[A 基础达标]
1．设M 和m 分别是函数y ＝1
3cos x －1的最大值和最小值，则M ＋m 等于( )
A.2
3 B ．－23
C ．－43
D ．－2
解析：选D.需根据y ＝cos x 的性质(或图像)确定M 、m .由y ＝13cos x －1，可知y max ＝M ＝1
3－
1＝－23，y min ＝m ＝－13－1＝－4
3.所以M ＋m ＝－2.
2.函数f (x )＝x sin ⎝⎛⎭⎫π
2－x ( )
A ．是奇函数
B ．是非奇非偶函数
C ．是偶函数
D ．既是奇函数又是偶函数
解析：选A.由题意，得函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称．又f (x )＝x sin ⎝⎛⎭⎫
π2－x ＝x cos x ， 所以f (－x )＝(－x )cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )， 所以函数f (x )为奇函数．
3．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π
2的值域是( ) A.⎝
⎛⎦⎤－
32，12 B.⎣⎡⎦⎤－12，32 C.⎣⎡
⎦
⎤
32，1
D.⎣⎡⎦⎤12，1
解析：选B.因为0≤x ≤π2，所以π6≤x ＋π6≤2π
3.
因为y ＝cos x 在[0，π]上为减函数， 所以－12≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤ 3
2
. 4．已知函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫
k 4x ＋π3(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是( ) A ．10 B ．11 C ．12
D ．13
解析：选D.因为T
＝2πk 4＝8π
k ≤2，所以k ≥4π，
又k ∈N ＋，所以正整数k 的最小值为13.
5．若函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图像和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为( ) A ．4 B ．8 C ．2π
D ．4π
解析：选D.由图可知，图形S 1与S 2，S 3与S 4都是两个对称图形，有S 1＝S 2，S 3＝S 4，因此函数y ＝2cos x 的图像与直线y ＝2所围成的图形面积可以等积的转化为矩形OABC 的面积． 因为|OA |＝2，|OC |＝2π， 所以S 矩形＝2×2π＝4π，故选D.
6．方程x 2－cos x ＝0的实数解的个数是________．
解析：作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图像，如图所示，由图像，可知原方程有两个实数解．
答案：2
7．函数f (x )的定义域为[0，1]，则f (cos x )的定义域是________． 解析：由0≤cos x ≤1得，
2k π－π2≤x ≤2k π＋π
2，k ∈Z .所以f (cos x )的定义域为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z . 答案：⎣
⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π
2，k ∈Z 8．已知函数f (x )＝12sin 2x ＋a cos 2x ，当x ＝π
12时取得最大值1，则a 的值为________．
解析：由f ⎝⎛⎭⎫π12＝1得12sin π6＋a cos π
6＝1， 所以14＋32a ＝1，解得a ＝32.
答案：
3
2
9．已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；
(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 的值． 解：(1)令2k π－π≤3x ＋π
4≤2k π(k ∈Z )，
解得2k π3－5π12≤x ≤2k π3－π
12
(k ∈Z )，
所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π3－5π12，2k π3－π12(k ∈Z )． (2)当3x ＋π
4＝2k π－π(k ∈Z )时，f (x )取最小值－2，
即x ＝2k π3－5π
12
(k ∈Z )时，f (x )取得最小值－2.
10．求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
4的对称中心，对称轴方程，递减区间和最小正周期． 解：设t ＝2x ＋π
4
，
则函数y ＝cos t 的图像如图所示．
由图像可知对称轴t ＝k π(k ∈Z )，则2x ＋π
4＝k π(k ∈Z )．
所以x ＝k ·π2－π
8(k ∈Z )即为所求对称轴方程．
令t ＝k π＋π2(k ∈Z )，则2x ＋π4＝k π＋π
2(k ∈Z )．
所以x ＝k ·π2＋π
8
(k ∈Z )．
所以⎝⎛⎭⎫k ·π2＋π
8，0(k ∈Z )即为所求对称中心． 当t ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )时，函数是递减的， 即2k π≤2x ＋π
4≤2k π＋π(k ∈Z )．
所以x ∈⎣⎡⎦⎤k π－π8，k π＋3
8π(k ∈Z )． 所以其递减区间为⎣
⎡⎦⎤k π－π8，k π＋3
8π(k ∈Z )．
因为f ⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋2π＝f ⎝
⎛⎭⎫2（x ＋π）＋π4. 所以最小正周期T ＝π.
[B 能力提升]
11．已知f (x )＝12(sin x ＋cos x )－1
2|sin x －cos x |，则f (x )的值域是( )
A ．[－1，1] B.⎣
⎡⎦
⎤－
22，1 C.⎣
⎡⎦
⎤－1，
22 D.⎣
⎡⎦
⎤
－1，－
22 解析：选 C.当sin x ≥cos x 时，f (x )＝cos x ；当sin x <cos x 时，f (x )＝sin x ，即f (x )＝
⎩⎪⎨
⎪⎧cos x ，sin x ≥cos x ，
sin x ，sin x <cos x .
作出函数y ＝f (x )的图像，如图实线所示．由图可得函数f (x )的值域为⎣
⎡⎦
⎤
－1，
22.
12．已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图像有一个横坐标为π
3的交点，则φ
的值是________．
解析：由题意可得两个函数图像有一个交点坐标是⎝⎛⎭⎫π3，12，所以sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝1
2，又0≤φ<π，解得φ＝π
6.
答案：π6
13．已知函数y ＝a －b cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6(b >0)的最大值为32，最小值为－12. (1)求a ，b 的值；
(2)求函数g (x )＝－4a sin ⎝⎛⎭⎫bx －π
3的最小值并求出对应x 的集合． 解：(1)cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
6∈[－1，1]， 因为b >0，
所以－b <0，⎩⎨
⎧
y max ＝b ＋a ＝3
2，
y
min ＝－b ＋a ＝－1
2
，
所以a ＝1
2
，b ＝1.
(2)由第一问知：g (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3， 因为sin ⎝⎛⎭⎫x －π
3∈[－1，1]， 所以g (x )∈[－2，2]，
所以g (x )的最小值为－2，对应x 的集合为 ⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪x ＝2k π＋56π，k ∈Z .
14．(选做题)设0≤x ≤π，函数f (x )＝sin(cos x )，g (x )＝cos(sin x )， (1)求f (x )的最大值、最小值；
(2)将f (x )，g (x )的最大值、最小值按从小到大的顺序排列； (3)讨论f (x )和g (x )的大小关系．
⎝⎛⎭
⎫已知当0<x <π2时，sin x <x 解：(1)当0≤x ≤π
2时，0≤cos x ≤1，
因为sin x 在[0，1]上是增加的， 所以f (x )的最大值为sin 1，最小值为0.
当π
2
<x ≤π时，－1≤cos x <0，而sin x 在[－1，0)上是增加的． 所以f (x )的最小值为sin(－1)，无最大值．
综上所述，f (x )的最大值为sin 1，最小值为sin(－1)．
(2)同理，因为0≤x ≤π，0≤sin x ≤1，cos x 在[0，1]上是减少的， 所以g (x )的最大值为cos 0，g (x )的最小值为cos 1. 所以sin(－1)<cos 1<sin 1<cos 0. (3)当0≤x <π2，0<cos x ≤1<π
2，
因为当0<x <π
2
时，sin x <x .
所以sin(cos x )<cos x . 又因为0≤sin x <x <π
2，
而cos x 在⎣⎡⎭⎫0，π
2上是减少的， 所以cos(sin x )>cos x ，
所以sin(cos x )<cos(sin x )，所以f (x )<g (x )． 当π
2
≤x ≤π时，cos x ≤0，0≤sin x ≤1， 所以sin(cos x )≤0，cos(sin x )>0， 所以sin(cos x )<cos(sin x )， 所以f (x )<g (x )．
综上，当0≤x ≤π时，总有f (x )<g (x )．。