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组合数学题目及标准答案

组合数学例1: 将8个“车”放在8×8的国际象棋棋盘上,如果它们两两均不能互吃,那么称8个“车”处于一个安全状态。

问共有多少种不同的安全状态?解:8个“车”处于安全状态当且仅当它们处于不同的8行和8列上。

用一个排列a1,a2,…,a8 ,对应于一个安全状态,使ai 表示第i 行的ai 列上放置一个“车”。

这种对应显然是一对一的。

因此,安全状态的总数等于这8个数的全排列总数8!=40320。

例4:n 位客人在晚会上每人与他人握手d 次,d 是奇数。

证明n 偶数。

证:由于每一次握手均使握手的两人各增加 一次与他人握手的次数,因此n 位客人与他人握手 次数的总和 nd 是偶数 — 握手次数的2倍。

根据奇偶 性质,已知d 是奇数,那么n 必定是偶数。

例4 从1到2n 的正整数中任取n +1个,则这n +1个数中,至少有一对数,其中一个是另一个的倍数。

证 设n +1个数是a 1, a 2, ···, an +1。

每个数去掉一切2的因子,直至剩下一个奇数为止。

组成序列r 1, r 2,, ···, rn +1。

这n +1个数仍在[1 , 2n ]中,且都是奇数。

而[1, 2n ]中只有n 个奇数,故必有ri =rj = r , 则ai = 2αi r , aj = 2αj r 。

若ai >aj ,则ai 是aj 的倍数。

例5 设a 1, a 2, ···, am 是正整数,则至少存在一对k 和l , 0≤k<l ≤m ,使得和ak+1+ ak +2+ ···+ al 是m 的倍数。

证 设Sh = , Sh ≡rh mod m, 0≤rh ≤m -1,h = 1 , 2 , ···, m . 若存在l , Sl ≡0 mod m 则命题成立.否则,1≤rh ≤m -1.但h = 1 , 2 , ···,m .由 鸽巢原理,故存在rk= rl , 即Sk ≡Sl mod m ,不妨设l >k .则Sl -Sk= ak+1+ ak+2+…+ al ≡0 mod m例6 设a 1, a 2, a3是任意三个整数,b1 b2 b3为a1, a2, a3的任一排列,则a1-b1, a2-b2 ,a3-b3中至少有一个是偶数.证 由鸽巢原理:a1, a2, a3至少有两个奇偶性相同.则这3个数被2除的余数至少有两个是相同的,不妨设为x; 同样b1, b2, b3中被2除的余数也至少有2个x .这样a1-b1, a2-b2 , a3-b3被2除的余数至少有一个为0.例7 设a 1, a 2,…, a100是由数字1和2组成的序列, 已知从其任一数开始的顺序10个数的和不超过16.即ai+ ai+1+…+ ai+9≤16,1≤i ≤91。

则存在h 和k ,k > h ,使得ah+1+…+ ak= 39证 令Sj= ,j =1 , 2 , …,100。

显然 ∑=ji i a 1∑=hi i a 1S1<S2<…<S100,且S100= (a1+ …+a10)+ (a11+ …+a20)+…+ (a91+ …+a100)根据假定有S100≤10×16 = 160作序列S1, S2, …, S100, S1+39, …, S100+39.共200项.其中最大项S100+39≤160+39由鸽巢原理,必有两项相等.而且必是前段中某项与后段中某项相等.设Sk= Sh+ 39,k>h Sk-Sh=39 即ah+1+ ah+2+…+ ak= 39例:1) 求小于10000且的含1的正整数的个数2) 求小于10000的含0的正整数的个数解:1) 小于10000的不含1的正整数可看做4位数,但0000除外.故有9×9×9×9-1=6560个.含1的有:9999-6560=3439个2) 上述方法不可直接套用来计算“含0”数的个数。

0019“含1”但“不含0”。

不含0的1位数有9个,2位数有92个,3位数有93个,4位数有94个不含0小于10000的正整数有9+92+93+94=(95-1)/(9-1)=7380个含0小于10000的正整数有9999-7380=2619个多重集(Multiset):元素可以重复出现的集合。

如:M={a,a,a,b,c,c,d,d,d,d},也可简记为:M={3·a, 1·b, 2·c, 4·d}元素也可重复出现无穷次,如无穷个a记为:∞·a例1000到9999 之间有多少个奇数,其各位数字互不相同?答案:5×8×8×7=2240例用数字1,1,1,3,8可以构造多少个不同的5位数?如果用1,1,1,3,3呢?答案:5×4=20 (5,2)=10定义:设r为正整数,从n个不同的元素的集合S中,取r个元素按次序排成一行,称为S 的一个r-排列。

例S={a,b,c},则S有3个1-排列:a,b,c6个2-排列:ab,ac,ba,bc,ca,cb6个3-排列:abc,acb,bac,bca,cab,cban元素集的r-排列数记为P(n,r)。

若r>n,则P(n,r)=0。

n元素集S的n-排列简称为S的排列或n个元素的排列(全排列)定义n!=n×(n-1)×…×2×10!=1故P(n,r )= n!/(n-r)!P(n,0)=1P(n,n )= n!/0!=n!例将26个英语字母按任意次序排成一行,不允许a、e、i、o、u五个元音中任意两个相邻,有多少种排法?答案:21! ×P(22,5)例从{1,2,… ,9} 中任意取7个不同的数字排成一行,不允许5和6相邻,可以组成多少个不同的7位数?答案:P(9,7)-2×6×P(7,5) = 151,200例10个人围圆桌入座,其中两人希望不坐在一起,有多少种方案?答案:9!-2×8!例5对夫妇出席一宴会,围一圆桌坐下,试问有几种不同的方案?若要求每对夫妇相邻又有多少种方案。

答案:9 !=36288025×4 !=32×24=768例20个不同颜色的珠子串成一条项链,可以串成多少种不同的项链?答案:19!/2设r为一非负整数,从具有n个不同元素的集合S中,取r个元素而不考虑其次序,称为S的一个r-组合,即S的一个r元素子集。

例如:若S={a,b,c,d},则S有1个0-组合:4个1-组合:{a},{b},{c},{d}6个2-组合:{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d}4个3-组合:{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d}1个4-组合:{a,b,c,d}例设总共有15名同学选了数学课,但每次只有12名同学到课,教室里有25个座位,数学老师能看到学生们有多少种可能的座位坐法?答案:C(15,12)×P(25,12)例如果每个单词可以有3个或4个元音,字母可以重复使用,用26个英文字母可以构造出多少个8个字母的单词?答案:C(8,3)×53×215 +C(8,4)×54×214例求不多于四位的三进制数的个数。

解:这个问题相当于多重集{∞·0,∞·1,∞·2}的4-排列问题,由定理3.4.1,所求的三进制数的个数N=34=81。

例用两面红旗,三面黄旗依次悬挂在一根旗杆上,问可以组成多少种不同的标志?解所求的标志数是多重集{2·红旗,3·黄旗}的排列数N, 由定理3.4.2得:N=5!/(2!3!)=10例MISSISSIPPI这个单词里的所有字母可以组成多少不同的排列?答案:11!/(1!4!4!2!)定义设S是多重集,S的含有r个元素的子多重集就叫做S的r-组合。

例如:S={2·a,1·b,3·c},S的2-组合有5个,它们是{a,a},{a,b},{a,c},{b,c},{c,c}定理3.5.1设多重集S={∞·a1, ∞·a2,…, ∞·ak},则S的r-组合数是C(r+k-1,r)。

从k种元素中取允许重复的r-组合的典型模型是:取r个相同的球,放进k个不同的盒子里,而每个盒子中的球数不加限制,允许重复的组合数即其放法方案数。

该数为C(r+k-1,k-1) =C(r+k-1,r)从a,b,c 3种元素中取2个元素的多重组合,相当于将2个相同的球放人3个不同的盒中,每盒可多于一个球的方案。

多重组合与球放入盒子的方案的对照:例从为数众多的一角币、二角币、五角币和一元币中选取六枚有多少种方法?解这里有4种不同的币值,每种币都可无限重复,因此本问题是多重集S={∞·1角,∞·2角,∞·5角,∞·1元}的6-组合,故从中选出6枚的方法种数为:C(4+6-1,6)=C(9,6)=84例试问(x+y+z)4展开后有多少项?解:这个问题相当于从3种元素中取可重复4-组合,或4个相同的球放进3个不同的盒子里,其组合数为:C(3+4-1,4)=C(6,4)=15即:(x+y+z)4共15项。

推论设多重集S={n1·a1,n2·a2,…,nk·ak},且对一切i=1,2,…,k有ni≥r,则S的r-组合数是C(r+k-1,r)。

推论设多重集S={∞·a1, ∞·a2,…, ∞·ak},r≥k,则S中每个元素至少取一个的r-组合数为C(r-k+k-1,k-1)=C(r-1,k-1)。

推论r个相同的球放到k个有标志的盒子中,不允许有空盒,共有C(r-1,k-1)种方案。

例有一电冰箱厂生产15种电冰箱,将其装入集装箱销往外地,每个集装箱可装18台电冰箱,要求每个集装箱内各种电冰箱至少一台,问可能有多少种不同的集装箱装法?答案:k=15,r=18N=C(18-1,15-1)=C(17,14)=680例设多重集S={10·a,10·b,10·c,10·d} ,要求每种元素在组合中至少出现一次,求S的满足此条件的10 组合的数目。

解方程x1+x2+x3+x4=10的正整数解的个数即为所求。

用变量代换y1=x1-1,y2=x2-1,y3=x3-1,y4=x4-1,变换成求y1+y2+y3+y4=6的非负整数解的个数。

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