坐标系与参数方程一、考试大纲解析：1•坐标系（1） 理解坐标系的作用；（2） 了解平面坐标系伸缩变换作用下图形的变化情况；（3） 能在坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标和平面之间坐标系表示点的位 置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化；（4） 能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标和直角坐标系中 的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义； 2•参数方程（1） 了解参数方程和参数方程的意义；（2） 能选择适当的参数写出直线、圆、圆锥曲线的参数方程； （3） 能用参数方程解决一些数学问题和实际的运用；极坐标和参数方程是新课标考纲里的选考内容之一， 在每年的高考试卷中，极坐标和参数方程都是放在选作题的一题中来考查。

由于极坐标是新添的内容，考纲要求比较简单，所以在考试中一般不会有很难的题目。

三、知识点回顾坐标系的作用下，点P （x, y ）对应到点P （X , y ），称「为平面直角坐标系中的坐标伸缩.变换，简称伸缩变换?2.极坐标系的概念： 在平面内取一个定点 0，叫做极点；自极点0引一条射线Ox 叫做极 轴；再选定一个长度单位、 一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这 样就建立了一个极坐标系。

3•点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点 0与点M 的距离|0M |叫做点M 的极径， 记为「；以极轴Ox 为始边，射线 0M 为终边的• xOM 叫做点M 的极角，记为二。

有序 数对（OR 叫做点M 的极坐标，记为M （几旳.极坐标（几力与（亍门，2k 二）（k ・Z ）表示同一个点。

极点 0的坐标为（0门）（” R ）.4.若?:：: 0,则- ?0,规定点（-匚力与点（：「）关于极点对称，即（-6力与（匚二 二）表示同一点。

如果规定「7,0 V 2二，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标 （「门）表示;、题型分布:1 .伸缩变换：设点P （x, y ）是平面直角坐标系中的任意一点, 在变换申：丿X 「X, ( ■0),同时，极坐标（入“表示的点也是唯一确定的。

2 2 2「二 x y , x = Qcosv,y =】si nr, tan v - y (x 0)x6•直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为:⑵——对应图形如下:⑹ J =2acos(v -「)对应图形如下:⑷ — sin 0⑹：—cos(v -)5 •极坐标与直角坐标的互化:cos JPapcos 二QOPaM图5asin^：=COSp -)7•圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为 (a 0):⑵=2a cos⑶’二-2a cosrM ( P印sinva曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做2.常见曲线的参数方程如下:(1)过定点(x o, y o),倾角为a的直线:x =x0 tcos-y = y0 tsin :其中参数t是以定点P (x o, y o)为起点，对应于t点M (x, y)为终点的有向线段PMx = x0 r cosy = y o rsin)图4『=2asin：图5：?二-2asim图6= 2acos(v -:)参数方程1.参数方程的概念：础卞磁x = f(t),的函数*iy =g(t),在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标并且对于t的每一个允许值，由这个方程所确定的点x, y都是某个变数tM (x, y)都在这条的数量，又称为点P与点M间的有向距离.(2)中心在(x o, y o), 半径等于r的圆:普通方程。

(t为参数)(71为参数)『 1X =t 2 x = si nt x = cost A .丿1B. <1C. i1J =t 2i y sin ti ycostx 二 tantD .1y = I. tan t（3）中心在原点，焦点在 x 轴（或y 轴）上的椭圆:（4）顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上的抛物线:四、直击考点：考点一：坐标的变化以及轨迹方程中参数方程与标准方程的互化参数方程与标准方程的互化：标准方程化为参数方程： 熟记常见曲线的参数方程即可。

参数方程转化为标准方程： 牢记参数放一边，然后利用三角函数的知识点消参数。

22sin 日 （女口 sin ） cos J - 1,k 二 tan 二cos 日例题:1把方程xy =1化为以t 参数的参数方程是（）.（或.■ x 二 bcosv、y = asin vx =2 pt 2 I. y = 2pt（t 为参数，p >o ）解答：Dxy =1 , x取非零实数，而A , B , C中的x的范围有各自的限制.x =1 一2t2•若直线的参数方程为y：2_3t（t*参数），则直线的斜率为（解答:x — = 2e t而X2 . y2=1 ,当 v - k ,k Z 时，x = 0 , y =丄(£ -e°)，即x = 0 ；2 2)•-2 —3t x -1 2t3•参数方程x =e _t, （t为参数）的普通方程为解答：x4 計,(_2)—=e -e x丄2e」4•分别在下列两种情况下，把参数方程1x (e e )cosy =』(d -e_L)sin 寸.2化为普通方程:（1）二为参数，t为常数；（2）t为参数，门为常数. 解：(1 )当t =0 时，y =0,x =cos r，即x 乞1,且y = 0 ;当t = 0时，COST 二1(e t e」)2 ,sin 八y—e」)丄(「「)2 l(e t4 4 -e ) (2)当 v - k二，k • Z 时, =1 ；1心，J e t e4)，即x - 1,且y = 0 ；JI JI c 5兀r 2兀 A.—B.—C.—D.—63 632.方程严=一1 +2。

3（t 为非零常数，a 为参数）表示的曲线是y =3 +t si n otx = V o cosa t, y =V 0 sin ： t 一如2,考点二：最值为题通过题意得到参数方程，一般情况下是利用参数方程中三角函数的有界型来求最值 例题2 21•点P （x,y ）是椭圆2x 3y -12上的一个动点，则 x 2y 的最大值为（A . 2.2B . 2、3C .11 D . ■- 22实践练习:1.直线k jr当 ，k • Z时,2e t2x COS 2 rx=3」tt2xe e — -----cosv得t2y e -esi nr2x 2y----- + -------COST sin J 2x 2y COST sinJ，得 2e t 2e 」=(空 红)(红-cos 日 sin 日 COS 6 亠,sin2y sin 2（t 为参数）的倾斜角是A.直线B.圆3.把弹道曲线的参数方程C.椭圆D.双曲线（1）化成普通方程.⑵).解析：C2 2椭圆为H 1，设P(、6cos)2sin 扪,6 4x 2 y =、、6 cos v 4sin v - ■, 22 sin(v - '■ ) _ . 222•已知.：ABC 中,A(-2,0), B(0,2), C(cosy-1 si nr)(二为变数), 求ABC面积的最大值.f x 二COS)解：设C点的坐标为(x, y)，贝U ，y = -1 +s in 日即x2 (y 1)2 =1为以(0, -1)为圆心，以1为半径的圆.•- A(_2,0), B(0,2),••• | AB |= .^4 =2、、2 ,且AB的方程为—」=1,-2 2即x - y 2=0 ,则圆心(0, -1)到直线AB的距离为1一―1)2| =彳& •J12匚(-1)2 2•••点C到直线AB的最大距离为1 3&,2•- S ABC 的最大值是— 2,2 (V \2) =32 •2 2实践练习：1 •在圆x2+ 2x + y2=0上求一点，使它到直线2x+ 3y —5=0的距离最大.2.在椭圆4X2+ 9y2=36上求一点P,使它到直线x+ 2y + 18=0的距离最短（或最长）2 23. A为椭—y1上任意一点，B为圆（X -1）2 y^1上任意一点，求|AB |的最大值和25 9最小值。

考点三：其他综合问题例题：「21.已知曲线；X 2pt（t为参数，p为正常数）上的两点M,N对应的参数分别为^和t2,l y=2pt且匕“2=0,那么|MN戶_______________________ .解析：4p |t1|显然线段MN垂直于抛物线的对称轴，即X轴，|MN F2PI1 -t2F2p|2t! |.2•直线《x—1 +2t（t为参数）被圆x2+ y2=9截得的弦长为（）.ly =2+tA.咚B. 12；5C. 9J5D. 9 .105 5 5 52x = 1 + ^/5t x ―■—解析：B !X"2t庚，把直线[X=12｛代入l"2+t “1+屁丄"StI V5x2 y2 =9得(1 2t)2(2 t)2=9,5t2 8t -4 =0 ,卩7 H ,（厂t2厂4花「.（_8）2 16上，弦长为\ 5 5 5 53 \x = 5cos日,,,,3.已知直线l过定点P（-3,）与圆C : （二为参数）相交于A、B两点.2 y=5si n。

求：（1）若| AB |=8，求直线I的方程;3（2）若点p（_3,）为弦AB的中点，求弦AB的方程.2「x = 5cosT 2 2解: （1）由圆C的参数方程：x2• y2=25 ,』= 5sin日x = -3 tcos:设直线I的参数方程为①3（t为参数），!y =——+t si naI 2将参数方程①代入圆的方程x2• y2=252得4t -12(2cos-八sin：)t-55=0,2•••△ =16[9(2cos sin ) 55] 0 ,所以方程有两相异实数根t!、t2,•- | AB |=出-t21二9(2cos ： sin ： )2 55 =8 ,化简有3cos 二14sin 二cos： =0 ,3解之cos〉=0或tan〉4从而求出直线I的方程为x，3 = 0或3x 4y 1^0 .(2)若P为AB的中点，所以t1t^0 ,由(1 )知2cos= 'sin〉=0，得tan，- -2, 故所求弦AB的方程为4x 2y 15 =0(x2，y2乞25).实践练习：1.已知直线；I : /二了二邱与双曲线（y-2 ）2-x2=1相交于A、B两点, y = 2 + 4tP点坐标P（-1，2）。

求：（1）|PA|.|PB|的值；（2）弦长|AB|; 弦AB中点M与点P的距离。