导数的应用二------函数的极值与最值【学习目标】 1. 理解极值的概念和极值点的意义。

2. 会用导数求函数的极大值、极小值。

3. 会求闭区间上函数的最大值、最小值。

4. 掌握函数极值与最值的简单应用。

【要点梳理】 要点一、函数的极值（一）函数的极值的定义：一般地，设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义，（1）若对于0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作)(0x f y =极大值；（2）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作)(0x f y =极小值.极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释：由函数的极值定义可知：（1）在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x 0及其附近有定义，否则无从比较. （2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值.（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.（二）用导数求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '；③求方程0)(='x f 的根；④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)要点诠释：①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点.即0()0f x '=是可导函数)(x f 在点0x 取得极值的必要非充分条件.例如函数y=x 3，在x=0处，'(0)0f =，但x=0不是函数的极值点.②可导函数)(x f 在点0x 取得极值的充要条件是0()0f x '=，且在0x 两侧)(x f '的符号相异。

要点二、函数的最值（一） 函数的最大值与最小值定理若函数()y f x =在闭区间],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上必有最大值和最小值；在开区间),(b a 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值.如1()(0)f x x x=>. 要点诠释：①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。

②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。

（二）求函数最值的的基本步骤：若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '； （2）求方程0)(='x f 在),(b a 内的根；（3）求在),(b a 内使0)(='x f 的所有点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ，)(b f ； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值，最小者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值.要点诠释：①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可。

②若)(x f 在开区间),(b a 内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值. （三）最值与极值的区别与联系①函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的（具有绝对性），是整个定义域上的整体性概念。

最大值是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义域上所有函数值中的最小值.函数的极大值与极小值是比较极值点附近两侧的函数值而得出的（具有相对性），是局部的概念；②极值可以有多个，最大(小)值若存在只有一个；极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值；③有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值. 要点三、函数极值与最值的简单应用1. 不等式恒成立，求参数范围问题。

一些含参不等式，一般形如(,)0f x m >，若能隔离参数，即可化为：()()m g x m g x ><（或）的形式。

若其恒成立，则可转化成max max ()()m g x m g x ≥≤（或），从而转化为求函数()g x 的最值问题。

若不能隔离参数，就是求含参函数(,)f x m 的最小值min (,)f x m ，使min (,)0f x m ≥。

所以仍为求函数()g x 的最值问题，只是再求最值时可能需要对参数进行分类讨论。

2. 证不等式问题。

当所要证的不等式中只含一个未知数时，一般形式为()()f x g x >，则可化为()()0f x g x ->，一般设()()()F x f x g x =-，然后求()F x 的最小值min ()F x ，证min ()0F x >即可。

所以证不等式问题也可转化为求函数最小值问题。

3. 两曲线的交点个数问题（方程解的个数问题）一般可转化为方程()()f x g x =的问题，即()()0f x g x -=的解的个数问题，我们可以设()()()F x f x g x =-，然后求出()F x 的极大值、极小值，根据解的个数讨论极大值、极小值与0的大小关系即可。

所以此类问题可转化为求函数的极值问题。

【典型例题】类型一： 求函数的极值 例1. 下列函数的极值。

（1）.)(23a x x x x f +--= （2）22()21xf x x =-+。

【解析】(I)'()f x =32x －2x －1若'()f x =0，则x ==－13，x =1 当x 变化时，'()f x ，()f x 变化情况如下表：∴()f x 的极大值是()327f a -=+，极小值是(1)1f a =-（2）函数的定义域为R 。

2222222(1)42(1)(1)'()(1)(1)x x x x f x x x +--+==-++。

令'()0f x =，得x=―1或x=1。

当x 变化时，'()f x ，()f x 变化状态如下表：由上表可以看出，当x=―1时，函数有极小值，且(1)232f -=-=-， 当x=时，函数有极大值，且2(1)212f =-=-。

【总结升华】 解答本题时应注意0'()0f x =只是函数()f x 在x 0处有极值的必要条件，如果再加上x 0左右导数的符号相反，方能断定函数在x 0处取得极值，反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是经常出现的失误。

举一反三：【变式1】 求下列函数的极值：（1）3()126f x x x =-++；（2）322()2(1)x f x x -=-。

【答案】（1）2'()3123(2)(2)f x x x x =-+=-+-。

令'()0f x =，解得x 1=―2，x 2=2。

当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：当x=―2时，()f x 有极小值，并且，()(2)10f x f =-=-极小值， 而当x=2时，()f x 有极大值，并且，()(2)22f x f ==极大值。

（2）函数定义域为（－∞，1）∪（1，+∞）。

∵23(2)(1)'()2(1)x x f x x -+=-，令'()0f x =得x 1=―1，x 2=2。

当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：故当x=―1时，8y =-最大值。

【高清课堂：函数的极值与最值 370875 例题1】 【变式2】 讨论函数43210()213f x x x x =-++（x ∈R ）的单调性并求极值． 【答案】32'()41042(21)(2)f x x x x x x x =-+=--令'()0f x =，解得x 1=0， x 2=12, x 3=2 。

当x 变化时，'()f x ，()f x 变化状态如下表：由上表可以看出，()f x 在（－∞，0）和（2，2）上为减函数，在（0，2）和（2，+∞）上 为增函数。

当x=0时，函数有极小值(0)1f =; 当x=2时，函数有极小值5(2)3f =-。

当x=12时，函数有极大值155()248f =。

【高清课堂：函数的极值与最值 370875 例题3】【变式3】函数()f x 的定义域为区间（a ，b ），导函数'()f x 在（a ，b ）内的图如图所示，则函数()f x 在（a ，b ）内的极小值有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】由极小值的定义，只有点B 是函数()f x 的极小值点，故选A 。

类型二：函数极值的逆向应用例 2. 已知函数32()f x ax bx cx =++在点x 0处取得极大值5，其导函数'()y f x =的 图象经过点（1，0），（2，0），如图所示。

求： （1）x 0的值；（2）a ，b ，c 的值。

【思路点拨】观察图像的正负和零点。

【解析】 （1）由图象可知，在（―∞，1）上'()0f x >，在（1，2）上'()0f x <，在（2，+∞）上'()0f x >，故()f x 在（－∞，1）和（2，+∞）上递增，在（1，2）上递减。

因此()f x 在x=1处取得极大值，所以x 0=1。

（2）方法一：2'()32f x ax bx c =++， 由'(1)0f =，'(2)0f =，(1)5f =，得32012405a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得2912a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩。

方法二：设2'()(1)(2)32f x m x x mx mx m =--=-+。

又2'()32f x ax bx c =++， 所以3m a =，32b m =-，c=2m ，323()232m f x x mx mx =-+， 由(1)5f =，即22533m m m -+=，得m=6，所以a=2，b=―9，c=12。