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单元评估检测(四)第四章(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知下列命题:①0没有方向;②1是单位向量;③若a=b,b=c,则a=c;④若a∥b,b∥c(b≠0),则a∥c.其中正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选C.0有方向,其方向是任意的,1是实数,不是单位向量,所以①②都假;由向量相等的意义知③真;因为b ≠0,所以④真.2.(2015·福建高考)若(1+i)+(2-3i)=a+bi(a,b ∈R,i 是虚数单位),则a,b 的值分别等于 ( ) A.3,-2 B.3,2 C.3,-3 D.-1,4【解题提示】根据复数相等的含义求解.【解析】选A.由题可知3-2i=a+bi,因为a,b 均为实数,所以a=3,b=-2. 【加固训练】(2016·长春模拟)已知x 1+i=1-yi,其中x,y 是实数,i 是虚数单位,则x+yi 的共轭复数为 ( ) A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i 【解析】选D.由x 1+i=x−xi 2=1-yi 得{x 2=1,−x 2=−y,解得{x =2,y =1,故x+yi 的共轭复数为2-i.3.在平行四边形ABCD 中,已知BE →=12EC →,CF →=3FD →,设AB →=a ,AD →=b ,若EF →=x a +y b ,则xy= ( )A.32B.-32C.12D.-12【解题提示】数形结合,利用向量的线性运算法则求解. 【解析】选D.如图,因为BE →=12EC →,CF →=3FD →,所以EC →=23BC →=23AD →=23b ,CF →=34CD →=34BA →=-34a , EF →=EC →+CF →=23b -34a =-34a +23b ,又因为EF →=x a +y b ,a 与b 不共线, 所以x=-34,y=23,xy=-34×23=-12.4.(2016·烟台模拟)已知点A (2,−12),B (12,32),则与向量AB →方向相同的单位向量是 ( )A.(35,−45) B.(45,−35)C.(−35,45) D.(−45,35)【解析】选C.AB →=(−32,2),|AB →|=√(−32)2+22=52,所以AB→|AB →|=(−35,45).5.(2016·临沂模拟)已知向量a =(2,3),b =(-1,2),若m a +4b 与a -2b 共线,则m 的值为 ( )A.12B.2C.-12D.-2【解析】选D.由题意,得m a +4b =(2m-4,3m+8),a -2b =(4,-1), 所以-2m+4-4(3m+8)=0,即m=-2.【加固训练】已知a =(1,x),b =(-1,x),若2a -b 与a +2b 垂直,则|a |=( ) A.1 B.√2 C.√3 D.2 【解析】选B.因为a =(1,x),b =(-1,x), 所以2a -b =(3,x),a +2b =(-1,3x), 又因为2a -b 与a +2b 垂直,所以(2a -b )·(a +2b )=-3+3x 2=0, 即x 2=1,故|a |=√1+x 2=√1+1=√2.6.向量a ,b 均为非零向量,(a -2b )⊥a ,(b -2a )⊥b ,则a ,b 的夹角为 ( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6【解析】选B.因为(a -2b )·a =|a |2-2a ·b =0,即|a |2=2a ·b ,(b -2a )·b =|b |2-2a ·b =0,即|b |2=2a ·b ,所以|a |2=|b |2,即|a |=|b |, 设a 与b 的夹角为θ,则cos θ=||||a ba b =221||2||a a =12,因为θ∈[0,π],所以θ=π3.【加固训练】1.若|a |=2,|b |=4且(a +b )⊥a ,则a 与b 的夹角是 ( ) A.2π3B.π3C.4π3D.-2π3【解析】选 A.根据题意,由于|a |=2,|b |=4且(a +b )⊥a ,则有(a +b )·a =0⇔a 2+b ·a =0⇔4+b ·a =0,所以b ·a =-4,那么可知a 与b 的夹角的余弦值为||||b ab a =-48=-12,则a 与b 的夹角是2π3.2.若非零向量a ,b 满足|a |=3|b |=|a +2b |,则a 与b 夹角的余弦值为________. 【解析】由|a |=|a +2b |,设a 与b 的夹角为θ,等式两边平方得a 2+4a ·b +4b 2=a 2⇒a ·b =-b 2,所以cos θ=||||a ba b =223||b b =-13. 答案:-137.已知菱形ABCD 的边长为2,∠BAD=120°,点E,F 分别在边BC,DC 上,BC=3BE,DC=λDF.若AE →·AF →=1,则λ的值为 ( ) A.-1 B.1 C.-2 D.2【解析】选D.如图,由题意可得AB →·AD →=|AB →|·|AD →|c os120°=2×2×(−12)=-2,在菱形ABCD中,易知AB →=DC →,AD →=BC →,所以AE →=AB →+BE →=AB →+13AD →,AF →=AD →+DF →=1λAB →+AD →,AE →·AF →=(AB →+13AD →)·(1λAB →+AD →)=4λ+43-2(1+13λ)=1,解得λ=2.8.(2016·威海模拟)已知向量a ,b 的夹角为120°,且|a |=1,|b |=2,则向量a -b 在向量a +b 上的投影是 ( ) A.-√3 B.√3 C.√33D.-3【解析】选A.由已知,向量|a -b |2=|a |2+|b |2-2a ·b =1+4+2=7,|a +b |2=|a |2+|b |2+ 2a ·b =1+4-2=3,(a -b )·(a +b )=|a |2-|b |2=-3,则cos<a -b ,a +b >=()()||||a b a b a b a b√7×√3√217,向量a -b 在向量a +b 上的投影是|a -b |cos<a -b ,a +b >=√7×(−√217)=-√3.9.(2016·枣庄模拟)在△ABC 中,AP →=12(AB →+AC →),若sinC ·AC →+sinA ·PA →+sinB ·PB →=0,则△ABC 的形状为 ( ) A.等边三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形【解析】选A.设角A,B,C 的对边分别是a,b,c,由AP →=12(AB →+AC →),可知P 为BC 的中点,结合题意及正弦定理可得c AC →+a PA →+b PB →=0,故c(PC →-PA →)+a PA →-b PC →=(a-c)PA →+(c-b)PC →=0,而PA →与PC →为不共线向量,所以a-c=c-b=0,即a=b=c.10.设a ,b ,c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足a 与b 不共线,a ⊥c ,|a |=|c |,则|b ·c |的值一定等于 ( ) A.以a ,b 为邻边的平行四边形的面积 B.以b ,c 为邻边的平行四边形的面积 C.以a ,b 为两边的三角形的面积 D.以b ,c 为两边的三角形的面积【解题提示】数形结合,注意利用每两个向量夹角间的关系进行转化求解. 【解析】选A.如图,设b 与c 的夹角为θ, 因为a ⊥c ,所以a 与b 的夹角为3π2-θ,因为|a |=|c |,所以|b ·c |=||b ||c |cos θ|=所以|b ·c |是以a ,b 为邻边的平行四边形的面积.【加固训练】(2016·中山模拟)如图所示,点A,B,C 是圆O 上的三点,CO 的延长线与线段AB 交于圆内一点D,若OC →=x OA →+y OB →,则 ( )A.0<x+y<1B.x+y>1C.x+y<-1D.-1<x+y<0【解析】选C.由于A,B,D 三点共线,所以可设AD →=αAB →,则OD →=OA →+AD →=OA →+αAB →=OA →+α(OB →-OA →)=(1-α)OA →+αOB →,由于O,C,D 三点共线,且点D 在圆内,点C在圆上,OC →与OD →方向相反,则存在λ<-1,使得OC →=λOD →=λ[(1-α)OA →+αOB →] =λ(1-α)OA →+λαOB →=x OA →+y OB →,因此x=λ(1-α),y=λα,所以x+y=λ<-1.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2015·四川高考)设i 是虚数单位,则复数i-1i =________.【解题提示】利用i 2=-1,对所求式子化简,便可求解. 【解析】i-1i=i-ii 2=i+i=2i.答案:2i12.(2016·聊城模拟)已知平面向量a =(1,2),b =(4,2),c =m a +b (m ∈R),且a ·c =35a 2,则实数m 的值为________.【解析】由题意,得c =m(1,2)+(4,2)=(m+4,2m+2), 所以a ·c =m+4+(2m+2)×2 =5m+8,3 5a2=35(12+22)=3,5m+8=3,m=-1.答案:-113.已知向量a=(m,2),b=(-1,-2),若a+b与a-b共线,则a与b的夹角为________.【解析】因为a=(m,2),b=(-1,-2),所以a+b=(m-1,0),a-b=(m+1,4),由题意得,4(m-1)-0=0,即m=1,所以a=(1,2),因为b=(-1,-2),所以b=-a,即a与b共线反向,所以其夹角为π.答案:π14.(2015·浙江高考)已知e1,e2是平面单位向量,且e1·e2=12.若平面向量b满足b·e1=b·e2=1,则|b|=__________.【解析】由题可知,不妨设e1=(1,0),e2=(12,√32),设b=(x,y),则b·e1=x=1,b·e2=12x+√32y=1,所以b=(1,√33),所以|b|=√1+13=2√33,答案:2√33【加固训练】(2016·厦门模拟)已知向量a=(x-1,2),b=(4,y),若a⊥b,则9x+3y 的最小值为________.【解析】若a⊥b,则a·b=0,所以2x+y=2,由基本不等式得9x +3y ≥6,当且仅当9x =3y ,即x=12,y=1时等号成立.答案:615.设非零向量a ,b 的夹角为θ,记f(a ,b )=a cos θ-b sin θ,若e 1,e 2均为单位向量,且e 1·e 2=√32,则向量f(e 1,e 2)与f(e 2,-e 1)的夹角为______.【解题提示】根据e 1·e 2=√32求e 1与e 2的夹角,进而确定e 2与-e 1的夹角,根据新定义求向量f(e 1,e 2)与f(e 2,-e 1)的数量积,由此确定其夹角. 【解析】设e 1,e 2的夹角为α, 则e 2与-e 1的夹角为π-α, 由题意,得|e 1|=|e 2|=1,所以e 1·e 2=|e 1||e 2|cos α=cos α=√32, 故α=π6,π-α=56π,所以f(e 1,e 2)=e 1cos π6-e 2sin π6=√32e 1-12e 2,f(e 2,-e 1)=e 2cos 56π-=12e 1-√32e 2,f(e 1,e 2)·f(e 2,-e 1)==√34-e 1·e 2+√34=√32-√32=0. 所以f(e 1,e 2)与f(e 2,-e 1)的夹角为π2. 答案:π2【方法技巧】平面向量的数量积的运算技巧(1)平面向量数量积的运算类似于多项式的乘法运算,特别要注意乘法公式的应用.(2)熟记公式a 2=|a |2=a ·a ,在遇到向量模的问题时,可将所给等式(不等式)两边平方,将向量问题转化为实数问题来解决.三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)解答下列各题 (1)若z=√3i (√3+i)2,求|z|. (2)设复数z 的共轭复数为z ̅,且z ·z ̅-3iz=101−3i,求z.【解析】(1)z=√3i (√3+i)2=√3i 2+2√3i =√3i)22(1+√3i)(1−√3i)=−2−2√3i8=-14-√34i,所以|z|=√116+316=12.(2)设z=a+bi(a,b ∈R),则z ̅=a-bi, 因为z ·z ̅-3iz=101−3i,所以a 2+b 2-3ai+3b=10(1+3i)(1−3i)(1+3i),即(a 2+b 2+3b)-3ai=1+3i,所以{a 2+b 2+3b =1,−3a =3.解得{a =−1,b =0或{a =−1,b =−3.所以z=-1或z=-1-3i.17.(12分)已知△ABC 是等腰直角三角形,|AB →|=|AC →|=1.BC →=4BD →. (1)求AD →·(AB →-AC →).(2)若点M 在线段BC 上,求AM →·MD →的最大值. 【解析】(1)如图,以A 点为坐标原点,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(0,1),因为BC →=4BD →,所以BD →=14BC →=14(-1,1)=(−14,14),所以D (34,14),所以AD →=(34,14),AB→-AC →=CB →=(1,-1), 所以AD →·(AB →-AC →)=34-14=12.(2)设BM →=x BC →=(-x,x),所以M(-x+1,x),AM →=(-x+1,x),MD →=(x −14,14−x), AM →·MD →=(-x+1)(x −14)+x (14−x)=-2x 2+32x-14=-2(x 2−34x +964−964)-14=-2(x −38)2+132.又因为x ∈[0,1], 所以(AM →·MD →)m a x =132.18.(12分)(2016·临沂模拟)已知a =(cos π3x,sinπ3x),b =A(cos2φ,-sin2φ),f(x)=a ·b (A >0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,P,Q 分别是该图象的最高点和最低点,点P 的坐标为(1,A),点R 的坐标为(1,0),△PRQ 的面积为3√32.(1)求A 及φ的值.(2)将f(x)的图象向左平移2个单位长度后得到函数g(x)的图象,求函数g(x)的单调减区间.【解析】(1)因为f(x)=a ·b =Acos π3xcos2φ-Asin π3xsin2φ=A c os (π3x +2φ),所以函数f(x)的周期T=2ππ3=6.如图,设PQ 与x 轴的交点为M,则点M 是函数f(x)的图象与x 轴的一个交点,由题意得|RM|=14T=32,|PR|=A,所以S △PRQ =2·S △PRM =2×12×32×A=3√32,即A=√3所以P(1,√3),f(x)=√3cos (π3x +2φ), f(1)=√3(π3+2φ)=√3,即sin (π3+2φ)=1,所以π3+2φ=π2+2k π(k ∈Z).因为|φ|<π2,所以φ=π12,综上,A=√3,φ=π12.(2)由(1)得f(x)=√3cos (π3x +π6),由题意得g(x)=√3cos [π3(x +2)+π6]=√3cos (π3x +56π),由2k π≤π3x+56π≤2k π+π(k ∈Z),得6k-52≤x ≤6k+12(k ∈Z),即函数g(x)的单调减区间为[6k −52,6k +12](k ∈Z).【加固训练】已知复平面内平行四边形ABCD(A,B,C,D 按逆时针排列),A 点对应的复数为2+i,向量BA →对应的复数为1+2i,向量BC →对应的复数为3-i. (1)求点C,D 对应的复数. (2)求平行四边形ABCD 的面积.【解题提示】运用向量、复数间的对应关系解题.【解析】(1)设点O 为原点,因为向量BA →对应的复数为1+2i,向量BC →对应的复数为3-i,所以向量AC →对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i,又OC →=OA →+AC →,所以点C 对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i,又BD →=BA →+BC →=(1+2i)+(3-i)=4+i,OB →=OA →-BA →=2+i-(1+2i)=1-i,所以OD →=OB →+BD →=1-i+(4+i)=5, 所以点D 对应的复数为5. (2)由题知BA →=(1,2),BC →=(3,-1), 因为BA →·BC →=|BA →||BC →|c osB, 所以cosB=BA →·BC→|BA →||BC →|=√5×√10=5√2,所以sinB=5√2,又|BA →|=√5,|BC →|=√10,所以面积S=|BA →||BC →|sinB=√5×√10×5√2=7.所以平行四边形ABCD 的面积为7.19.(12分)设a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β), 且√3|a -k b |=|k a +b |(k>0). (1)若f(k)=a ·b ,求f(k)的表达式.(2)当f(k)取最小值时,求向量a 与b 的夹角.【解题提示】(1)利用条件建立k 与a ·b 的关系,由此求f(k)的表达式. (2)利用函数的思想求f(k)的最小值,并由此求向量a 与b 的夹角. 【解析】(1)因为a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),所以|a |=|b |=1. 由√3|a -k b |=|k a +b |,得3(a -k b )2=(k a +b )2,即3(1-2k a ·b +k 2)=k 2+2k a ·b +1, 8k a ·b =2k 2+2,因为k>0,所以a ·b =k 2+14k.所以f(k)=a ·b =k 2+14k(k>0). (2)因为k>0,f(k)=k 2+14k=k 4+14k≥2√k4·14k =12,当且仅当k 4=14k,即k=1时,“=”成立, 此时a ·b =k 2+14k=12,设a 与b 的夹角为θ,则cos θ=||||a b a b =12,因为θ∈[0,π],所以θ=π3.【一题多解】解答本题(1)还可采用如下解法: 因为a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β), 所以a -k b =(cos α-kcos β,sin α-ksin β), k a +b =(kcos α+cos β,ksin α+sin β),(a -k b )2=(cos α-kcos β)2+(sin α-ksin β)2=1+k 2-2kcos(α-β), (k a +b )2=(kcos α+cos β)2+(ksin α+sin β)2=1+k 2+2kcos(α-β), 由√3|a -k b |=|k a +b |,得3(a -k b )2=(k a +b )2,即3[1+k 2-2kcos(α-β)]= 1+k 2+2kcos(α-β),所以cos(α-β)=k 2+14k,所以f(k)=a ·b =cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β)=k 2+14k(k>0).20.(13分)已知m =(1,1),向量n 与m 的夹角为3π4,且m ·n =-1.(1)求向量n 的坐标.(2)已知q =(1,0),若n ⊥q ,p =(cosA,2cos 2C2),其中A,C 为△ABC 的内角,且A+C=2π3,求|n +p |的最小值.【解题提示】(1)根据题意列方程组求向量n 的坐标. (2)根据题意转化为三角函数的最值. 【解析】(1)设n =(x,y),由题意得 m ·n =x+y=-1.① cos3π4=,√2·√x 2+y 2=-√22,x 2+y 2=1.②联立①②得,{x =−1,y =0或{x =0,y =−1.即n =(-1,0)或n =(0,-1).(2)因为q =(1,0),n ⊥q ,所以n =(0,-1), 所以n +p =(cosA,2cos 2C2−1)=(cosA,cosC),|n +p |=√cos 2A +cos 2C , 因为A+C=2π3,所以C=2π3-A,A ∈(0,23π),所以|n +p |=√cos 2A +cos 2(23π−A) =√1+cos2A2+1+cos(43π−2A)2=√1+12cos (2A +π3).因为A ∈(0,23π),所以2A+π3∈(π3,5π3),所以当2A+π3=π,即A=π3时,|n +p |min =√1−12=√22.21.(14分)(2016·青岛模拟)已知A (cos x2,sin x2),B (cos3x 2,−sin 32x),其中x ∈[−π2,0].(1)求|AB →|的表达式.(2)若OA →·OB →=13(O 为坐标原点),求tanx 的值.(3)若f(x)=AB → 2+4λ|AB →|(λ∈R),求函数f(x)的最小值. 【解题提示】(1)先求AB →的坐标,再求模.(2)利用向量的数量积转化为三角函数的条件求值.(3)转化为关于sinx 的二次函数的最值问题,注意x 的取值范围. 【解析】(1)|AB →|=√(cos x 2−cos 32x)2+(sin x 2+sin 32x)2=√2−2cos2x =√4sin 2x . 因为x ∈[−π2,0],所以|AB →|=-2sinx.(2)因为OA →·OB →=cos x2cos 32x-sin x2sin 32x=cos2x, 所以cos2x=13,1-2sin 2x=13,sin 2x=13,因为x ∈[−π2,0],所以sinx=-√33.进而可得cosx=√63,所以tanx=-√22. (3)f(x)=AB →2+4λ|AB →|=4sin 2x-8λsinx =4(sinx-λ)2-4λ2,因为x ∈[−π2,0],所以sinx ∈[-1,0].①当-1≤λ≤0时,f(x)的最小值为-4λ2,此时sinx=λ; ②当λ<-1时,f(x)的最小值为8λ+4,此时sinx=-1; ③当λ>0时,f(x)的最小值为0,此时sinx=0.【加固训练】(2016·福州模拟)已知点A(2,0),B(0,2),O(0,0),C(cos α,sin α),且0<α<π.(1)若|OA →+OC →|=√7,求OB →与OC →的夹角. (2)若AC →⊥BC →,求tan α的值. 【解析】(1)因为|OA →+OC →|=√7, 所以(2+cos α)2+sin 2α=7, 所以cos α=12.又因为α∈(0,π),所以α=∠AOC=π3,又因为∠AOB=π2, 所以OB →与OC →的夹角为π6. (2)AC →=(cos α-2,sin α),BC →=(cos α,sin α-2).因为AC →⊥BC →,所以AC →·BC →=0, 所以cos α+sin α=12, ①所以(cos α+sin α)2=14,所以2sin αcos α=-34.又因为α∈(0,π),所以α∈(π2,π).因为(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α =74,cos α-sin α<0,所以cos α-sin α=-√72. ② 由①②得cos α=1−√74,sin α=1+√74, 所以tan α=-4+√73. 关闭Word 文档返回原板块。