《高等几何》试题（１）1.试确定仿射变换，使y 轴，x轴的象分别为直线x y 1 0 ， x y 1 0 ，且点（1，1）的象为原点 .( 15 )2.利用仿射变换求椭圆的面积 .( 10 )3. 写出直线3x xx 轴,y10+2-3=0,轴 , 无穷远直线的齐次线坐标.()14.叙述笛沙格定理 , 并用代数法证之 .( 15 )5.已知A(1,2,3), B (5,-1,2), C (11,0,7), D (6,1,5),验证它们共线,并求(AB, CD)的值.( 8 )6.设P(1,1,1),P (1,-1,1),P (1,0,1)为共线三点,且(P P , P P)=2,求P的坐标.(12)124 1 2 3 437.叙述并证明帕普斯 (Pappus) 定理 .( 10 )8.一维射影对应使直线 l 上三点 P (-1),Q(0),R (1)顺次对应直线 l上三点P (0),Q(1), R (3),求这个对应的代数表达式.( 10 )9. 试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系.( 10 )《高等几何》试题（２）1. 求仿射变换x 7 x y 1, y4x 2 y 4 的不变点和不变直线. (15 )2.叙述笛沙格定理 , 并用代数法证之 .( 15 )3.求证 a (1,2,-1) ,b(-1,1,2), c (3,0,-5)共线 , 并求l的值 , 使c i la i mb i(i 1,2,3). (10)4.已知直线 l1 ,l 2 , l 4的方程分别为 2x1x2x3 0 ， x1x2 x3 0 ，x10 ，且 (l1 l2 , l3 l 4 )2l 2的方程.(15)，求35.试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系. ( 10 )6.试证两个点列间的射影对应是透视对应的充要条件是它们底的交点自对应 . ( 10)7. 求两对对应元素 , 其参数为11,02, 所确定对合的参数方2程. ( 10 )8. 两个重叠一维基本形A B, A B 成为对合的充要条件是对应点的参数与满足以下方程:a b() d 0( ad b20) (15)《高等几何》试题（３）1.求仿射变换x 7 x y 1, y 4x 2 y 4的不变点和不变直线. (15 )2.求椭圆的面积 .( 10 )3.写出直线 2x1+3x2- x3=0, x 轴,y轴,无穷远直线的齐次线坐标.( 10 )4.叙述笛沙格定理 , 并用代数法证之 .( 15 )5.已知直线 l1 ,l 2 , l 4的方程分别为 2x1x2 x3 0 ， x1x2 x3 0 ，x1 0 ，且 (l1l 2 , l3 l 4 )2)，求 l 2的方程.(1536.在一维射影变换中，若有一对对应元素符合对合条件，则这个射影变换一定是对合. ( 15 )7.试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系, 试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系. ( 20 )[2005 — 2006 第二学期期末考试试题]《高等几何》试题（ A）一、填空题（每题 3 分共 15 分）1、是仿射不变量，是射影不变量2、直线3x y0 上的无穷远点坐标为3、过点（ 1,i,0）的实直线方程为4、二重元素参数为 2 与 3 的对合方程为5、二次曲线6x2y211y 24 0 过点 P(1,2) 的切线方程二、判断题（每题 2 分共 10 分）1、两全等三角形经仿射对应后得两全等三角形（）2、射影对应保持交比不变，也保持单比不变（）3、一个角的内外角平分线调和分离角的两边（）4、欧氏几何是射影几何的子几何，所以对应内容是射影几何对应内容的子集（）5 、共线点的极线必共点，共点线的极点必共线（）三、 (7 分 ) 求一仿射变换，它使直线x 2 y 1 0 上的每个点都不变，且使点（1,-1 ）变为（ -1 ， 2）四、（ 8 分）求证 : 点A(1,2, 1), B( 1,1,2), C (3,0,5) 三点共线，并求t , s使 c i ta i sb i ,( i 1,2,3)五、 (10 分 ) 设一直线上的点的射影变换是x/3x 2证明变换有两个自对应点，且这两自x4对应点与任一对对应点的交比为常数。
六、（ 10 分）求证：两直线所成角度是相似群的不变量。
七、（ 10 分）（1）求点（ 5， 1， 7）关于二阶曲线2 x123x22x326x1 x2 2x1 x3 4x2 x30 的极线（2）已知二阶曲线外一点P求作其极线。
（写出作法，并画图）八、（ 10 分）叙述并证明德萨格定理的逆定理九、（ 10 分）求通过两直线a[1,3,1],b[1,5,1] 交点且属于二级曲线4u12u222u320 的直线十、（ 10 分）已知A, B, P,Q , R 是共线不同点，如果 ( PA, QB)1,(QR, AB)1,求 ( PR, AB)《高等几何》试题（ B）一、填空题（每题 3 分共 15 分）x/7x y11、仿射变换/4x 2 y的不变点为y42、两点决定一条直线的对偶命题为3、直线 [i ,2,1-i]上的实点为4、若交比( AB, CD ) 2 则 ( AD , BC )5、二次曲线中的配极原则二、判断题（每题 2 分共 10 分）1、不变直线上的点都是不变点（）2、在一复直线上有唯一一个实点（）3、两点列的底只要相交构成的射影对应就是透视对应（）4、射影群仿射群正交群（）5 、二阶曲线上任一点向曲线上四定点作直线，四直线的交比为常数（）三、 (7 分 )经过 A( 3,2) 和 B(6,1)的直线 AB 与直线x 3 y 6 0 相交于P，求 ( ABP)四、（ 8 分）试证：欧氏平面上的所有平移变换的集合构成一个变换群五、（ 10 分）已知直线L1 , L2, L3 , L4的方程分别为： 2x y 1 0,3x y 2 0,7 x y 0,5 x 10求证四直线共点，并求( L1 L2 , L3 L4 )六、 (10 分)利用德萨格定理证明：任意四边形各对对边中点的连线与二对角线中点的连线相交于一点七、（ 10分）求（ 1）二阶曲线x122x223x32x1x30过点 P(2,5,1) 的切线方程2（ 2）二级曲线u12u22 17u320在直线 L[1 ， 4， 1]上的切点方程八、（ 10分）叙述并证明德萨格定理定理（可用代数法）九、（ 10 分）已知二阶曲线（C）：2x124x1x26x1x3x320（1）求点P(1,2,1)关于曲线的极线（2）求直线3x1x26x30关于曲线的极点十、（ 10 分）试证：圆上任一点与圆内接正方形各顶点连线构成一个调和线束《高等几何》试题（ C）一、填空题（每题 3 分共 15 分）6、直线x y 20x/2x y1在仿射变换/x y下的像直线y37、X轴Y轴上的无穷远点坐标分别为8、过点（ 1,-i ,2）的实直线方程为9、射影变换'230 自对应元素的参数为10、二级曲线 u12u2217u320 在直线上[1,4,1]的切点方程三、判断题（每题 2 分共 10 分）1、仿射变换保持平行性不变（）2、射影对应保持交比不变，也保持单比不变（）3、线段中点与无穷远点调和分离两端点（）4、如果P点的极线过Q点，则Q点的极线也过P点（）5 、不共线五点可以确定一条二阶曲线（）三、 (7分 ) 已知OX轴上的射影变换x'2x 1，求坐标原点，无穷远点的对应点x3四、（ 8分）已知直线a,c, d 的方程分别为2x1 x2 x30, x1 x2 x3 0， x1 0且(ab, cd)2求直线 b 的方程。
3五、（ 10 分）已知同一直线上的三点A, B, C 求一射影变换使此三点顺次变为B, C , A 并判断变换的类型，六、（ 10 分）求证：两直线所成角度是相似群的不变量。
x1'x1x2七、（ 10 分）求射影变换x2'x2的不变点坐标x3'x3八、（ 10 分）叙述并证明帕斯卡定理九、（ 10 分）求通过两直线a[1,3,1],b[1,5,1] 交点且属于二级曲线4u12u222u320 的直线十、（ 10 分）试证 : 双曲型对合的任何一对对应元素P P',与其两个二重元素E,F 调和共轭即 ( PP', EF )=-1[ 参考答案 ]高等几何标准答案（ A）一、填空题：（每空 3 分共 15 分）1、单比，交比 2 、（ 1,-3,0 ） 3、 x30 4、 2' 5(' ) 12 05、 12x1 7x226 x3 0二、判断题（每题 2 分共 10 分）1、错，2、错，3、对，4、错，5、对三、解：在直线 x 2 y 10 上任取两点A(1,0), B(1,1)2分由 A(1,0)A(1,0), B(1,1)B( 1,1),(1, 1)(1,2)x' a x a y a设仿射变换为111213将点的坐标代入可解得y'a x a y a212223x'2x 2 y1y'3x 2 y37分22121四、证明：因为1120所以三点共线4分305由： t s3,2t s0,t2s5解得 t1, s2所以c i a i2b1,( i1,2,3)8分五、证明：令 x''3x2得 x2x 2 0解得 x11, x22 x由x x4即有两个自对应点4分设 k 与 k '3k2对应，有 ((1)( 2), kk ' )5 为常数 10 分k 42注：结果 有 2也对，不过顺序有别。
5六、证明：设两直线为：a : y k 1 xb 1, b : yk 2 x b 2相似变换为：x a x ' by ' ca 2b 2ybx 'ay 'd将变换代入直线a 的方程得： k 1'k 1ab同理可得 k 2 ' k 2 a b 5 分a k 1b a k 2b k 2 ' k 1'k 2 k 1即tana, btan ' '1 ''1 k2 k 1a ,b k 2 k 1即两直线的夹角是相似群的不变量10分七、解：（ 1）设（ 5， 1， 7）为 P 点坐标， 二阶曲线矩阵为23 1 A=3 3 2121所以点 P 的极线为 S P =0S P (5,1,7)231 x 1即332x 2得 x =05分21 2 1 x 3（ 2）略 八（在后边）九、解：通过直线 a[1,3,1], b[1,5, 1] 的交点的直线的线坐标为[1 k,3 5k,1 k ]2分若此直线属于二阶曲线则有4(1 k)2(35k )2 2(1 k) 2即 27k 242k11 0 解得 k1, k11 10分39 十、解：设 P Ak 1B, Q A k 2B, R Ak 3 B(PA,QB)得1 ( PQ, AB) 1,(PA, QB)由( PQ, AB) 2k1 , k2k(AB, PQ)2k21由 ( qr , ab)1,得 ( AB,QR)k21 k3k2 k3所以 ( PR, AB)( AB, PR)k1210分k3八、德萨格定理的逆定理：如果两个三点形的对应边的交点共线，则对应顶点的连线共点。