破】
例1[解析] ①自变量的最高次数是1，不是二次函数；②是二次函数，a ＝2，b ＝0，c ＝0；③当a ＝0时不是二次函数；④函数关系式不是整式，故不是二次函数；⑤是二次函数，a ＝1，
b ＝1，
c ＝0；⑥是二次函数，a ＝－13
，b ＝－1，c ＝2；⑦化简得y ＝x ＋1，不是二次函数． 解：y 一定是x 的二次函数的有②⑤⑥.
②y ＝2x 2：a ＝2，b ＝0，c ＝0；
⑤y ＝x(x ＋1)：a ＝1，b ＝1，c ＝0；
⑥y ＝－13x 2－x ＋2：a ＝－13
，b ＝－1，c ＝2. 例2[解析] 因为AB ＝x m ，所以BC ＝(30－3x)m .利用长方形的面积公式可以写出S 关于x 的关系式，再利用给定墙的长度及篱笆长度可以求得自变量x 的取值范围．
解：由题意，得AB ＝x m ，则BC ＝(30－3x)m ，
∴S ＝x ·(30－3x)＝－3x 2＋30x.
又∵3AB ＝3x<30，且BC ＝30－3x ≤15，
∴x<10且x ≥5，
即自变量x 的取值范围是5≤x<10.
∴S ＝－3x 2＋30x(5≤x ＜10)．
备选目标 利用二次函数的关系式进行简单计算
例 已知二次函数y ＝ax 2＋2x －3，当x ＝1时，y ＝0.
(1)求a 的值；
(2)若x ＝2，求y 的值；
(3)若y ＝－4，求x 的值．
解：(1)把x ＝1，y ＝0代入y ＝ax 2＋2x －3中，解得a ＝1.
(2)由(1)知y ＝x 2＋2x －3.把x ＝2代入y ＝x 2＋2x －3中，得y ＝22＋2×2－3＝5.
(3)把y ＝－4代入y ＝x 2＋2x －3中，得x 2＋2x －3＝－4，解得x ＝－1.
【总结反思】
[小结] 知识点一 y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，a ≠0) 全体实数
[反思] 不正确．根据二次函数的定义，要使y ＝(m ＋1) 是关于x 的二次函数，
m 不但应满足m 2－3m －2＝2，而且还应满足m ＋1≠0，二者缺一不可．在解题过程中忽略了m
＋1≠0这一条件，所以解答过程不正确．
正解：根据题意知m 应满足的条件是m 2－3m －2＝2，且m ＋1≠0，解得m ＝4.
所以当m ＝4时，y ＝(m ＋1) 是关于x 的二次函数．。