1 5 1 5 f n C1 C 2 2 2
n
n
3.Fibonacci数列的通项公式
根据初始条件 f1 f 2 1 ,可能确定常数
c1 , c2 ,
[c1,c2]=solve('c1*(1+sqrt(5))/2+c2* (1sqrt(5))/2=1','c1*((1+sqrt(5))/2)^2+ c2*((1-sqrt(5))/2)^2=1')
4.自然界中的斐波那契数列
科学家发现，很多植物的花瓣、萼片、果实 的数目以及排列的方式上，都有一个神奇的 规律，它们都非常符合著名的斐波那契数列。
4.自然界中的斐波那契数列
现代科学研究表明，0.618在养生中起重要作 用。注意了这些黄金分割点，对养生健体大 有好处。现在发现此比值和医学保健、健康 长寿有着千丝万缕的联系，亦可称为健康的 黄金分割律。在人体结构上，0.618更是无处 不在。脐至脚底与头顶至脐之比；躯干长度 与臀宽之比；下肢长度与上肢长度之比，均 近似于0.618。
4.自然界中的斐波那契数列
另外，也确实因为它具有悦目的性质，所以 有时人们在时间中并非注意到这个比例，而 特意去运用它，但往往就不自觉中，进入了 这个法则之中。这也说明了，黄金分割的本 身就存在有美的性质。
5.练习
借助计算机，求解下列线性差分方程（即求 出数列的通项公式）。
an2 2an1 2an a1 3, a2 8
得到
fn2 fn1 fn n2 n 1 n
3.Fibonacci数列的通项公式
消去因子有
解得
1
2
1 5 1 2
1 5 2 2
由此可知这两个都是差分方程的解。
3.Fibonacci数列的通项公式
1 和 2 都是差分方程的解，都是数列 猜测： 的通项，但这是不怎么可能，因为数列不会 有两个通项吧。猜测 1 与 2 的线性组合仍 是差分方程的解。设 fn C11n C22n ，代入 差分方程进行检验，猜测确实成立！ 因此，差分方程的解为：
4.自然界中的斐波那契数列
而且，越是接近于这个值，整个形体就越匀 称，越令人觉得完美。人在环境气温22℃－ 24℃下生活感到最适宜.因为人体的正常体温 是36℃－37℃，这个体温与0.618的乘积恰 好是22.4℃－22.8℃，而且在这一环境温度 中，人体的生理功能、生活节奏等新陈代谢 水平均处于最佳状态。再如，营养学中强调， 一餐主食中要有六成粗粮和四成细粮的搭配 进食，有益于肠胃的消化与吸收，避免肠胃 病。
3.Fibonacci数列的通项公式
求解得
1 C1 5
1 C2 5
因此得Fibonacci数列的通项公式为：
n n 1 1 5 1 5 fn 2 2 5
4.自然界中的斐波那契数列
4.自然界中的斐波那契数列
这也可纳入饮食的0.618规律之列。抗衰老有 生理与心理抗衰之分，哪个为重？研究证明， 生理上的抗衰为四，而心理上的抗衰为六， 也符合黄金分割律。充分调动与合理协调心 理和生理两方面的力量来延缓衰老，可以达 到最好的延年益寿的效果。一天合理的生活 作息也符合0.618的分割，24小时中，2/3时 间是工作与生活，1/3时间是休息与睡眠；在 动与静的关系上，究竟是"生命在于运动"，还 是"生命在于静养"？
设
fn ，则有 gn f n1
5 1 lim gn 0.618 ， n 2
这是一个美丽的数学常数----黄金分割比。 有趣的是，这个数字在自然界和人们生活中到 处可见：人们的肚脐是人体总长的黄金分割点， 人的膝盖是肚脐到脚跟的黄金分割点。大多数 门窗的宽长之比也是0.618…；
如何求它的通项呢？（粗略地求） 拟合法
利用excel拟合 先绘制散点图 利用拟合方法拟合
2.观察Fabonacci数列
利用matlab拟合 直接拟合有点难！ 把数列的前20个数取对数，然后再绘散点图， 看看有什么规律？
取对数后散点图 为直线，可以利 用线性回归知识 拟合直线了！
2.观察Fabonacci数列
利用matlab的polyfit(x,y,n)命令拟合得
程序：
f(1)=1; f(2)=1; for i=3:20 f(i)=f(i-1)+f(i-2); end y=log(f); p=polyfit(x,y,1)
2.观察Fabonacci数列
p 0.4782n 0.7624
为了能直观了解数列的特性，首先计算出 Fabonacci数列的前20项。 Excel法 Matlab法
2.观察Fabonacci数列
Matlab程序 f(1)=1; f(2)=1; for i=3:20 f(i)=f(i-1)+f(i-2); end [1:20;f]'
2.观察Fabonacci数列
Q p ln( f ) f e
p
0.4782n
f e
0.4782 n0.7624
0.4665e
这是粗略通项公式，那怎样寻找精确的通项公式呢？
3.Fibonacci数列的通项公式
数列满足递推关系 fn2 fn1 fn ，称这样 的递推关系为二阶线性差分方程。 猜测：根据前面的观察，可以猜测 f n 具有 n f 指数形式。不妨设为 n 进行尝试。将 n 代入差分方程：
4.自然界中的斐波那契数列
医学研究已表明，秋季是人的免疫力最佳的 黄金季节。因为7月至8月时人体血液中淋巴 细胞最多，能生成大量的抵抗各种微生物的 淋巴因子，此时人的免疫力强.
4.自然了，如建 处门窗、橱柜、书桌；我们常接触的书本、 报纸、杂志；现代的电影银幕。电视屏幕， 以及许多家用器物都是近似这个数比关系构 成的。它特别表现艺术中，在美术史上曾经 把它作为经典法则来应用。有许多美术家运 用它创造了不少不朽的著名。
Fibonacci数列（斐波那契数列）
1. 提出问题
13世纪初,意大利的数学家 Fibonacci(1170-1250)提出了一个有趣的 问题：如果最初有一对刚出生的小兔，两个 月后就成熟，成熟后每月生一次且恰好生一 对（一雌一雄），且出生的小兔都能成活， 则一年后共有多少对兔?
1. 提出问题
4.自然界中的斐波那契数列
从辩证观和大量的生活实践证明，动与静的 关系同一天休息与工作的比例一样，动四分， 静六分，才是最佳的保健之道. 动静：从辩证 观点看，动和静是一个0.618比例关系，大致 四分动六分静才是较佳养生之法。饮食：医 学专家分析后还发现，饭吃六七成饱的人几 乎不生胃病；摄入的饮食以六分粗粮、四分 精食为适宜。从黄金分割律看，结婚的最佳 季节是一年12个月的0.618处，约在7月底至 8月底。
1. 提出问题
越往后就越复杂，最后归纳得
数列{Fn}称为Fibonacci数列.直到1634年， 才有数学家奇拉特发现此数列具有非常简单的 递推关系： F1=F2=1, Fn=Fn-2+Fn-1. 由于这一发现，此问题引起了人们的极大兴趣， 后来又发现了该数列的更多性质
2.观察Fabonacci数列
4.自然界中的斐波那契数列
黄金分割对摄影画面构图可以说有着自然联 系。例如照相机的片窗比例：135相机就是 24X36即2:3的比例，这是很典型的。120相 机4.5X6近似3:5,6X6虽然是方框，但在后 期制作用，仍多数裁剪为长方形近似黄金分 割的比例。只要我们翻开影集看一看，就会 发现，大多数的画幅形式，都是近似这个比 例。这可能是受传统的影响，也养成了人们 的审美习惯。