相应的单层板弯曲 h0 ) 3 (h1 h0 ) 3 ] 3(1 2 )
2
应力计算

1. 计算等刚度单层板的当量厚度he：
2 12 (1 2 ) D he 3 E2

2.计算得到单层板得底面最大应力σe：
【３】荷载作用于板角（荷位３） 在夜晚有向上翘曲的情况下，对于常用的轮印， 实测应力明显大于理论计算结果。 Kelly修正公式：
1 c＝3 2R l
1.2
P 2 h
应力计算公式一般形式

当μ=0.15时，一般形式为：
P ＝ 2 C h
e 6M / he2

3.假设μ1=μ2=μ，则上层板和下层板底面最大应 力为：
2(h2 h0 ) 2 e he 2(h1 h2 h0 ) E1 E1 1 e he E2
5.水泥混凝土板温度应力分析
面板变形 受到约束
温度变化
面板变形
温度 应力
翘曲应力

温度沿着混凝土路面板的厚度方向分布不均匀时， 板体就有可能产生不均匀的变形而引起翘曲。假 如翘曲受到阻止，就产生翘曲应力。
半径Ｒ的修正
假如Ｒ同ｈ相比，小于某一限度，则出现荷 载集中现象，应按照厚板理论进行计算。此 时采用当量半径ｂ取代实际半径Ｒ。ｂ和Ｒ 的关系按下式确定∶
当 R 1.724h 时，b＝ 1.6 R 2 h 2 0.675h 当 R 1.724h 时，b R
威斯特卡德公式的修正（阿灵顿试验路）
水泥混凝土路面结构应力分析
庄晶晶 交通运输工程
水泥混凝土路面结构应力分析


1.小挠度薄板与弹性地基 2.温克勒地基水泥混凝土板荷载应力分析 3.弹性半空间地基水泥混凝土板荷载应力分析 4.水泥混凝土双层板荷载应力分析 5.水泥混凝土板温度应力分析 6.有限元分析法 7.小结
1.1小挠度弹性薄板
3 3
E1，1，h1和E 2， 2，h2 — —分别为下层板和上层 板的弹性模量、泊松比 和厚度。
应力计算

1. 计算等刚度单层板的当量厚度he：
2 12 (1 2 ) D he 3 E2

2.计算得到单层板得底面最大应力σe：
e 6M / he2

3.假设μ1=μ2=μ，则上层板和下层板底面最大应力 为：

a）温克勒地基
弹性均质半空间地基

假定地基为连续、均质、各向同性、完全弹性 的半空间体（如图b）。
地基反力q(x,y)与挠度W(x,y)的关系为：

q( x, y )＝f [ w( x, y )]
b）弹性半空间体地基
弹性层状半空间地基

层状地基在沿深度的方向分成若干个层次，层次 之间符合一定的连续条件。每一个层次有不同的 弹性特征E、μ，并且符合弹性理论的基本假定， 即连续、弹性、均质、各向同性。
【２】荷载作用于板边（荷位２） 在白天有翘曲的情况下，对于常用的轮印，实 测应力略大于理论计算结果；在夜晚有翘曲的 情况下，对于常用的轮印，实测应力明显大于 理论计算结果。 当L=5l 时, Kelly板内应力的修正公式为：
L P e＝0.5724 lg lg b 2 b h
a)气温升高时；b)气温降低时 混凝土面板的翘曲变形
威斯特卡德——布拉德伯利计算温度应力

对有限尺寸板，沿板长（L）和板宽（B）方向 的任一点的翘曲应力分别为
Et Cx C y x 2 2 1 Et C y Cx y 2 2 1




t — 板顶同板底的温度差

弯曲应力和剪应力为：
（上页中的弯矩值均查表得其值，详细见例题）
4.水泥混凝土双层板荷载分析

从力学模型来考虑，弹性地基双层板按层间接 触状态可以分为三类：

分离式双层板； 结合式双层板； 部分结合双层板。
(一)弹性地基上分离式双层板

轴对称垂直荷载作用下的 弹性地基上分离式无限大 双层板示图：
p ( r ) P 2 p ( r )
2 P (1 0 ) w( r ) w( r ) E0
M r PM r M PM M PM
式中： p(r ) — 反力系数； (r ) — 挠度系数； r — 径向弯矩系数； — 切向弯矩系数； w M M M ， — 分别为圆形均布荷载作 M 用下的中心弯矩和中心 弯矩系数; 为弹性特征。
弹性层状半空间地基
2.温克勒地基水泥混凝土板荷载应力分析

威斯特卡德研究了三种典型临界轮载位置下板 体最大挠度和最大应力。
三种典型临界轮载位置
三种位置的最大应力

（1）荷载作用于板中（荷位①），荷载中心处板 底最大弯拉应力
l
——板的相对刚度半径
三种位置的最大应力

（2）荷载作用于板边缘中部（荷位②），荷位下 板底的最大弯拉应力
【１】荷载作用于板中（荷位１） 实测的板中应力值比板中加载的威氏应力计算 结果小。 当L=1.75l，c=0.05，=0.15时，Kelly板底最大 应力修正公式：
L P i＝0.3164 lg 0.178 2 b h
式中：c 为最大挠度减少的比值，变化范围在0~0.39

如果板的厚度h远小于板面的最小尺寸b，就称为薄板。
在垂直于板面的荷载作用下，薄板挠度w远小于板的厚 度h，称为薄板小挠度理论。

薄板示意图
板本身应力应变的假设

薄板内任意一根垂直于中面的直线上，各点的位移w均 相等 ；（ w 只与xy有关，与z无关）
垂直于中面的法线，在弯曲变形前后均保持为直线并 垂直于中面。（无横向剪应力） 中面上各点无平行于中面的位移。（也就是中面的任 意一部分，在弯曲成弹性曲面前后，在xy面上的投影 形状保持不变。 ）
应力分析
M M1 M 2 D D1 D2 D1 D M,M2 2 M D D 式中：M，D — —双层板在荷载作用下 的总弯矩和总弯曲刚度 M1 M 1，M 2 — —下层板和上层板分别 承担的弯矩 D1，D2 — —下层板和上层板得弯 曲刚度 E1 h1 D1 12(1 12 ) E 2 h2 D2 2 12(1 2 )
C x，C y同相对长度（L / l）或宽度（B / l）有关的翘曲应力系数
— 线膨胀系数
戈希法
伸缩应力

当路面板的温度改变时，体积也随之变化，路面 与基层之间的摩擦阻力对变形起抑制作用，从而 引起路面板内部的温度应力，称为伸缩应力。
大尺寸板的伸缩应力

对于一平面尺寸很大的板，由于板与基层之 间的摩阻约束，在温度升降时板中部不能移 动，则面板胀缩完全受阻时产生的应力为：
有限尺寸板的伸缩应力

有限尺寸的板块变形受阻而产生的板内最大应力 出现于板长的中央，其值可近似按下式计算：
f L/2
式中：
— 混凝土的比重
f — 摩阻系数 L — 板长
板划分为有限尺寸板块后，因收缩而产生的应力很小， 可不予考虑。
6.有限元分析法

我国在刚性路面有限元分析方面提出的新课题， 有：对中厚板或厚板问题进行应力计算分析； 对旧路面（道路）进行加固、维修时存在的双 层板之间有软弱夹层的情况，或者是具有裂缝 的情况进行分析；采用有限元半分析法分析刚 性路面应力状态等。
2
Ec h3 D ——板的弯曲刚度 12(1 c2 )
弹性地基上薄板受力情况
板的应力
1.2 地基模型

温克勒地基 弹性均质半空间地基 弹性层状半空间地基
温克勒地基

地基某一点的沉陷仅决定于作用于该点的压力， 而和邻近的地基不发生任何关系（如图a）。
地基反力q(x,y)与挠度W(x,y)的关系为： q( x, y )＝kw( x, y )
h2 2 e h1 h1 E1 1 e h2 E 2
(二)弹性地基上结合式双层板

当上下板完全紧密结合时，就如同单层板那样 工作，两层板围绕一个中面弯曲。
弹性地基上结合式双层板计算图式
中面的位置
2 E1h12 2E1h1h2 E2 h2 h0 2( E1h1 E2 h2 )
Et x y 1

对于板边（边缘平行于x轴）中部或窄板，伸 缩应力为：
x Et
胀缩影响


在混凝土浇筑后的初期，混凝土尚未完全硬化， 其抗拉强度不足以抵抗收缩应力，板将出现开 裂。 虽然温度升高后混凝土路面出现的胀缩应力数 值一般小于混凝土的抗压强度，但应注意此时 是否会出现压曲现象。

弯曲应力和剪应力为：
多轮荷载作用下

为了简化多轮荷载的计算，将弯矩系数直接编 制成表，可按下式直接运算：
M x P( M M xi )
i 1 n 1
M y P( M M yi )
i 1
n 1
式中：
M ——荷载中心弯矩系数 M xi ——其他荷载引起的计算点x方向弯矩系数 M yi——其他荷载引起的计算点y方向弯矩系数
l P e ＝21161 054c lg 0.08975 2 . . b h

（3）荷载作用于板角隅（荷位③），最大拉应力 产生在板的表面离荷载圆中心为x1的分角线上
2 R 0.6 P 2 c 31 l h


板与地基联系的假设

在变形过程中，板与地基的接触面始终吻合。即板面 与地基表面的竖向位移是相同的。
在板与地基的两触面之间没有摩阻力（可以自由滑 动），即接触面上的线应变视为零。