第3章 流体运动的基本方程组3.1 写出下列各量的数学表达式：（1）单位时间内以n 为法向的面积元dA 上的流体体积流量； （2）t ∇时间内经固定不动空间τ的表面S 净流入τ的质量； （3）流体体积τ内的动量、动能的随体导数。

[解]（1）设流速为V ，单位时间令为“1”，则解为：dA n ν⋅（2）设流体密度为ρ，n 为其单位法向量，流速为ν，则解为：t dA n ∇⋅-⎰νρ（3）动量的随体导数：()⎰τνρτd DtD动能的随体导数：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰τνρτd Dt D 22 （解完）3.2 写出下列情况的连续性方程： (a) yz 平面上稳定可压缩性流体。

(b) 在xz 平面上不稳定、不可压缩流体。

(c) 仅在y 方向上不稳定的可压缩流体。

(d) 在平面极坐标上的稳定、可压缩流体。

[解](a) yz 平面上稳定可压缩性流体：0)()(=∂∂+∂∂w zv y ρρ(b) 在xz 平面上不稳定、不可压缩流体：0=∂∂+∂∂zwx u(c) 仅在y 方向上不稳定的可压缩流体：0)(=∂∂+∂∂v zt ρρ(d) 在平面极坐标上的稳定、可压缩流体。

0)()(=∂∂+∂∂θρρv zrv r r （解完）3.3 一不可压流场为2Kxz u =，Cy w =，式中的K 与C 均为定值。

试由连续性方程导出速度分量v 。

[解] 由连续性方程：0=∂∂+∂∂+∂∂z w y v x u ⇒ 002=+∂∂+yvKz ⇒2Kz yv-=∂∂ ⇒ ),,(2t z x f Kyz v +-=（解完）3.4 一不可压流场具有如下的圆柱坐标分量：Cr v =θ，)(22r R K v z -=，0=r v ，式中C 与K 为常数，且R r ≤，L z ≤。

此流动满足连续方程吗？物理上，此流场代表什么？[解] 由连续性方程：0)()(1)(1=∂∂+∂∂+∂∂z r v zv r rv r r θθ ⇒0)]([)(1)0(122=-∂∂+∂∂+⋅∂∂r R K z Cr r r r r θ ⇒ 00=故此速度分布满足连续性方程。

此流场可能是一圆柱中之流体，由于圆柱底盘转动所带动的粘性流。

（解完）3.5 在流体中取一任意形状的控制体，由此求连续性方程。

[解] 取一任意形状控制体（流场中），其体积为τ，表面积为Ｓ，密度为()t z y x ,,,ρ，左方流入流体质量dAn s νρ⎰⋅-1，右方流出流体质量dA n s νρ⎰⋅2，净流量为dA n s νρ⎰⋅-1－dA n s νρ⎰⋅2＝dA n s νρ⎰⋅-据质量守恒有：dA n d t p s νρττ⎰⎰⋅-=∂∂，即0=⋅+∂∂⎰⎰dA n d tps νρττ （解完）3.6 流体作有自由面的三维波动，底面为平面且流体等深，波动幅度小，求连续性方程。

[解] 取一控制体（如上图）：ｘ方向：左端流入()t dy h u ∆+ξρ，右端流出()()()xt dy h u t dy h u ∂∆+∇+∆+ξρξρ，净流量()()t dxdy h u x∆+∂∂ξρ ｙ方向：同理有：净流量()()t dxdy h u y∆+∂∂ξρ 控制体内质量变化为：()()t dxdy h u y∆+∂∂ξρ 据质量守恒：()()()()0)(=∆+∂∂+∆+∂∂+∆∂+∂t dxdy h yt dxdy h u x t dxdy t h ξρνξρξ 约去t dxdy ∆，且ｈ为常量，整理得：()()()0)(=+∂∂++∂∂+∂∂ξρνξρξh yh u x t （解完）3.7 某一二维近壁剪切流如图示。

速度分量为： )2(222xa y ax y U u -=而a 为一常数，试由连续性导出速度分量),(y x v ，假设0=y ，近壁处0=v 。

[解]0=∂∂+∂∂yv x u)22(2222xa y ax y U y v +--=∂∂)()32(22222x f xa y ax y U v +-=由于，0)0,(≡x v ，∴ 0)(=x f)32(),(22222xa y ax y U y x v -=（解完）3.8 若z 轴向上，速度场ay u =，bx v =，0=w 为上不可压流动的连续性方程和N －S 方程的精确解，则常数a ，b 有何条件。

[解] 将ay u =，bx v =，0=w 代入：0000=++=∂∂+∂∂+∂∂zw y v x u ，故满足连续性方程。

代入N －S 方程：)()(222222zu w y u v x u u t u z u y u x u x p g x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-ρμρ⇒abx xpρ-=∂∂， 同理：aby y p -=∂∂，g zp ρ-=∂∂（静水压强）02=∂∂∂yx p，故其满足N －S 方程。

因此，a ，b 为任意数均可同时满足连续性方程和N －S 方程。

（解完）3.9 证明：图中两平板间的Couette 流动（h Vy u /=，0==w v ）为不可压流动的N －S 方程式之解，并求出流体中唯一的非零剪应力。

[解] N －S 方程式：V p g DtV D2∇+∇-=μρρ 代入：i y h V V=，得：⇒ 0=∂∂xp0=∂∂yp0=∂∂zp（忽略重力） 因此，若流场内无压力变人，则流动合于N －S 方程。

并且，唯一的剪力为：hV x v y u xy μμτ=∂∂+∂∂=)(（解完）3.10流体在两平板间入口处速度为均匀，4==U u cm/sec ，继续下流后，发展成为抛物线形状的层流运动，速度分布为)(0z z az u -=，a 是一个常数。

若0z ＝1cm ，且流体为甘油，在20︒C 稳定流动情况下，求m ax u ，以cm/sec 表示。

[解] 4)2)(2(2000max az z z z a U =-=∴ 20max /4z U a =6)(2000az dz z z z a udz Q z z =-==⎰⎰∴ 6230max ==U U cm/sec（解完）3.11 在平板中之完全发展的层流，与习题3.10相同，其速度分布为200max /)(4z z z z u u -=，0==w v 为N －S 方程之恰当解，不计重力。

计算压力分布),(z x p 及剪应力之分布),(z x τ，利用m ax u ，0z ，μ为参数。

为何最大剪应力产生于板壁，为何密度不出现在参数中？[解] 200max /)(4z z z z u u -=，0==w v代入动量方程式：20max 280)(z u u u V z pμμρ-=∇+∇⋅-=∂∂故=∂∂zp常数z z u p z p p 2max8)0()(μ-==)2(4020maxz z z u z u -=∂∂=μμτ（线性分布）max4z u w μτ=因为加速度为0，故与密度无关。

（解完）3.12 对于在极坐标中的不可压缩流体，由N －S 方程求出一旋转流Um ax u 0z z =0=z)(r v θ，0==z r v v 的通式。

流体在两固定的同心圆柱中没有滑动。

[解] 假设)(r v v θθ=，不考虑压力梯度与重力，代入N －S 方程式中有：])(1[1)(2rv r u r r r g p r v V θθθθνθρ-∂∂∂∂++∂∂-=∇⋅ rv dr dv r dr d θθ=)( rCr C v 21+=θ边界条件：a C a C a v 210)(+==θ；bC b C b v 210)(+==θ 解得：021==C C故0=θv 。

（解完）3.13 一固定厚度的薄膜粘性液体以层流的方式流下一夹解为θ的平板，如图示。

速度分布为：)2(y h Cy u -=，0==w v ，求常数C 以比重、粘滞系数、及角度θ表出，并求出每单位宽的体积流量Q 以ρ、μ、θ表出。

[解] θsin g g x = )2(y h Cy u -=u g xpu V x 2)(∇++∂∂-=∇⋅μρρ)2(sin 00C g -++=μθρ∴ μθρ2sin g C =30032)2(Ch dy y h Cy udy Q hh=-==⎰⎰最后得：μθρ3sin 3h g Q =（每单位宽度）（解完）3.14 一个无穷宽平板，置于静止的粘性流体中，平板在正弦波形做往复运动。

如图示，在远离平板的流体为静止。

试做出简化的假设，建立一微分方程式及边界条件，以求出流体的速度场u 。

（不必解出）[解] 因板子为非常长且非常宽，故：),(t y u u =，0=∂∂xp，0==w v 代入动量方程式中：)()(222222zw y u x u g x p z w w y u v x u u t u x ∂∂+∂∂+∂∂++∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂μρρ∴ 22yut u ∂∂=∂∂ν （1）边界条件：当0=y 时，t U t u ωsin ),0(0=当∞=y 时，),(t u ∞＝0已知：t U t u ωsin ),00=可设一变量*U ，令t U t U ωcos ),0(0*=于是：2*2*yU V t U ∂∂=∂∂ （4）满足：),(**t y U U =边界条件：t U t U ωcos ),0(0*=0),(*=∞t U),(),(),(*t y iu t y U t y W +≡＝复速度(4)式+(1)⨯i ：)()(*22*iu U y iu U t +∂∂=+∂∂22yW V t W ∂∂=∂∂（5）故：)],([t y W I U m =，即U 为W 的虚部。

由*U 及U 边界条件得：)sin (cos ),0(),0(0*t i t U t iu t U ωω+=+∴ 边界条件：t i e U t W ω0),0(=；0),(=∞t W平板速度不可压缩粘性流体tU ωsin 0t i e y F t G y F t y W ω)()()(),(≡=（6）将（6）式分别微分后，代入（5）：0)()(=-''y F ri y F ω其解为：ri ri eC e C y F ωω21)(+=进一步化简：2)1(22112i i i +=+-=，∴21ii +=由边界条件得知：t i t i e U e F t W ωω0)0(),0(== ∴ 0)0(U F =（7a ）0)(),(=∞=∞t i e F t W ω ∴ 0)(=∞F（7b ）（7a ）代入（6）得：021)0(U C C F =+=（7b ）代入（6）得：0)(1==∞∞e C F ∴ 1C ＝ 0，02U C =故 yry ri y ri eU eU eU y F 202100)(ωωω-+--=== （8）（8）代入（6）：)2(20)(),(y r t i y rti eeU ey F t y W ωωωω--==已知：)],([),(t y W I t y u m =∴ )2sin(),(20y rt eU t y u yrωωω-=-（解完）3.15 如图示，两平板间的层流速度分布为：2max )(4h y h y u u -=，0==w u若两壁面间的温度均为0T ，试采用不可压流 动的能量方程式解两板间的温度分布。