矢量的基本代数运算《微分几何简介》笔记Ch.1 矢量代数及其在解析几何中的简单应用 §1 矢量代数定义：矢量即既有大小，又有方向的量（数学量、物理量等）。

1.1 直角坐标系-点的坐标与矢的分量在三维空间中，取任意一点O 和任意彼此垂直的三个右旋的（即构成右手系的）单位矢量1e ，2e ，3e ，构成一个直角坐标系（或标架）。

用],,;[321e e e O =σ表示；O 称为σ的原点，1e ，2e ，3e 称为σ的基矢(或底矢)。

若P 为空间任意一点，以O 为始点，P 为终点的矢量OP =r 称为P 点在标架σ里的径矢。

P 点在σ里的坐标1x ，2x，3x 就是r 径矢在σ里的分量：332211e e e r x x x ++=若P 、Q 为空间两点，它们在σ里的径矢依次为332211e e e r x x x ++=，332211e e es y y y ++=则矢量333222111)()()(e e e r s x y x y x y OP OQ PQ -+-+-=-=-=其中)3,2,1(=-i x yi i就是该矢量在σ里的分量。

各分量均为0的矢量称为零矢。

在同一标架里，两个矢量相等的充要条件是它们的分量依次相等。

矢量332211e e eαa a a ++=的长为 232221a a a ++=α若1=α，α为单位矢量（幺矢）。

0≠α，则α/ia叫做α在σ里的方向余弦，它们是α和1e 间的角],0[π之间的余弦。

零矢没有方向余弦。

1.2 矢量的基本代数运算现有矢量332211e e eαa a a ++=和332211e e eβb b b ++=，则1） 矢量和：矢量加法按照平行四边形（或三角形）法则。

333222111)()()(e e e βαb a b a b a +++++=+2） 矢量差：矢量减法同样按照平行四边形（或三角形）法则，为加法的逆运算。

333222111)()()(e e e βαb a b a b a -+-+-=-3） 纯量（或数量）乘矢量：若λ为纯量，则332211e e e αa a a λλλλ++=4） 数积（点乘）：矢量α，β的数积是纯量θcos 332211βαβα=++=⋅b a b a b a其中],0[πθ∈是α，β之间的角。

矢量α，β相互垂直的充要条件是它们的数积等于零。

零矢与任意矢量垂直。

矢量α和单位矢量e 的数积等于α在e 的方向的垂直投影。

5） 矢积（叉乘）：矢量α，β的矢积是矢量n βαe e e βαθsin 321321321==⨯b b b a a a其中n 为α，β不平行时，同时垂直于α，β的幺矢，且α，β，n 按此次序构成右手系。

αβα⊥⨯，ββα⊥⨯矢量α，β相互平行的充要条件是它们的矢积等于零。

零矢与任意矢量平行。

运算规律一览若α，β，γ是任意矢量，λ，μ是任意纯量，则 1） 结合律：αα)()(λμμλ=)()(γβαγβα++=++)()(βαβα⋅=⋅λλ )()(βαβα⨯=⨯λλ2） 交换律：αββα+=+αββα⋅=⋅必须注意：αββα⨯-=⨯ 3） 分配律：αααμλμλ+=+)( βαβαλλλ+=+)(γαβαγβα⋅+⋅=+⋅)( γαβαγβα⨯+⨯=+⨯)(1.3 混合积、三矢矢积、拉格朗日恒等式1） 混合积：已给三个矢量α，β，γ，则βα⨯是矢量，γβα⋅⨯)(是纯量。

若ia ，ib ，ic 依此是α，β，γ的分量，则其混合积为321321321),,()(c c c b b b a a a ==⋅⨯γβαγβα根据行列式性质，有),,(),,(),,(),,(),,(),,(αβγγαββγαβαγαγβγβα-=-=-===混合积),,(γβα的绝对值表示以α，β，γ为棱的平行六面体的体积。

三个矢量α，β，γ共面的充要调价是它们的混合积等于零。

若三个矢量α，β，γ共面，且α，β不平行，则γ是α，β的线性组合：βαγμλ+=2） 三矢矢积： 若α，β，γ是矢量，则三矢矢积为αγββγαγβα)()()(⋅-⋅=⨯⨯3) 拉格朗日（Lagrange ）恒等式：))(())(()()(γβδαδβγαδγβα⋅⋅-⋅⋅=⨯⋅⨯ 特殊地2222)()(βαβαβα⋅-=⨯可以证明：只有零矢量同时垂直于三个不共面的矢量。

1.4 对于空间的点、直线和平面的简单应用不妨在标架],,;[321e e e O =σ中来考察空间的点、直线和平面。

显然，空间的任意一点P 可用其径矢=r 来表示。

1) 令空间任意一直线经过某固定点0r ，它与一单位矢量v 平行，r 为直线上任意点，则该直线可表示为vr r t +=0其中t 是纯量。

以上方程称为直线的矢方程，其中t 是参数，因而也叫做参数矢方程。

2) 令空间任意一平面经过某固定点0r ，它与一单位矢量n 垂直，r 为平面上任意点，则该平面的矢方程为)(0=-⋅r r n注意：通常平面具有方向性，与n 同向的一侧称为正侧。

另外，两点确定一条直线，三个不共线的点、两条相交直线、两条平行直线也可以确定一个平面。

3) 过点1r ，作直线vrr t +=0的垂线，其垂足v v r r r r ])[(011⋅-+='点到直线的距离11r r '-=d4) 点1r 到平面0)(0=-⋅r r n 的距离)(01r r n -⋅=d点到平面的垂足nn r r r r ])[(0111⋅--='5) 两相错直线11101αr rt +=与22202αr rt +=的公垂线单位矢量2121ααααn ⨯⨯=它们间的最短距离21211020),,(ααααr r ⨯-=d§2 坐标变换2.1 基矢变换在研究齿轮啮合运动时，我们通常取三个标架，一个固定在空间，称为基础标架，另两个分别和运动中的两个齿轮相固连。

因此，有必要考察两个标架或坐标之间的相互关系。

设],,;[321e e e O =σ，],,;[321e e e ''''='O σ为任意两个直角坐标系。

考察基矢321,,e e e 和321,,e e e '''之间的关系，设在坐标系σ里，标架σ'的基矢321,,e e e '''为)3 ,2 ,1( 31=='∑=i a j j ij i e e即⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''321333231232221*********e e e e e e a a a a a a a a a则321i i i a aa ，，是ie '在坐标系σ里的分量，也是方向余弦，即ie '依次和321,,e e e 之间的角的余弦：)3 ,2 ,1 ,( =='j i a ijjie e而在在坐标系σ'里，标架σ的基矢321,,e e e 为)3 ,2 ,1( 31='=∑=i a j j ji i e e或⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313322212312111321e e e e e e a a a a a a a a a若引进方阵的概念和符号，令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211a a a a a a a a a A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=332313322212312111a a a a a a a a a T A则A ，TA 互为转置方阵，且IAA =T ，IA A=T其中I 表示三阶单位方阵。

A 和TA 都是正常正交方阵表明：从一个坐标系的基矢到另一个坐标系的基矢的变换是具有正常正交方阵的线性变换，称为正常正交变换。

若从σ到σ'的基矢的变换方阵是A ，则从σ'到σ的基矢的变换方阵是TA 。

设有三个坐标系σ，σ'和σ''，若从σ到σ'的基矢的变换方阵是A ，从σ'到σ''的基矢的变换方阵是B，则从σ到σ''的基矢的变换方阵为BA C =2.2 矢量的分量变换设1x ，2x，3x 是任意矢量r 在坐标系σ里的分量，则在坐标系σ'里的分量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡'''321333231232221131211321x x x a a a a a a a a a x x x或AXX ='2.3 点的坐标变换 设任意点P在坐标系],,;[321e e e O =σ里的坐标是X ，在坐标系],,;[321e e e ''''='O σ里的坐标是X '，再设O 点在σ'里的坐标是0X ，则AXX X +='0§3 刚体变换刚体是指在运动中，其上任意两点的距离始终保持不变的物体。

通常我们假定齿轮是刚体，齿轮运动是刚体运动。

设],,;[321e e e O =σ为基础标架，],,;[321e e e ''''='O σ为与齿轮相固连的标架，那么，研究齿轮运动的过程即可归结为σ'的运动的研究。

标架σ'的原点和基矢在σ里都是时间t 的函数，这样位置的变化，就叫做刚体位置变换或简称刚体变换。