第19章达标检测卷(120分，90分钟)一、选择题(每题3分，共30分) 1．下列命题是真命题的是( )A ．对角线互相平分的四边形是平行四边形;B ．对角线相等的四边形是矩形C ．对角线互相垂直的四边形是菱形D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 2．如图，矩形OBCD 的顶点C 的坐标为(1，3)，则对角线BD 的长等于( ) A .7 B ．2 2 C ．2 3 D .10(第2题) (第3题) (第4题) (第6题)3．如图，在菱形ABCD 中，∠C ＝108°，AD 的垂直平分线交对角线BD 于点P ，垂足为E ，连结AP ，则∠APB 等于( )A . 50°B ．72°C . 70°D ．80°4．如图，菱形OABC 的顶点B 在y 轴上，顶点C 的坐标为(－3，2)，若反比例函数y ＝kx(x >0)的图象经过点A ，则此反比例函数的表达式为( ) A ．y ＝3x (x >0) B ．y ＝－3x (x >0) C ．y ＝－6x (x >0) D ．y ＝6x (x >0)5．已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中错误的有( )①当AB ＝BC 时，它是菱形；②当AC ⊥BD 时，它是菱形；③当∠ABC ＝90°时，它是矩形；④当AC ＝BD 时，它是正方形．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，有一块矩形纸片ABCD ，AB ＝8，AD ＝6，将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则△CEF 的面积为( )A.12B.98C ．2D ．4 7．如图，菱形ABCD 的周长为16，面积为12，P 是对角线BD 上一点，分别作P 点到直线AB ，AD 的垂线段PE ，PF ，则PE ＋PF 等于( )A ．6B ．3C ．1.5D ．0.758．如图所示，在正方形ABCD 的内部，作等边三角形BCE ，则∠AEB 的度数为( ) A ．60° B ．65° C ．70° D ．75°(第7题) (第8题) (第9题) (第10题)9．如图，四边形ABCD 是菱形，AB ＝5，AC ＝6，AE ⊥BC 于E ，则AE 等于( ) A ．4 B.125 C.245D ．510．如图，在正方形ABCD 中，点P 是AB 上一动点(不与A ，B 重合)，对角线AC ，BD 相交于点O ，过点P 分别作AC ，BD 的垂线，分别交AC ，BD 于点E ，F ，交AD ，BC 于点M ，N .下列结论：①△APE ≌△AME ；②PM ＋PN ＝BD ；③PE 2＋PF 2＝PO 2.其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 二、填空题(每题3分，共30分)11．在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，从(1)AB ＝CD ；(2)AB ∥CD ；(3)OA ＝OC ；(4)OB ＝OD ；(5)AC ⊥BD ；(6)AC 平分∠BAD 这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD 是菱形．如(1)(2)(5)⇒四边形ABCD 是菱形，再写出符合要求的两个：________⇒四边形ABCD 是菱形；________⇒四边形ABCD 是菱形．12．如图所示，矩形ABCD 中，点E 是AD 的中点，且AE ＝1，BE 的垂直平分线MN 恰好过点C ，则矩形的一边AB 的长为________．(第12题) (第13题) (第14题)13．如图，四边形ABCD 是菱形，O 是两条对角线的交点，过O 点的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为________．14．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AC 的中点，DE ⊥AC ，AE ∥BD ，若BC ＝4，AE ＝5，则四边形ACBE 的周长是________．15．如图，在正方形ABCD 中，边长为2的等边三角形AEF 的顶点E ，F 分别在BC 和CD 上，下列结论：①CE ＝CF ；②∠AEB ＝75°；③BE ＋DF ＝EF .其中正确的结论是________．(填序号)(第15题) (第16题) (第17题)16．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ的周长的最小值为________．17．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是AD上一点，把△ABE沿BE折叠，使点A落在点F处，点Q是CD上一点，将△BCQ沿BQ折叠，点C恰好落在直线BF 上的点P处．若∠BQE＝45°，则AE＝________．18．如图，正方形ABCD外有一点M，连结AM，BM，CM.若△AMB，△BMC和正方形ABCD的面积分别是50 cm2，30 cm2和100 cm2，则AM＝________cm.19．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值为____________．(第18题) (第19题) (第20题)20．在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、正方形A3B3C3C2、正方形A4B4C4C3、…、正方形A n B n C n C n－1按如图所示的方式放置，其中点A1，A2，A3，A4，…，A n均在一次函数y＝kx＋b的图象上，点C1，C2，C3，C4，…，C n均在x轴上．若点B1的坐标为(1，1)，点B2的坐标为(3，2)，则点A n的坐标为________．三、解答题(21题8分，26题12分，其余每题10分，共60分)21．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，若∠CAE＝15°，求∠BOE的度数．(第21题)22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∠BAC的平分线AE交CD于点F，交BC于点E，过点E作EG⊥AB于G，连结GF.求证：四边形CFGE是菱形．(第22题)23．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠至△AFE，延长EF交BC于点G，连结AG.(1)求证：△ABG≌△AFG；(2)求BG的长．(第23题)24．如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE＝PB.(1)求证：△BCP≌△DCP；(2)求证：∠DPE＝∠ABC；(3)把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变(如图②)，若∠ABC＝58°，则∠DPE＝________°.(第24题)25．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点．(1)求证：△ABE≌△ADF；(2)过点C作CG∥EA交AF于点H，交AD于点G，若∠BAE＝30°，∠BCD＝130°，求∠AHC的度数．(第25题)26．在▱ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，过点O 作直线EF ，GH ，分别交平行四边形的四条边于E ，F ，G ，H 四点，连结EG ，GF ，FH ，HE .(1)如图①，试判断四边形EGFH 的形状，并说明理由； (2)如图②，当EF ⊥GH 时，四边形EGFH 的形状是________；(3)如图③，在(2)的条件下，若AC ＝BD ，四边形EGFH 的形状是________； (4)如图④，在(3)的条件下，若AC ⊥BD ，试判断四边形EGFH 的形状，并说明理由．(第26题)答案一、1.A 2.D 3.B4．D 点拨：∵菱形OABC 的顶点B 在y 轴上，顶点C 的坐标为(－3，2)，∴点A 的坐标为(3，2)，∴k 3＝2，解得k ＝6，∴y ＝6x(x >0)．故选D .5．A 点拨：①当AB ＝BC 时，它是菱形，正确；②当AC ⊥BD 时，它是菱形，正确；③当∠ABC ＝90°时，它是矩形，正确；④当AC ＝BD 时，它是矩形，因此④是错误的．6．C 点拨：∵AB ＝8，AD ＝6，将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，∴DB ＝8－6＝2，∠EAD ＝45°.又∵将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ， ∴AB ＝AD －DB ＝6－2＝4，△ABF 为等腰直角三角形， ∴BF ＝AB ＝4，∴CF ＝BC －BF ＝6－4＝2， 而EC ＝DB ＝2，∴△CEF 的面积＝12×2×2＝2.7．B 8.D 9.C10．D 点拨：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠P AE ＝∠MAE ＝45°.∵PM ⊥AC ，∴∠PEA ＝∠MEA .又∵AE ＝AE ，∴△APE ≌△AME ，故①正确；由①得PE ＝ME ，∴PM ＝2PE .同理PN ＝2PF ，又易知PF ＝BF ，四边形PEOF 是矩形，∴PN ＝2BF ，PM ＝2FO ，∴PM ＋PN ＝2FO ＋2BF ＝2BO ＝BD ，故②正确；在Rt △PFO 中，∵FO 2＋PF 2＝PO 2，而PE ＝FO ，∴PE 2＋PF 2＝PO 2，故③正确．二、11.(1)(2)(6)；(3)(4)(5) 点拨：答案不唯一．12.3 点拨：连结EC .因为FC 垂直平分BE ，所以BC ＝EC .又因为AD ＝BC ，AE ＝1，E 是AD 的中点，所以DE ＝1，EC ＝AD ＝2，利用勾股定理可得CD ＝ 3.所以AB ＝ 3.13．12 点拨：∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，∴菱形的面积＝12×6×8＝24.∵O是菱形两条对角线的交点，∴阴影部分的面积＝12×24＝12.14．18 点拨：易证△AED ≌△DBC ，∴BD ＝AE ＝5，由勾股定理得CD ＝3，∴AC ＝2CD ＝6，易得四边形BCDE 是矩形，∴BE ＝CD ＝3，∴四边形ACBE 的周长为4＋6＋5＋3＝18.15．①②16．6 点拨：连结DE 交AC 于点Q ′.∵四边形ABCD 是正方形，∴点B 与点D 关于直线AC 对称，∴DE 的长即为BQ ＋QE 的最小值，Q ′是使△BEQ 的周长为最小值时的点．由勾股定理得DE ＝AD 2＋AE 2＝42＋32＝5，∴△BEQ 的周长的最小值＝DE ＋BE ＝5＋1＝6.17．2 点拨：由折叠知∠EBQ ＝12∠ABC ＝45°.∵∠BQE ＝45°，∴∠BEQ ＝90°，BE ＝EQ .易证△BAE ≌△EDQ ，∴ED ＝AB ＝4，∴AE ＝AD －ED ＝6－4＝2.18.356 点拨：作ME ⊥AB ，交AB 的延长线于点E .作MG ⊥BC ，交CB 的延长线于点G .设MG ＝m cm ，ME ＝n cm .由题意可知AB ＝10 cm ，∵△ABM 和△BMC 的面积分别为50 cm 2，30 cm 2，∴10n ＝50×2，10m ＝30×2，∴n ＝10，m ＝6，∴AE ＝16 cm .∴在Rt △AME中，AM ＝162＋102＝356(cm )．19．2.4 点拨：连结AP ，在△ABC 中，∵AB ＝6，AC ＝8，BC ＝10，∴AB 2＋AC 2＝BC 2，∴∠BAC ＝90°.又∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，∴四边形AFPE 是矩形，∴EF ＝AP .∵M 是EF 的中点，∴AM ＝12AP .根据直线外一点与直线上任一点所连的线段中，垂线段最短，可知当AP ⊥BC时，AP 最短，同样AM 也最短．当AP ⊥BC 时，12AB ·AC ＝12BC ·AP ，即12×6×8＝12×10AP ，∴AP ＝4.8.∴AM 的最小值为12×4.8＝2.4.20．(2n －1－1，2n －1) 点拨：本题运用从特殊到一般的思想，由题意，得点A 1(0，1)，A 2(1，2)，A 3(3，4)，A 4(7，8)，…，根据以上总结规律，可得A n (2n －1－1，2n －1)．三、21.解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝∠ABC ＝90°，AO ＝BO ＝12AC ＝12BD .∵AE 是∠BAD 的平分线，∴∠BAE ＝45°.又∵∠CAE ＝15°，∴∠BAC ＝60°.∴△AOB 是等边三角形，∴∠ABO ＝60°，AB ＝OB .在Rt △ABE 中，∵∠BAE ＝45°，∴∠AEB ＝90°－45°＝45°＝∠BAE ，∴AB ＝BE .∴OB ＝BE .∴∠BOE ＝∠BEO .又∵∠OBE ＝∠ABC －∠ABO ＝90°－60°＝30°， ∴∠BOE ＝12×(180°－30°)＝75°.22．证明：由∠ACB ＝90°，AE 平分∠BAC ，EG ⊥AB ， 易证△ACE ≌△AGE ， ∴CE ＝EG ，∠AEC ＝∠AEG . ∵CD 是AB 边上的高，EG ⊥AB ， ∴EG ∥CD ， ∴∠EFC ＝∠AEG ， ∴∠EFC ＝∠AEC ， ∴FC ＝EC ，∴FC ＝EG ， ∴四边形CFGE 是平行四边形． 又∵GE ＝CE ，∴四边形CFGE 是菱形．23．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B ＝∠D ＝90°，AD ＝AB . 由折叠可知，AD ＝AF ，∠AFE ＝∠D ＝90°，∴∠AFG ＝90°，AB ＝AF . ∴∠B ＝∠AFG ＝90°.又∵AG ＝AG ，∴Rt △ABG ≌Rt △AFG (H .L .)． (2)解：∵△ABG ≌△AFG ，∴BG ＝FG . 设BG ＝FG ＝x ，则GC ＝6－x ， ∵E 为CD 的中点， ∴EF ＝DE ＝CE ＝3， ∴EG ＝x ＋3，在Rt △CEG 中，由勾股定理，得32＋(6－x )2＝(x ＋3)2，解得x ＝2， ∴BG ＝2.24．(1)证明：在正方形ABCD 中，BC ＝DC ，∠BCP ＝∠DCP ＝45°. 在△BCP 和△DCP 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DC ，∠BCP ＝∠DCP ，PC ＝PC ， ∴△BCP ≌△DCP (S .A .S .)．(第24题)(2)证明：如图，由(1)知， △BCP ≌△DCP ， ∴∠CBP ＝∠CDP . ∵PE ＝PB ， ∴∠CBP ＝∠E ，∴∠CDP ＝∠E .又∵∠1＝∠2(对顶角相等)，∴180°－∠1－∠CDP ＝180°－∠2－∠E ，即∠DPE ＝∠DCE .∵AB ∥CD ， ∴∠DCE ＝∠ABC ，∴∠DPE ＝∠ABC . (3)58点拨：(3)小题的答案，可运用类比法求出，类比前面的推理，发现∠DPE ＝∠ABC 仍然成立．25．(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠B ＝∠D .又∵E ，F 分别是BC ，CD 的中点，∴BE ＝DF .在△ABE 和△ADF 中， ∵AB ＝AD ，∠B ＝∠D ，BE ＝DF ，∴△ABE≌△ADF(S.A.S.)．(2)解：∵四边形ABCD是菱形，∠BCD＝130°，∴∠BAD＝∠BCD＝130°.由(1)得△ABE≌△ADF，∴∠DAF＝∠BAE＝30°.∴∠EAH＝∠BAD－∠BAE－∠DAF＝130°－30°－30°＝70°. ∵AE∥CG，∴∠EAH＋∠AHC＝180°.∴∠AHC＝180°－∠EAH＝180°－70°＝110°.26．解：(1)四边形EGFH是平行四边形．理由：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴点O是▱ABCD的对称中心．∴EO＝FO，GO＝HO.∴四边形EGFH是平行四边形．(2)菱形(3)菱形(4)四边形EGFH是正方形．理由：∵AC＝BD，AC⊥BD，∴▱ABCD是正方形，∴∠BOC＝90°，∠GBO＝∠FCO＝45°，OB＝OC.∵EF⊥GH，∴∠GOF＝90°.∴∠BOG＝∠COF.∴△BOG≌△COF.∴OG＝OF，∴GH＝EF.由(1)知四边形EGFH是平行四边形，又∵EF⊥GH，EF＝GH.∴四边形EGFH是正方形．。