广东海洋大学2006 ——2007学年第一学期《高等数学》课程试题课程号： 1920008□ 考试□ A 卷□ 闭卷□ 考查□ B 卷□ 开卷一． 计算（20分，各4分）.1.x x x x sin 2cos 1lim0-→. 2.⎰+x dx2cos 1.3.⎰-++1121sin 1dx xx . 4.x x x x )1232(lim ++∞→. 5.⎰262cos ππxdx .二.计算（20分，各5分）. 1.求)arcsin(tan x y =的导数。
2.求由方程0=-+e xy e y所确定的隐函数y 的二阶导数22dxyd 。
3.已知⎩⎨⎧==te y t e x tt cos sin ，求当3π=t 时dx dy的值。
4.设x y y x z 33-=，求xy zx z ∂∂∂∂∂2,.三.计算.（25分，各5分）.1. dx x x ⎰+9232.dx e x ⎰班级：计科1141 姓名： 阿稻学号：2014xx试题共2页加白纸4张密封线GDOU-B-11-3023.dttedt e xt xt x ⎰⎰→020222)(lim .4.求]1)1ln(1[lim 0xx x -+→. 5.dx x ⎰-202sin 1π.四.解答（14分，各7分）.1.问12+=x xy ()0≥x 在何处取得最小值？最小值为多少？ 2.证明x x xx<+<+)1ln(1.五.解答（21分，各7分）.1.求由2x y =与x y 2=围成图形的面积。
2.求由x x x y ),0(,sin π≤≤=轴围成的图形绕x 轴所产生的旋转体的体积。
3.计算σd y x D⎰⎰+)(22，其中D 是矩形闭区域：1,1≤≤y x .《高等数学》课程试题A 卷答案一. 计算 （20分 各4分）1.原式＝2sin sin 220lim =→x x x x 2.原式＝c x xdx +=⎰tan 21sec 212 3. 原式＝201arctan 211112π⎰-==+x dx x 4. 原式＝e x x x =++∞→)1221(lim 5. 原式＝83622cos 126-=+⎰πππdx x 二、计算 （20分 各5分） 1.x xy 22sec tan 11'-=2.两边对x 求导，得：0''=++xy y y e y yex yy +-=' 2)()'1()('''y y y e x y e y e x y y ++-+-= 32)(22y yy e x e y ye xy +-+= 3.tt tt t e t e t e t e dx dy tt t t sin cos sin cos cos sin sin cos +-=+-=2331313-=+-==πt dx dy 4.323y y x xz -=∂∂222233y x y x z x y z -=∂∂∂=∂∂∂三、计算 （20分 各5分）1.原式＝c x x dx x x x x ++-=+-+⎰)9ln(29219992223 2. 原式＝c e e x c e te dt te x xt t t +-=+-=⎰)(2)(223. 原式＝2222220lim=⎰→x xt xx xedte e4. 原式＝212111)1ln(lim lim20=+-=+-→→x x x x x x x 5. 原式＝222)cos (sin )sin (cos cos sin 244020-=-+-=-⎰⎰⎰ππππdx x x dx x x dx x x四、解答 （14分 各7分）1.解:0)x (1x 1'y 222=+-= 1x ±= 1x -=（舍）又 00x y 211x y ==== 故：函数在1x =取到最大值，最大值为21。
2.证明：令)0(ln )(>=x x x f ，考虑区间]1,1[x +。
显然，此函数在这个区间上满足（1）在闭区间上连续；（2）在开区间可导。
由拉格朗日定理得：至少存在一点)1,1(x +∈ξ使得:ξξ1)('111ln )1ln(==-+-+f x x 。
由ξ的范围可以知道：1111<<+ξx 。
从而，我们可以得到1)1ln(11<+<+xx x 。
整理得：x x xx<+<+)1ln(1。
五、解答 （21分 各7分）1.解：2x y =与x y 2=的交点为)4,2(),0,0(利用元素法:取积分变量为x ，积分区间为[1,2]。
（1）面积元素为dx x x dA )2(2-=（2）此面积为34)2(202=-=⎰dx x x A 。
2.解：利用元素法：取积分变量为x ，积分区间[0,π]。
（1）体积元素为xdx dV 2sin π= （2）此旋转体的体积为2sin 22πππ==⎰xdx V 。
3.解：38)(4)(4)(10221012222=+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰dy y x dx d y x d y x D Dσσy广东海洋大学2006—— 2007学年第一学期《高等数学》课程试题（B ）课程号： 1921006x 1√ 考试□ A 卷√ 闭卷□ 考查√ B 卷□ 开卷一、填空（21分，每小题3分）1．若函数⎩⎨⎧≥+<=0,0,)(x x a x e x f x 在0=x 点连续，则a = 12．函数x x a y 3sin 31sin +=在3π=x 处取得极值，则=a 23．若)0(f '存在，且0)0(=f ，则=→xx f x )(lim)0(f ' 4. 曲线x e y =在点)1,0(处的法线方程为 x+y-1=0 5．函数x x y ln 2=的二阶导数=''y 2lnx+36．设)(x f 具有原函数为)(x F ，则='⎰dx x f x )( xf(x)-F(x)+C班级：姓名：学号：试题共 密封线7．=-+⎰-dx x x 2112)1( 2二、计算题（每小题5分，共25分）1、xx x 10)31(lim -→ 解：原式=11(3)330lim[1(3)]x x xx x e ---→+-=2 123lim 2331+--+-→x x x x x x 解：原式=22113363lim lim 321622x x x x x x x →→-==--- 3 设,42arcsin 2x x x y -+=求dy12arcsin arcsin221(2)arcsin 2x xy x x xdx'=+=-解: 故 dy=4．求由方程0sin 21=+-y y x 所确定的隐函数y 的二阶导数22dxy d解： 两边对x 求导2111cos 0121cos 21sin21(1cos )2y y y y y y yy y '''-+=−−→=-'-''==- 5．求曲线)1ln(2x y +=的凸凹区间与拐点.解：22222222(1)222(1)(1),0,1(1)(1)xx x x x x y y x x x +-+-'''====+++令得x=±1三．求下列积分（每小题6分，共30分） 1．dx xx ⎰-2492 ⎰xdx arctan3．dx x x ⎰-π203cos cos2202021/21/23/23/220(cos )cos (cos )cos 228(cos )(cos )333x dxxdx xdxx d x x d xx x πππππππππππ===-=-+=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式4 dx x⎰+41115．dx x x ⎰∞++12)1(1四求由曲线2y=,直线1=3xx以及x轴所围成的平面图形的面积及该图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积.（10分）解：略五要造一长方体的带盖箱子，体积为72平方厘米，而底面长与宽的比为2：1，问长、宽、高各为多少时，表面积最小，求出表面积。
（7分）六 证明：当0>x 时，221)1ln(x x x ->+.（7分）221()ln(1)2111()10,()110(0)0,F x x x x x x x F x x F x x xf =+-+--++'=-+=>++>>=证明:设则故为增函数当x 时,有f(x)即证广东海洋大学2007——2008学年第一学期《高等数学》课程试题（A ）课程号： 1921006x 1□√ 考试□√ A 卷□√ 闭卷□ 考查□ B 卷□ 开卷班级：姓名：密 GDOU-B-11-302一、填空（21分，每小题3分）1．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0,0,11)(x a x xx x f ,则常数a = 1/2时, )(x f 在),(∞+-∞内连续.2．若当0→x 时,a e x x -+cos 是无穷小量，则常数a = 2 .3．曲线x ycos =的最大曲率是 .4. 曲线x y tan =过点)1,4(π的切线方程为 y-1=2(x-4π) .5．设dt t t x x)(sin )(20⎰+=ϕ,则=)(x d ϕ2x dx . 6．dx x ⎰∞++02)1(1= 1 . 7．=++⎰-dx xx x )3cos (3324318 . 二、计算题（每小题5分，共25分）1、222)sin 1(lim x x x +→ 解：原式=22212sin 22sin 0lim(1sin )xxx x x e →+=2 )1ln()1ln(lim 0x x x x x ++-→000011ln(1)111limlimlim 22(1)211lim ln(1)112x x x x x x x x x x x x →→→→--++===+==+++洛洛原式=3. 求由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-+==13arctan 3t t y t x 所确定的函数的二阶导数22dx y d .2234222222()14421,4(1)1(1)1(1)dy d dtdy dy dt t d yt t dx t t t t dx dx dt t dxdx dt t ++===++===+++ 4．设方程 y xe y x -=+1确定一个隐函数)(x y y =,求 )(x y ' 解：111y yyy e y e xe y y xe +'''+=--=-+三. (11分) 设函数2)1(-=x x y =322x x x -+. 1.求函数的单调区间、极值；（6分） 2.凹凸区间和拐点. （5分）2122341(31)(1)01/316402/3y x x x x x y x x '=-+=--===''=-==令令得x 得四．求下列积分（每小题5分，共20分） 1．dx x e x ⎰+cos )3(sinsin sin sin cos 3cos sin 3sin 3sin x x x e xdx xdx e d x x e x C +=+=++⎰⎰⎰2.⎰+dx x x )1ln(222222222ln(1)ln(1)ln(1)1ln(1)ln(1)111ln(1)ln 12x dx x x x d x x x x dx x x x dx x x x x x x x C=+=+-+=+-=+--+++=+-+-++⎰⎰⎰⎰原式3．dx x x ⎰--21424 ，222110221/2221/221023/2023/2210(411(4)(4)(4)(4)2211(4)(4)......33x xx dxx d x x d x x x ----==-+-=-----=---=⎰⎰⎰⎰⎰原式4.dx x x ⎰++41252234331011204,31592()......62t t x dx tdtx x t t t t dt t t -======-+==+=⎰⎰解: 时,t=1时五. (8分) 设曲线x y =与x y =围成的图形记为E1.求E 的面积;2.图形E 绕x 轴旋转而成的旋转体的体积.解：略六 .证明：当0>x 时，ln(1)arctan /(1)x x x +>+.（7分）.故当x>0时，f(x)>f(0)=0, 得证。