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河南省郑州市高考数学二模试卷(文科)

高考数学二模试卷(文科)题号一二三总分得分一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.已知全集U=R,A={x|-1<x<1},B={y|y>0},则A∩(∁R B)=()A. (-1,0)B. (-1,0]C. (0,1)D. [0,1)2.已知i是虚数单位,复数z满足,则|z|=()A. 5B.C.D.3.南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项求值比较先进的算法,已知f(x)=2019x2018+2018x2017+…+2x+1,程序框图设计的是f(x)的值,在M处应填的执行语句是()A. n=iB. n=2019-iC. n=i+1D. n=2018-i4.已知双曲线的离心率为,则它的一条渐近线被圆x2+y2-6x=0截得的线段长为()A. B. 3 C. D.5.将甲、乙两个篮球队5场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图,由图可知以下结论正确的是()A. 甲队平均得分高于乙队的平均得分B. 甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数C. 甲队得分的方差大于乙队得分的方差D. 甲乙两队得分的极差相等6.将函数f(x)=2sin x的图象向左平移个单位,然后纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,得到g(x)的图象,下面四个结论正确的是()A. 函数g(x)在[π,2π]上的最大值为1B. 将函数g(x)的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称C. 点是函数g(x)图象的一个对称中心D. 函数g(x)在区间上为增函数7.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数.例如:[-2.1]=-3,[3.1]=3,已知函数,则函数y=[f(x)]的值域为()A. {0,1,2,3}B. {0,1,2}C. {1,2,3}D. {1,2}8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A. B. C. D. 29.已知抛物线C:y2=2x,过原点作两条互相垂直的直线分别交C于A,B两点(A,B均不与坐标原点重合),则抛物线的焦点F到直线AB距离的最大值为()A. 2B. 3C.D. 410.已知平面向量满足,,,若对于任意实数k,不等式恒成立,则实数t的取值范围是()A. B.C. D.11.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=DD1=1,,E,F,G分别是棱AB,BC,CC1的中点,P是底面ABCD内一动点,若直线D1P与平面EFG没有公共点,则三角形PBB1面积的最小值为()A. B. 1 C. D.12.函数f(x)是定义在(0,+∞)上的可导函数,f'(x)为其导函数,若xf'(x)+f(x)=e x(x-2)且f(3)=0,则不等式f(x)<0的解集为()A. (0,2)B. (0,3)C. (2,3)D. (3,+∞)二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.已知O为坐标原点,向量,,若,则=______.14.设实数x,y满足,则的取值范围为______.15.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sin C+2sin C cos B=sin A,,,,则b=______.16.已知函数,若函数f(x)有两个极值点x1,x2,且,则实数a的取值范围是______.三、解答题(本大题共7小题,共82.0分)17.数列{a n}满足:,n∈N*.(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)设,数列{b n}的前n项和为S n,求满足的最小正整数n.18.四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,,△PAD是等边三角形,F为AD的中点,PD⊥BF.(Ⅰ)求证:AD⊥PB;(Ⅱ)若E在线段BC上,且,能否在棱PC上找到一点G,使平面DEG⊥平面ABCD?若存在,求四面体D-CEG的体积.19.为推动更多人阅读,联合国教科文组织确定每年的4月23日为“世界读书日”.设立目的是希望居住在世界各地的人,无论你是年老还是年轻,无论你是贫穷还是富裕,都能享受阅读的乐趣,都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的思想大师们,都能保护知识产权.为了解不同年龄段居民的主要阅读方式,某校兴趣小组在全市随机调查了200名居民,经统计这200人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为3:1.将这200人按年龄分组,其中统计通过电子阅读的居民得到的频率分布直方图如图所示.(Ⅰ)求a的值及通过电子阅读的居民的平均年龄;电子阅读纸质阅读合计青少年中老年合计(Ⅱ)把年龄在第1,2,3组的居民称为青少年组,年龄在第4,5组的居民称为中老年组,若选出的200人中通过纸质阅读的中老年有30人,请完成上面2×2列联表,则是否有97.5%的把握认为阅读方式与年龄有关?p(K2≥k0)0.150.100.050.0250.010k0 2.0722.7063.8415.0246.635K2=.20.椭圆C:的左、右焦点分别为F1,F2,A为椭圆上一动点(异于左、右顶点),若△AF1F2的周长为,且面积的最大值为.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设A,B是椭圆C上两动点,线段AB的中点为P,OA,OB的斜率分别为k1,k2(O为坐标原点),且,求|OP|的取值范围.21.已知函数f(x)=ax lnx-bx2-ax.(Ⅰ)曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为,求a,b的值;(Ⅱ)若a≤0,时,∀x1,x2∈(1,e),都有,求a的取值范围.22.在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12,直线l的参数方程为为参数).直线l与曲线C分别交于M,N两点.(Ⅰ)若点P的极坐标为(2,π),求|PM|•|PN|的值;(Ⅱ)求曲线C的内接矩形周长的最大值.23.设函数f(x)=|ax+1|+|x-a|(a>0),g(x)=x2-x.(Ⅰ)当a=1时,求不等式g(x)≥f(x)的解集;(Ⅱ)已知f(x)≥2恒成立,求a的取值范围.答案和解析1.【答案】B【解析】解:∁R B={y|y≤0};∴A∩(∁R B)=(-1,0].故选:B.进行交集、补集的运算即可.考查描述法、区间的定义,以及交集、补集的运算.2.【答案】C【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数模的求法,是基础题.把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简,然后代入复数模的计算公式求解.【解答】解:由,得2z=i-iz,则z=,∴|z|=.故选:C.3.【答案】B【解析】解:由题意,n的值为多项式的系数,由2019,2018,2017…直到1,由程序框图可知,处理框处应该填入n=2019-i.故选:B.由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,模拟程序的运行过程,可得答案.本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环的方法解答.4.【答案】D【解析】解:∵双曲线的离心率e=,∴双曲线是等轴双曲线,则双曲线的一条渐近线为y=x,代入x2+y2-6x=0得x2+x2-6x=0,即x2-3x=0,得x=0或x=3,对应的y=0或y=3,则交点坐标为A(0,0),B(3,3),则|AB|==3,故选:D.根据双曲线的离心率得到双曲线是等轴双曲线,得到双曲线的渐近线方程为y=x,联立方程求出交点坐标即可得到结论.本题主要考查双曲线的性质以及直线和圆相交的弦长的计算,根据双曲线的离心率得到双曲线是等轴双曲线是解决本题的关键.5.【答案】C【解析】解:对于A,甲的平均数为(26+28+29+31+31)=29,乙的平均数为(28+29+30+31+32)=30,故错误;对于B,甲队得分的中位数是29,乙队得分的中位数是30,故错误;对于C,甲成绩的方差为:s2=×[(26-29)2+(28-29)2+(29-29)2+(31-29)2+(31-29)2]=.乙成绩的方差为:s2=×[(28-30)2+(29-30)2+(30-30)2+(31-30)2+(32-30)2]=2.可得甲队得分的方差大于乙队得分的方差,故正确;对于D,甲的极差是31-26=5.乙的极差是32-28=4,两者不相等,故错误.故选:C.根据中位数,平均数,极差,方差的概念计算比较可得.本题考查了考查茎叶图的性质等基础知识,考查中位数,平均数,极差,方差的概念计算及运算求解能力,是基础题.6.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查函数y=A sin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象和性质,属于中档题.利用函数y=A sin(ωx+φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式,再利用正弦函数的图象和性质,得出结论.【解答】解:将函数f(x)=2sin x的图象向左平移个单位,可得y=2sin(x+)的图象,然后纵坐标不变,把横坐标变为原来的2倍,得到g(x)=2sin(x+)的图象,在[π,2π]上,+∈[,],g(x)=2sin(x+)的最大值为,故A错误;将函数g(x)的图象向右平移个单位后得到的图象对应函数的解析式为y=2sin(x+),它不是奇函数,图象不关于原点对称,故B错误;当x=时,g(x)=≠0,故点不是函数g(x)图象的一个对称中心,故C错误;在区间上,+∈[,],故函数g(x)在区间上为增函数,故D正确,故选D.7.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查函数值域的计算,结合分式函数的分子常数法先求出f(x)的取值范围是解决本题的关键,属于基础题.利用分式函数分子常数化,结合指数函数的性质先求出f(x)的取值范围,结合[x]的定义进行求解即可.【解答】解:==1+,∵2x>0,∴1+2x>1,0<<1,则0<<2,1<1+<3,即1<f(x)<3,当1<f(x)<2时,[f(x)]=1,当2≤f(x)<3时,[f(x)]=2,综上函数y=[f(x)]的值域为{1,2},故选:D.8.【答案】A【解析】解:几何体的直观图,是长方体的一部分,棱锥P-ABCD,所以几何体的体积为:=.故选:A.画出几何体的直观图,是长方体的一部分,棱锥P-ABCD,利用三视图的数据求解几何体的体积即可.本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积,解决本题的关键是得到该几何体的形状.9.【答案】C【解析】解:设直线AB的方程为:x=my+t,A(x1,y1),B(22,y2).由⇒y2-2my-2t=0⇒y1y2=-2t由OA⊥OB⇒x1x2+y1y2=⇒y1y2=-4,∴t=2,即直线AB过定点(2,0).∴抛物线的焦点F到直线AB距离的最大值为2-=.故选:C.利用由OA⊥OB⇒y1y2=-4,即可得直线AB过定点(2,0).即可求抛物线的焦点F到直线AB距离的最大值为2-=.本题考查了抛物线的性质,考查了转化思想,属于中档题.10.【答案】B【解析】解:由,,,得=-1,又对于任意实数k,不等式恒成立,即对于任意实数k,不等式k22+t22>1恒成立,即对于任意实数k,不等式k2-2tk+4t2-1>0恒成立,即△=4t2-4(4t2-1)<0,解得:t或t,故选:B.由向量的模的运算得:易得=-1,又对于任意实数k,不等式恒成立,即对于任意实数k,不等式k22+t22>1恒成立,即对于任意实数k,不等式k2-2tk+4t2-1>0恒成立,由二次不等式恒成立问题得:△=4t2-4(4t2-1)<0,解得:t或t,得解.本题考查了向量的模的运算、平面向量数量积的性质及其运算及二次不等式恒成立问题,属中档题11.【答案】C【解析】解::补全截面EFG为截面EFGHQR如图,设BR⊥AC,∵直线D1P与平面EFG不存在公共点,∴D1P∥平面EFGHQR,易知平面ACD1∥平面EFGHQR,∴P∈AC,且当P与R重合时,BP=BR最短,此时△PBB1的面积最小,由等积法:BR×AC=BE×BF,=,∴BP=,又BB1⊥平面ABCD,∴BB1⊥BP,△PBB1为直角三角形,∴△PBB1的面积为:=,故选:C.由直线与平面没有公共点可知线面平行,补全所给截面后,易得两个平行截面,从而确定点P所在线段,得解.此题考查了线面平行,面面平行,有探索性质,设计较好,难度适中.12.【答案】B【解析】解:函数f(x)是定义在(0,+∞)上的可导函数,f'(x)为其导函数,令φ(x)=xf(x),则φ′(x)=x•f'(x)+f(x)=e x(x-2),可知当x∈(0,2)时,φ(x)是单调减函数,并且0•f'(0)+f(0)=e0(0-2)=-2<0,,所以f(0)<0,x∈(2,+∞)时,函数φ(x)是单调增函数,且f(3)=0,则φ(3)=3f(3)=0,则不等式f(x)<0的解集就是xf(x)<0的解集,所以不等式f(x)<0的解集为:{x|0<x<3}.故选:B.构造函数,φ(x)=xf(x),利用导数研究函数的单调性,转化求解不等式的解集即可.本题考查利用导数研究函数的单调性,函数的单调性的应用,不等式的解法,考查转化思想以及计算能力.13.【答案】【解析】解:∵,;∴;∴;∴.故答案为:.根据即可求出,带入的坐标即可求出的坐标,从而求出.考查向量减法的几何意义,向量的数乘运算,向量坐标的加法运算.14.【答案】[-3,-]【解析】解:实数x,y满足约束条件的平面区域如图所示,A(-2,),B(-1,3),的几何意义是可行域上的点到原点的斜率;当直线为OA时,z有最大值为;当直线为OB时,z有最小值为-3;所以,的取值范围为:[-3,-].故答案为:[-3,-].先根据约束条件画出可行域,根据的几何意义求最值.本题主要考查了用平面区域表示二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的思想,属中档题.画出可行域,的几何意义是可行域上的点到原点的斜率,由图即可求解.15.【答案】【解析】解:∵sin C+2sin C cos B=sin A=sin(B+C)=sin B cos C+cos B sin C,∴可得:sin C+sin C cos B=sin B cos C,∴sin C=sin B cos C-sin C cos B=sin(B-C),∵,,,可得B为锐角,sin B==,∴B-C∈(-,),∴C=B-C,可得:B=2C,∴cos B=cos2C=1-2sin2C=,可得:sin C=,cos C=,∴sin A=sin(B+C)=sin B cos C+cos B sin C==,∴由正弦定理可得:b===.故答案为:.由两角和与差的正弦函数公式化简已知等式可得sin C=sin(B-C),结合角的范围可求B=2C,利用同角三角函数基本关系式可求sin B的值,利用二倍角公式可求sin C,进而可求cos C的值,利用两角和的正弦函数公式可求sin A的值,根据正弦定理即可解得b 的值.本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式,同角三角函数基本关系式,二倍角公式,正弦定理在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.16.【答案】(0,]【解析】解:∵函数f(x)有两个极值点x1,x2,∴f′(x)=ae x-x有两个极值点x1,x2,∴f′(x)=ae x-x=0有两个零点x1,x2,∴=x1,=x2,两式作比,得==,令x2-x1=t,①,则,②∴,代入①,得:,由②,得,∴t≥ln2,令g(t)=,t≥ln2,则g′(t)=,令h(t)=e t-1-te t,则h′(t)=-te t<0,∴h(t)单调递减,∴h(t)≤h(ln2)=1-2ln2<0,∴g(t)单调递减,∴g(t)≤g(ln2)=ln2,即x1≤ln2,∵a=,令μ(x)=,则>0,∴μ(x)在x≤ln2上单调递增,∴μ(x)≤,∴a≤,∵f′(x)=ae x-x有两个零点x1,x2,μ(x)在R上与y=a有两个交点,∵,在(-∞,1)上,μ′(x)>0,μ(x)单调递增,在(1,+∞)上,μ′(x)<0,μ(x)单调递减,∴μ(x)的最大值为μ(1)=,大致图象为:∴0<a<,∵,,∴0<a.∴实数a的取值范围是(0,].故答案为:(0,].由题意可得=x1,=x2,作比,得=,令x2-x1=t,结合条件将x1定成关于t的函数,求导分析得到x1的范围,再结合a=得到a的范围,与函数f(x)有两个极值点时a的范围取交集即可.本题考查利用导数研究函数零点问题,利用导数研究函数的单调性与极值、最值问题,运用整体换元方法,体现了减元思想,是难题.17.【答案】解:(Ⅰ)由题意,,当n≥2时,,两式相减得,,即a n=2n(n+1)(n≥2).当n=1时,a1=4也符合,∴a n=2n(n+1);(Ⅱ),∴=.由>,解得n>9.∴满足的最小正整数n=10.【解析】(Ⅰ)由已知数列递推式可得(n≥2),与原递推式作差可得{a n}的通项公式;(Ⅱ)把{a n}的通项公式代入,然后利用裂项相消法求数列{b n}的前n项和为S n,再求解不等式得答案.本题考查数列递推式,训练了利用裂项相消法求数列的前n项和,是中档题.18.【答案】(Ⅰ)证明:连接PF,∵△PAD是等边三角形,∴PF⊥AD,又底面ABCD是菱形,∠BAD=,∴BF⊥AD,又PF∩BF=F,∴AD⊥平面BFP,则AD⊥PB;(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,AD⊥BF,又PD⊥BF,AD∩PD=D,∴BF⊥平面PAD,则平面ABCD⊥平面PAD,∵平面ABCD∩平面PAD=AD,PF⊥AD,∴PF⊥平面ABCD,连接CF交DE于H,过H作HG∥PF交PC于G,∴GH⊥平面ABCD,又∵GH⊂平面DEG,∴平面DEG⊥平面ABCD,∵,∴,∴,则=.【解析】(Ⅰ)连接PF,由已知可得PF⊥AD,BF⊥AD,由线面垂直的判定可得AD⊥平面BFP,则AD⊥PB;(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,BF⊥平面PAD,则平面ABCD⊥平面PAD,进一步得到PF⊥平面ABCD,连接CF交DE于H,过H作HG∥PF交PC于G,则GH⊥平面ABCD,得到平面DEG⊥平面ABCD,然后利用等积法求四面体D-CEG的体积.本题考查空间中直线与直线,直线与平面的位置关系及其应用,考查空间想象能力与思维能力,训练了多面体体积的求法,是中档题.19.【答案】解:(Ⅰ)根据频率分布直方图知,10×(0.01+0.015+a+0.03+0.01)=1,解得a=0.035,所以通过电子阅读的居民的平均年龄为20×10×0.01+30×10×0.015+40×10×0.035+50×10×0.03+60×10×0.01=41.5;(Ⅱ)根据题意填写列联表如下,电子阅读纸质阅读合计青少年9020110中老年603090合计15050200计算K2=≈6.061>5.024,所以有97.5%的把握认为阅读方式与年龄有关.【解析】(Ⅰ)根据频率和为1,列方程求出a的值,再计算数据的平均值;(Ⅱ)根据题意填写列联表,计算观测值,对照数表得出结论.本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题,是基础题.20.【答案】解:(Ⅰ)由椭圆的定义可得2(a+c)=4+2,所以a+c=2+…①,当A在上(或下)顶点时,△AF1F2的面积取得最大值,即最大值为bc=…②,由①②及a2=c2+b2联立求得a=2,b=1,c=,可得椭圆方程为+y2=1,(Ⅱ)当直线AB的斜率k不存在时,直线OA的方程为,此时不妨取A(,),B(,-),P(,0),则|OP|=.当直线AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m,联立,消y得:(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,△=64k2m2-4(4k2+1)(4m2-4)=16(4k2-m2+1),设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.∵,∴4y1y2+x1x2=0,⇒4(kx1+m)(kx2+m)+x1x2═(1+4k2)x1x2+4km(x1+x2)+4m2=4m2-4-+4m2=0.整理,得:2m2=4k2+1,∴,△=16m2>0.设P(x0,y0),,,∴|OP|2=.|OP|的取值范围为[,).综上,|OP|的取值范围为[,].【解析】本题考查椭圆方程的求法,考查椭圆、直线方程、韦达定理等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,是中档题.(Ⅰ)由椭圆的定义可得2(a+c)=4+2,bc=,结合a,b,c的关系,解方程可得a,b,进而得到椭圆方程.(Ⅱ)分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论,设直线AB的方程为y=kx+m,联立直线与椭圆方程,得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,利用韦达定理,结合题设条件能求出|OP|的取值范围.21.【答案】解:(Ⅰ)由题意,f′(x)=a(1+ln x)-2bx-a=a ln x-2bx,由f′(1)=-2b=-1,得b=,又f(1)=-b-a=-,∴a=1.即a=1,b=;(Ⅱ)当a≤0,时,f′(x)=a ln x-x<0,f(x)在(1,e)上单调递减,不妨设x1<x2,则f(x1)>f(x2),原不等式即为<3.即f(x1)-f(x2)<3x2-3x1,即f(x1)+3x1<f(x2)+3x2.令g(x)=f(x)+3x,则g(x)在(1,e)上为单调增函数,∴有g′(x)=f′(x)+3=a ln x-x+3≥0在(1,e)上恒成立.即a≥,x∈(1,e),令h(x)=,x∈(1,e),h′(x)=,令t(x)=ln x+,t′(x)=.∴t(x)在(1,e)上单调递减,t(x)>t(e)=,则h′(x)>0,h(x)在(1,e)上为单调增函数,∴h(x)<h(e)=e-3,即a≥e-3.综上,e-3≤a≤0.【解析】(Ⅰ)求出原函数的导函数,利用f′(1)=-2b=-1,求得b,再由f(1)=-b-a=-求解a;(Ⅱ)当a≤0,时,f′(x)=a ln x-x<0,f(x)在(1,e)上单调递减,不妨设x1<x2,则f(x1)>f(x2),原不等式即为<3,即f(x1)+3x1<f(x2)+3x2,构造函数g(x)=f(x)+3x,得到g′(x)=f′(x)+3=a ln x-x+3≥0在(1,e)上恒成立,分离参数a,得到a≥,x∈(1,e),再由导数求函数h(x)=,x∈(1,e)的最值,可得a的取值范围.本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查利用导数求最值,考查化归与转化思想方法,属难题.22.【答案】解:(Ⅰ)曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12,转换为直角坐标方程为:.点P的极坐标为(2,π),转换为直角坐标为(-2,0).把直线l的参数方程为为参数).代入椭圆的方程为:(t1和t2为A、B对应的参数)所以:t1•t2=-4.故:|PM|•|PN|=|t1•t2|=4(Ⅱ)由椭圆的直角坐标方程转换为(),所以:以A为顶点的内接矩形的周长为4(2)=16sin()()所以:当时,周长的最大值为16.【解析】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变变换,参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换,一元二次方程根和系数关系的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.(Ⅰ)直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程为进行转换,进一步利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果.(Ⅱ)利用三角函数关系式的变换的应用求出结果.23.【答案】解:(1)当a=1时,g(x)≥f(x)⇔或或,解得x≤-1或x≥3,所以原不等式的解集为{x|x≤-1或x≥3}(2)f(x)=,当0<a≤1时,f(x)min=f(a)=a2+1≥2,a=1;当a>1时,f(x)max=f(-)=a+≥2,a>1,综上:a∈[1,+∞)【解析】本题考查了绝对值不等式的解法,属中档题.(1)分3种情况去绝对值,解不等式组再相并;(2)按照0<a≤1和a>1求出分段函数的最小值,由最小值大于等于2可得.。

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