如果在相同条件下对总体X进行n次重复的独立 观测，那么可以认为所获得的样本x1、x2…xn 是独立的，并且服从相同分布的随机变量。
如：当我们把一个长度为μ的物体测量了n次， 获得样本x1、x2…xn之后，要计算其算术平均 数作为μ的估计，其平均数就是对样本进行处 理后得到的一个统计量。样本均值、样本方差 是几个主要的统计量。
xn， 当它们的平均值
i 1
n
为一定的情况下 ， 实际
只有n 1个xi可以自由取值 ， 所以自由度为 n 1。
x2分布的特点
⑴随着自由度增加，图形渐趋对称；
⑵x2具有可加性。设ξ~x2(k1)、η~x2(k2)，且ξ与
η相互独立，则ξ+η= x2(k1+k2)，即
标准正态分布表是根据概率密度，用积分计算 Z取不同值时正态分布曲线下的面积。
有的从Z=-∞开始，Z逐渐增加，表中所列是某 个Z分数以下的累积概率；
有的从Z=0开始，Z逐渐变化，计算从Z=0到某 一定值之间的概率，因为正态分布对称，且对 称轴为μ=0，所以当Z<0与Z>0时相应的Z分数 概率值相等。
任意两点[Z1，Z2]之间的面积就是(Z2 Z1)
P(x x x x )
(x) lim
2
2
x0
x
分布密度曲线的特征：
1.正态分布曲线是单峰，有一个最高点； 2.分布曲线有一个对称轴x=μ； 3.分布曲线以横轴为渐近线。 中位值、中值、均值三者重叠。
正态分布的概率密度表达式为： (x)
1
e

(
xu)2 2 2
三大分布：x2分布、t分布和F分布
（一）x2分布
设随机变量 1、 2 n相互独立， 且都服从标准正态分布 ，
则它们的平方和 2
12
自由度为 k的 2
分布， 记作 2 (k)。
自由度即随机变量可以 自由取值的数目 ， 如有n个数x1、
n
xi
x2
2
1.曲线在x=μ处达到最高值，并且以x=μ对称。
μ1
μ2
图5-2
2.在μ不变的情况下，ơ越小，
图形越尖锐，反之则低阔。
μ3
Ơ=0.5
Ơ=1 Ơ=2
图5-3
参数μ和ơ代表的意义

E( ) x(x)dx u,即E( ) u(数学期望)
D( ) (x u)2(x)dx 2 ,即D( ) 2 (方差)
1
e

(
xu)2
2 2
2
(x)
1
x2
e2
2
标准正态分布其实是一般正态分布的一个特 例，记作N(0，1)，一般正态分布记作N(μ，σ2)。
一般正态分布之所以能变成唯一的标准正态 分布，就是把原来坐标中的零点沿着X轴迁到μ点， 并且以σ为单位记分。
σ=1
0
图5-5
（一）正态分布与标准正态分布的特点对比
2.P(u 2 u 2 ) (x)dx 0.9545 u 2
u 3
3.P(u 3 u 3 ) (x)dx 0.9973 u 3

P( ) (x)dx 1
34.13% 34.13%
(Z1) 图5-7 Z1
(Z 2 ) 图5-8 Z 2
(Z2 Z1)
图5-9Z1 Z 2
例4：已知服从标准正态分布 N(0，1)， 求P( 1.3) ?
解： 因为() 1,() P( 1.3) P( 1.3) 1 所以( 1.3) 1 P( 1.3) 1(1.3) 0.0968
T甲=0.25×10+50=52.5；T乙=0×10+50=50
标准分数的大小和正负可以反映某一个考生在全体 考分中所处的地位，如甲生英语分数为Z=-0.44之 上有67%的考生；乙生Z= 0.25之上有40.13%的考 生，通过每个考生在总体中的位置比较优劣，所以 称为相对分数。
三、标准正态分布表的使用
例9：某次测验分数是正态分 布， 其平均分X 72， 标准分 X 6,问在平均数上下多少分 中间包括95%的学生？
解： 将0.95 2 0.475作为正态曲线下平均数 以上的面积， 查附表4， 找与(Z ) 0.5 0.475 0.975所对应的Z 1.96, 根据Z X X 移项得， 平均数以上的分数是
例8：已知服从标准正态分布 ， 求满足P( ) 0.05 中的值。
解：P ( ) P( ) P( ) 2P( )
2[1()] 0.05
1() 0.05 ;() 1 0.05 0.975
2
2
1.96
0.5 0.34134 0.15866
那么Z 1以下的概率呢？
(Z) 0.5 0.34134 0.15866
(2)两个Z分数之间的概率
P(1 2) (2) (1) 0.47725 0.34134 0.13595 那么Z 1之间的概率呢？
P(1 1) (1) (1) 0.34134 0.34134 0.68268
当x u 时，Z x u u u 1,


当x u 时，Z x u u u 1


则有
u
P(u u ) (x)dx 0.6827 u 1
P(1 1) (Z )dZ 0.6827 1
P(3 3) (Z )dZ 0.9973 3
34.13%
34.13%
13.6%
13.6%
2.16% 0.11%
3 2 1 图05-6 1
2.16% 0.11%
23
（三）标准分的实际意义
例1：甲、乙、丙3个同学《社会统计学》分数都 是80分，甲同学所在班平均成绩μ甲=80分， μ乙 =75分， μ丙=70分，标准差都是10，比较甲、乙、 丙3个同学在班上的成绩。
首先将录取率 200/1600 0.125作为正态分布上端
的面积， 然后根据1 0.125 0.875查附表4， 对应
Z 1.15, 那么录取分数线
x X Z X 74 1.1511 86.65(分)
表5-2
0Z 图5-11
(1)求Z分数以上的概率是多少 ？
解：Z 1时， (Z) 0.34134, Z以上的概率为
正态曲线下每一小块面积就是随机变量 在该小
块取值xi 所出现的概率，曲线下的整个面积由无
数个小直方形拼成。
每小块面积
长 宽 (xi )xi

P( xi
xi 2


xi

xi ) 2
曲线下任意两点x1 x2的概率，就是对从 x1到 x2 的
所有小块面积进行累加，即
x2
成绩相等，但政治的平均分是70分，δ=20，而物理
的平均分是50分，δ=40。
总成绩甲
Zi
xi ui 70 70 60 50 0.25
i
20
40
总成绩乙
Zi
xi ui 60 70 70 50 0
i
20
40
为了使标准分Z值变成形式上的原始分数，一般将Z 值乘以10，加上50，就变成了T分数：T=10Z+50
1.标准正态曲线在Z=0处达到最高点； 2.标准正态曲线以Z=0为中心，双侧对称； 3.标准正态曲线从最高点向左右缓慢下降，并无
限延伸，但永不与基线相交； 4.平均数为0，标准差为1； 5.标准正态曲线从最高点向左右延伸时，正负1
个标准差内向下向内弯，从正负1个标准差开 始，向下向外弯。
（二）正态分布与标准正态分布面积 之间的对应关系
解：Z
甲

80 80 10

0；Z乙

80 75 10
0.5；Z丙

80 70 10
1
Z丙 Z乙 Z甲
例2：设甲、乙、丙三个学生所在班级的平均成
绩都为75分，σ甲=10分， σ乙=15分， σ丙=20分， 比较甲、乙、丙三个学生在班上的成绩。
解：Z
甲

80 75 10
0.5；Z乙
x u 2时，Z 2，x u 2时，Z 2
u 2
P(u 2 u 2 ) (x)dx 0.9545 u 2 2
P(2 2) (Z )dZ 0.9545 2
同理：
u 3
P(u 3 u 3 ) (x)dx 0.9973 u 3 3
13.6%
13.6%
2.16% 0.11%
u 3 u 2 u
2.16% 0.11%
图5-4 u u 2 u 3
二、标准正态分布
变量值标准化 Z x u

根据Z值所得到的分布就是标准正态分布，概率密度为
(Z)
1
z2
e2
2
如果把u 0， 1代入(x)
例5：已知服从标准正态分布 N(0,1)， 求P( 1.3) ?
解： 附表4中没有给出Z 0时的(Z )值， 但根据标准 正态图形以Z 0对称的原理， 我们知道 P( 1.3) P( 1.3) 1(1.3) 0.0968
例6：已知服从标准正态分布 N(0,1)， 求P(1.3 2.3) ?
P(x1 x2 ) (xi )xi i x1
当xi 0时，
P(x1 x2 ) x2 (x)dx x1