2012年三明市初中毕业暨高级中等学校招生统一考试数 学 试 题（满分：150分 考试时间：120分钟）友情提示：1.作图或画辅助线等需用签字笔描黑.2.未注明精确度的计算问题，结果应为准确数．．．. 3.抛物线2y ax bx c =++(0a ≠)的顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 4422，，对称轴a bx 2-=. 一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分.每小题只有一个正确选项，请在答题卡．．．的相应位置填涂）1. 在－2，－12，0，2四个数中，最大的数是( ▲ ) A. －2 B. －12C. 0D. 2 2．据《2011年三明市国民经济和社会发展统计公报》数据显示，截止2011年末三明市 常住人口约为2 510 000人，2 510 000用科学记数法表示为（▲） A ．425110⨯ B ．525.110⨯ C ．62.5110⨯ Ｄ．70.25110⨯3．如图，AB //CD ，∠CDE =140︒，则∠A 的度数为（▲） A ．140︒ B ．60︒ C ．50︒ D ．40︒ 4．分式方程523x x=+的解是(▲) A ．2x = B ．1x = C ．12x =D ．2x =- 5．右图是一个由相同小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置上的小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（▲）6．一个多边形的内角和是720︒，则这个多边形的边数为（▲） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 7．下列计算错误．．的是(▲) A．= B= C．2= D8．如图，AB 是⊙O 的切线，切点为A ，OA =1，∠AOB =60︒，则图中阴影部分的面积是（▲）A ．16πB ．13πC 16π-D 13π-9．在一个不透明的盒子里有3个分别标有数字5，6，7的小球，它们 除数字外其他均相同．充分摇匀后，先摸出1个球不放回，再摸出 1个球，那么这两个球上的数字之和为奇数的概率为（▲）A ．23 B ．59 C ．49 D ．1310．如图，在平面直角坐标系中，点A 在第一象限，点P 在x 轴上，若以P ，O ，A 为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的 点P 共有（▲）A ． 2个B ． 3个C ．4个D ．5个二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分．请将答案填在答题卡．．．的相应位置）11．分解因式：2x xy += ▲ ．12．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，若BC =6，则DE = ▲ ．13．某校九（1）班6位同学参加跳绳测试，他们的成绩（单位：次/分钟）分别为：173，160，168，166，175， 168．这组数据的众数是 ▲ ．14．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，∠BDE =∠CDF ，请你添加一个．．条件，使DE =DF 成立．你添加的条件是 ▲ ． (不再添加辅助线和字母) 15．如图，点A 在双曲线2(0)y xx=>上，点B 在双曲线 4(0)y x x=>上，且AB //y 轴，点P 是y 轴上的任意一点，则△PAB 的面积为 ▲ ．16．填在下列各图形中的三个数之间都有相同的规律，根据此规律，a 的值是 ▲ ．三、解答题（共7题，满分86分．请将解答过程写在答题卡．．．的相应位置） 17. (本题满分14分）（1）计算：0111)22-+--；（7分） （2）化简：2112()4416x x x +÷-+-．（7分）18. (本题满分16分)（1）解不等式组231,110.2x x -≤⎧⎪⎨+>⎪⎩ 并把解集在数轴上表示出来；（8分）（2）如图，已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A （－2，－1），B （－3，－3），C （－1，－3）.①画出△ABC 关于x 轴对称的△111A B C ，并写出点1A 的坐标；（4分） ②画出△ABC 关于原点O 对称的△222A B C ，并写出点2A 的坐标.（4分）为了解某县2012年初中毕业生数学质量检测成绩等级的分布情况，随机抽取了该县若干名初中毕业生的数学质量检测成绩，按A，B，C，D四个等级进行统计分析，并绘制了如下尚不完整的统计图：请根据以上统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次抽取的学生有___▲名；（2分）（2）补全条形统计图；（2分）（3）在抽取的学生中C级人数所占的百分比是__▲；（2分）（4）根据抽样调查结果，请你估计2012年该县1430名初中毕业生数学质量检测成绩为A级的人数．（4分）20．(本题满分10分)某商店销售A，B两种商品，已知销售一件A种商品可获利润10元，销售一件B种商品可获利润15元．（1）该商店销售A，B两种商品共100件，获利润1350元，则A，B两种商品各销售多少件？（5分）（2）根据市场需求，该商店准备购进A，B两种商品共200件，其中B种商品的件数不多于A种商品件数的3倍．为了获得最大利润，应购进A，B两种商品各多少件？可获得最大利润为多少元？（5分）如图，在△ABC 中，点O 在AB 上，以O 为圆心的圆经过A ，C 两点，交AB 于点D ，已知∠A =α，∠B =β， 且2α+β=90︒．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（5分） （2）若OA =6，3sin 5β=，求BC 的长．（5分）22．（本题满分12分）已知直线25y x =-与x 轴和y 轴分别交于点A 和点B ，抛物线2y x bx c =-++的顶点M 在直线AB 上，且抛物线与直线AB 的另一个交点为N ． （1）如图①，当点M 与点A 重合时，求：①抛物线的解析式；（4分）②点N 的坐标和线段MN 的长；（4分）（2）抛物线2y x bx c =-++在直线AB 上平移，是否存在点M ，使得△OMN 与△AOB相似？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．（4分）在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE＝12∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．（1）当点P与点C重合时（如图①）．求证：△BOG≌△POE；（4分）（2）通过观察、测量、猜想：BFPE= ▲，并结合图②证明你的猜想；（5分）（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图③），若∠ACB=α，求BFPE的值．（用含α的式子表示）（5分）2012年三明市初中毕业暨高级中等学校招生统一考试数学试卷参考答案及评分标准说明：以下各题除本参考答案提供的解法外，其他解法参照本评分标准，按相应给分点评分.一、选择题(每小题4分，共40分)1. D2. C3. D4. A5. B6. C7. B8. C9. A 10. C 二、填空题（每小题4分，共24分）11. ()x x y + 12. 3 13. 168 14. 答案不唯一；如：AB =AC ；或∠B =∠C ；或∠BED =∠CFD ；或∠AED =∠AFD 等；15. 1 16. 900 三、解答题（共86分） 17．（1）解：原式=11122+- ……………6分 =1.……………7分（2）解法一：原式=11(4)(4)()442x x x x +-+⋅-+ ……………2分 = 4422x x +-+……………6分 =x . ……………7分解法二：原式=(4)(4)(4)(4)(4)(4)2x x x x x x ++-+-⋅+-……………4分=442x x ++- ……………6分 =x .……………7分 18．解：（1）解不等式①，得 2x ≤，……………2分 解不等式②，得 x >-2. ……………4分不等式①，②的解集在数轴上表示如下：……………6分 所以原不等式组的解集为22x -<≤． ……………8分（2）①如图所示，1(2, 1)A -；画图正确3分，坐标写对1分；②如图所示，2(2, 1)A ． 画图正确3分，坐标写对1分；19．解：（1）100； …………2分 （2）如图所示； …………4分 （3）30%； …………6分 （4）1430×20%＝286（人） …………9分 答：成绩为A 级的学生人数约为286人．…10分20．解：（1）解法一：设A 种商品销售x 件，则B 种商品销售（100- x ）件．……………1分 依题意，得 1015(100)1350x x +-= ……………3分 解得x =30．∴ 100- x =70．……………4分答：A 种商品销售30件，B 种商品销售70件. ……………5分 解法二：设A 种商品销售x 件， B 种商品销售y 件． ……1分依题意，得 100,10151350.x y x y +=⎧⎨+=⎩ ……………3分解得30,70.x y =⎧⎨=⎩ ……………4分答：A 种商品销售30件，B 种商品销售70件. ……………5分（2）设A 种商品购进x 件，则B 种商品购进（200- x ）件． ………6分依题意，得0≤ 200- x ≤3x解得 50≤x ≤200 ……………7分 设所获利润为w 元，则有w =10x +15（200- x ）= - 5x +3000 ……………8分 ∵- 5＜0，∴w 随x 的增大而减小. ∴当x =50时，所获利润最大5503000w =-⨯+最大=2750元. ……………9分200- x =150.答：应购进A 种商品50件，B 种商品150件，可获得最大利润为2750元.……………10分21.(1)证明:证法一：连接OC (如图①)，∴∠BOC =2∠A=2α， ……2分∴∠BOC+∠B=2α+β=90︒．∴∠BCO =90︒．即OC ⊥BC ． ……4分 ∴BC 是的⊙O 切线． ……5分 证法二：连接OC (如图①)， ∵ OA =OC ， . ∴∠ACO =∠A =α． ……1分 ∵ ∠BOC =∠A+∠ACO=2α， ……2分∴∠BOC+∠B=2α+β=90︒． ……3分∴∠BCO =90︒．即OC ⊥BC ． ……4分 ∴BC 是的⊙O 切线． ……5分证法三：连接OC (如图①)，∵OA =OC ，∴∠O CA =∠A =α. ……1分 在△ACB 中，∠ACB =180︒－（∠A +∠B ）=180︒－（α+β） ∴∠BCO =∠ACB －∠ACO =180︒－（α+β）－α =180︒－（2α+β）. ……3分 ∵2α+β=90︒,∴∠BCO 90=.即OC ⊥BC ． ……4分 ∴BC 是⊙O 的切线. ……5分 证法四：连接OC ，延长BC (如图②)，∴∠ACE =∠A +∠B =α+β. …… 1分 又∵OA =OC ，∴∠O CA =∠A =α. …… 2分 ∴∠OCE =∠OCA +∠ACE =α+α+β=2α+β=90. … 4分即OC ⊥BC .∴BC 是⊙O 的切线. … 5分 证法五：过点A 作AE ⊥BC ，交BC 的延长线于点E ，连接OC (如图③)， 在Rt △AEB 中，∠EAB +∠B =90︒. …… 1分 ∵∠CAB =α，∠B =β，且 2α+β=90︒，∴∠EAB =2α.∴∠EAC =∠CAB =α. …… 2分 ∵OC =OA ,∴∠OAC =∠OCA =α，∠EAC =∠OCA . …… 3分 ∴O C//AE . ∴OC ⊥BC . …… 4分 ∴BC 是⊙O 的切线. …… 5分 (2)∵OC =OA =6，由(1)知，OC ⊥BC ，在Rt △BOC 中，sin β=OCOB，∵sin β=35，∴35=6OB ． …… 8分∴OB =10． …… 9分∴BC =8． …… 10分22．（1）解：①∵直线25y x =-与x 轴和y 轴交于点A 和点B ，∴5(,0)2A ，(0,5)B -． ……1分解法一：当顶点M 与点A 重合时，∴5(,0)2M . ……2分 ∴抛物线的解析式是：25()2y x =--．即22554y x x =-+-． ……4分 解法二：当顶点M 与点A 重合时，∴5(,0)2M . ……2分∵ 52(1)2b -=⨯-， ∴5b =.又∵24(1)04(1)c b ⨯--=⨯-，∴254c =-. ……3分∴抛物线的解析式是：22554y x x =-+-． ……4分 ②∵N 在直线25y x =-上，设(,25)N a a -，又N 在抛物线22554y x x =-+-上，∴2252554a a a -=-+-． ……5分解得 112a = ， 252a =（舍去）∴1(,4)2N -． ……6分过N 作NC ⊥x 轴，垂足为C (如图①)．∵1(,4)2N -，∴1(,0)2C ．∴4NC =． 51222MC OM OC =-=-=． ……7分∴MN =． ……8分 （2）存在.1(2,1),M - ………………10分2(4,3)M . ………………12分 23.（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，P 与C 重合, ∴OB =OP ， ∠BOC =∠BOG =90°． ……2分 ∵PF ⊥BG ，∠PFB =90°， ∴∠GBO =90°—∠BGO ，∠EPO =90°—∠BGO ， ∴∠GBO =∠EPO ． ……3分∴△BOG ≌△POE ． ……4分 （2）12BF PE =． ……5分 证明：如图②，过P 作PM//AC 交BG 于M ，交BO 于N ， ∴∠PNE =∠BOC =90°， ∠BPN =∠OCB ．∵∠OBC =∠OCB =45︒， ∴ ∠NBP =∠NPB ． ∴NB =NP ． ∵∠MBN =90°—∠BMN ， ∠NPE =90°—∠BMN ，∴∠MBN =∠NPE ． ……6分 ∴△BMN ≌△PEN ． ……7分∴BM =PE ．∵∠BPE =12∠ACB ， ∠BPN =∠ACB ， ∴∠BPF =∠MPF ． ∵PF ⊥BM ，∴∠BFP =∠MFP =90. 又PF =PF ，∴△BPF ≌△MPF ． ……8分 ∴BF =MF ． 即BF =12BM ．∴BF =12PE ． 即12BF PE =． ……9分 （3）解法一：如图③，过P 作PM //AC 交BG 于点M ，交BO 于点N ，∴∠BPN =∠ACB =α，∠PNE =∠BOC =90°. ……10分 由（2）同理可得BF =12BM ， ∠MBN =∠EPN ． ……11分 ∵∠BNM =∠PNE =90°，∴△BMN ∽△PEN ． ……12分 ∴BM BN PE PN=． ……13分 在Rt △BNP 中，tan BN PNα=， ∴tan BM PE α=．即2tan BF PEα=． ∴1tan 2BF PE α=． ……14分 解法二：如图③，过P 作PM //AC 交BG 于点M ，交BO 于点N ，∴BO ⊥PM ，∠BPN =∠ACB =α. ……10分∵∠BPE =12∠ACB=12α，PF ⊥BM ，∴∠EPN=12α. ∠MBN =∠EPN=∠BPE=12α. 设,,BF x PE y EF m ===， 在Rt △PFB 中， t a n 2BF PF α=， ……11分∵PF =PE +EF =y m +，∴()tan2x y m α=+ ……12分 在Rt △BFE 中，tan 2EF m BF x α==， ∴tan 2m x α=⋅. ∴(tan )tan 22x y x αα=+. 2tan tan 22x y x αα=⋅+⋅.2(1tan )tan22x y αα-=⋅. ……13分 ∴ 2tan 21tan 2x y αα=-. 即2tan 21tan 2BF PE αα=-. ……14分解法三：如图③，过P 作PM //AC 交BG 于点M ，交BO 于点N ，∴ ∠BNP =∠BOC =90°.∴ ∠EPN +∠NEP =90°.又∵BF ⊥PE ，∴ ∠FBE +∠BEF =90°.∵∠BEF =∠NEP ，∴ ∠FBE =∠EPN .…… 10分 ∵PN //AC ，∴∠BPN =∠BCA =α.又∵∠BPE =12∠ACB=12α，∴∠NPE =∠BPE =12α. ∴∠FBE =∠BPE =∠EPN =12α. ∵ sin BF FPB BP ∠=，∴ sin 2BF BP α=. …… 11分 ∵ cos PN EPN PE ∠=，∴ cos 2PN PE α=⋅. …… 12分 ∵ cos PN NPB BP∠=，∴ cos PN BP α=⋅. …… 13分 ∴ cos cos 2EP BP αα⋅=⋅. ∴ cos cos 2sin 2BF EP ααα⋅=⋅. ∴sin cos 22cos BF PE ααα⋅=. …… 14分。