如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。

——高斯6.1 图上距离与实际距离（满分120分；时间：120分钟）一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ， ） 1. 已知线段m 、n ，且5m =3n ，则mn 等于（ ）A.15B.13C.35D.532. 已知x:y =2:3，下列等式中正确的是（ ）A.(x +y)：y =2:3B.(x +y)：y =3:2C.(x +y)：y =1:3D.(x +y)：y =5:33. 若a:b =5:3，则下列a 与b 关系的叙述，哪一个是正确的（ ） A.a 为b 的53倍 B.a 为b 的35倍C.a 为b 的58倍D.a 为b 的85倍4. 如果a:b =12:8，且b 是a 和c 的比例中项，那么b:c 等于（ ） A.4:3 B.3:2 C.2:3 D.3:45. 下列各式由ad =bc 变形错误得是（ ） A.ab =cd B.a c =bdC.b c =daD.d b =ca6. 已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，若AB =8，则线段AC 的长为（ ） A.4(√5−1) B.4√5−1 C.12−4√5 D.8−4√57. 若x:y=6:5，则下列等式中不正确的是()A.x+yy =115B.x−yy=15C.xx−y=6 D.yy−x=58. 有一多边形草坪，在市政建设设计图纸上的面积为300cm2，其中一条边的长度为5cm．经测量，这条边的实际长度为15m，则这块草坪的实际面积是（）A.100m2B.270m2C.2700m2D.90000m29. 在比例尺为1:50000的地图上，两个城市之间的距离为18cm，则它们之间的实际距离约为（）A.900000mB.90000mC.9000mD.900m10. 如果线段a、b、c、d满足ab =cd，那么下列等式不一定成立的是（）A.a+bb =c+ddB.a−bb=c−ddC.a+c b+d =adD.a−ba+b=c−dc+d二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 已知a:b=2:3，b:c=1:5，c:d=6:7，则a:b:c:d=________．12. 已知2x=5y，则①x+yy =________；②x−yy=________．13. 若5−xx =23，则x=________．若mn=37，则m+nm=________．14. 在1:500000的地图上，A、B两地的距离是64 cm，则这两地间的实际距离是________km．15. 若xy =34，则x+yy=________；若m−nn=34，则nm=________．16. 2和8的比例中项是________；线段2cm与8cm的比例中项为________cm．17. 已知线段b是线段a、c的比例中项，且a=9，c=5，那么b=________．18. 若yx =34，则x+yx的值为________．19. 如果a=3，c=12，则a与c的比例中项是________．20. 若a2=b3=c4，则3a−2b+5c−6a−b−3c=________．三、解答题（本题共计8 小题，每题10 分，共计80分，）21. （1）已知a、b、c、d是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，求线段d的长．（2）已知线段a、b、c，a=4cm，b=9cm，线段c是线段a和b的比例中项．求线段c的长．22. 已知x3=y4=z5≠0，求x+y−zx+y+z的值．23. 已知x+yz =y+zx=z+xy=m，求m的值．24. 若点P在线段AB上，点Q在线段AB的延长线上，AB=10，APBP =AQBQ=32．求线段PQ的长．25. 已知线段a，b，c满足a:b:c=1:2:4，且a+2b+c=27．(1)求a，b，c的值；(2)若线段x是线段a，c的比例中项，求x的值．26. （1）已知yx =34，求x+yx的值．（2）已知ab =cd=ef=34(b+d+f≠0)，求a+c+eb+d+f的值．27. 如图，在△ABC中，AD，CE是△ABC的高，找出图中的一组比例线段，并说明理由．28. 已知点C是线段AB上的点，点D是AB延长线上的点，且AD:BD=AC:CB，已知AB= 6cm，AC=3.6cm，求AD，BD的长．参考答案一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】C【解答】解：∵ 5m=3n，∵ mn =35，故选：C．2.【答案】D【解答】解：∵ x:y=2:3，∵ (x+y)：y=5:3．故选D．3.【答案】A【解答】解：∵ a:b=5:3，∵ 3a=5b，∵ a=53b，∵ a为b的53倍．故选A．4.【答案】B【解答】解：∵ a:b=12:8，b是a和c的比例中项，即a:b=b:c，∵ b:c=12:8=3:2．故选B．5.【答案】C【解答】解：∵ ad=bc，∵ ab =cd，故A正确；a c =bd，故B正确；d b =ca，故D正确．故选C．6.【答案】A【解答】此题暂无解答7.【答案】D【解答】解：∵ x:y=6:5，∵ 设x=6k，y=5k.A、x+yy =6k+5k5k=115，故本选项错误；B、x−yy =6k−5k5k=15，故本选项错误；C、xx−y =6k6k−5k=6，故本选项错误；D、yy−x =5k5k−6k=−5，故本选项正确．故选D.8.【答案】C【解答】解：设草坪的实际面积是x平方米，则有0.03x =(1300)2，解得x=2700m2．故选C．9.【答案】C【解答】解：设它们之间的实际距离为xcm，根据题意得，18:x=1:50000，解得x=900000，900000cm=9000m．故选C．10.【答案】C【解答】解：A、∵ ab =cd，∵ ab+1=cd+1，即a+bb=c+dd，正确，不符合题意；B、∵ ab =cd，∵ ab−1=cd−1，即a−bb=c−dd，正确，不符合题意；C、∵ ab =cd=k，∵ a=bk，c=dk，∵ a+cb+d=bk+dkb+d=k=ab=cd，错误，符合题意，D、∵ A、B、正确，∵ 相除可得a−ba+b =c−dc+d，正确，不符合题意；故选C．二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】4:6:30:35【解答】解：∵ a:b=2:3，b:c=1:5，c:d=6:7，∵ ab =23，bc=15，cd=67，∵ a=23b，c=5b，c=67d=5b，则：d=356b，∵ a:b:c:d=23b:b:5b:356b=4:6:30:35．故答案为：4:6:30:35．12.【答案】3.5,1.5【解答】解：∵ 2x=5y，∵ x=2.5y∵ ①x+yy =2.5y+yy=3.5yy=3.5，②x−yy =2.5y−yy=1.5yy=1.5，故答案为：3.5；1.5．13.【答案】3,103【解答】解：∵ 5−xx =23，∵ 3(5−x)=2x，解得x=3；∵ mn =37，∵ n =73m ， ∵m+n m=m+73m m =103．故答案为：3；103． 14. 【答案】320【解答】解：设A ，B 两地的实际距离为xkm ，则： 1500000=64x，解得x =32000000cm =320km ，∵ 两地间的实际距离是320km ． 15. 【答案】74,47【解答】 解：∵ xy =34， 则x+y y=74；∵ m−n n =34，∵m n =74．则n m=47．【答案】±4,4【解答】解：设2和8的比例中项是x，则：x2=2×8，∵ x=±4，若是线段的时候，应舍去负数，是4．∵ 2和8的比例中项是±4；线段2cm与8cm的比例中项为4cm．17.【答案】3√5【解答】解：若b是a、c的比例中项，即b2=ac．则b=√ac=√45=3√5，故答案为：3√518.【答案】74【解答】解：由合比性质，得x+y x =3+44=74．故答案为：74．【答案】±6【解答】∵ b是a、c的比例中项，∵ b2=ac，即b2=3×12=36，∵ b=±6，20.【答案】−20 27【解答】解：设a2=b3=c4=k，则a=2k，b=3k，c=4k，∵ 3a−2b+5c−6a−b−3c=3×2k−2×3k+5×4k −6×2k−3k−3×4k=−2027．故答案为：−2027．三、解答题（本题共计8 小题，每题10 分，共计80分）21.【答案】解：（1）∵ a、b、c、d是成比例线段，∵ a:b=c:d，∵ a=3cm，b=2cm，c=6cm，∵ d=4cm；（2）∵ 线段c是线段a和b的比例中项，a=4cm，b=9cm，∵ c2=ab=36，解得：c=±6，又∵ 线段是正数，∵ c=6cm．【解答】解：（1）∵ a、b、c、d是成比例线段，∵ a:b=c:d，∵ a=3cm，b=2cm，c=6cm，∵ d=4cm；（2）∵ 线段c是线段a和b的比例中项，a=4cm，b=9cm，∵ c2=ab=36，解得：c=±6，又∵ 线段是正数，∵ c=6cm．22.【答案】解：设x3=y4=z5=k(k≠0)，则x=3k，y=4k，z=5k，所以，x+y−zx+y+z =3k+4k−5k3k+4k+5k=2k12k=16．【解答】解：设x3=y4=z5=k(k≠0)，则x=3k，y=4k，z=5k，所以，x+y−zx+y+z =3k+4k−5k3k+4k+5k=2k12k=16．23.【答案】解：由x+yz =y+zx=z+xy=m可知：x+y=mz，y+z=mx，z+x=my．这几式相加可得：2(x+y+z)=m(x+y+z)，当x+y+z≠0时，有m=2，当x+y+z=0时，有x+y=−z，y+z=−x，x+z=−y，m=−1．故m=2或−1．【解答】解：由x+yz =y+zx=z+xy=m可知：x+y=mz，y+z=mx，z+x=my．这几式相加可得：2(x+y+z)=m(x+y+z)，当x+y+z≠0时，有m=2，当x+y+z=0时，有x+y=−z，y+z=−x，x+z=−y，m=−1．故m=2或−1．24.【答案】线段PQ的长为24．【解答】解：∵ AB=10，APBP =AQBQ=32，∵ PB=4，BQ=20，∵ PQ=PB+BQ=24，25.【答案】解：(1)设a=k，则b=2k，c=4k，所以k+2×2k+4k=27，解得k=3，所以a=3，b=2×3=6，c=4×3=12.(2)∵ 线段x是线段a，c的比例中项，∵ x>0，∵ x2=ac=3×12=36，∵ 线段x=6．【解答】解：(1)设a=k，则b=2k，c=4k，所以k+2×2k+4k=27，解得k=3，所以a=3，b=2×3=6，c=4×3=12.(2)∵ 线段x是线段a，c的比例中项，∵ x>0，∵ x2=ac=3×12=36，∵ 线段x=6．26.【答案】（1）解：∵ yx =34，∵ 设y=3k，x=4k(k≠0)，∵ x+yx =4k+3k4k，=7k4k，=74，所以，x+yx 的值是74；（2）解：∵ ab =cd=ef=34(b+d+f≠0)，∵ a+c+eb+d+f =34，∵ a+c+eb+d+f 的值是34．【解答】（1）解：∵ yx =34，∵ 设y=3k，x=4k(k≠0)，∵ x+yx =4k+3k4k，=7k4k，=74，所以，x+yx 的值是74；（2）解：∵ ab =cd=ef=34(b+d+f≠0)，∵ a+c+eb+d+f =34，∵ a+c+eb+d+f 的值是34．27.【答案】解：BDBE =ABBC，理由：∵ AD，CE是△ABC的高，∵ ∠ADB=∠CEB=90∘，∵ ∠B=∠B，∵ △ABD∽△CEB，∵ BDBE =ABBC．【解答】解：BDBE =ABBC，理由：∵ AD，CE是△ABC的高，∵ ∠ADB=∠CEB=90∘，∵ ∠B=∠B，∵ △ABD∽△CEB，∵ BDBE =ABBC．28.【答案】解：∵ AB=6cm，AC=3.6cm，∵ BC=AB−AC=6−3.6=2.4，∵ AD:DB=AC:CB，∵ AD：(AD−6)=3.6:2.4，解得：AD=18，∵ BD=AD−AB=12．【解答】解：∵ AB=6cm，AC=3.6cm，∵ BC=AB−AC=6−3.6=2.4，∵ AD:DB=AC:CB，∵ AD：(AD−6)=3.6:2.4，解得：AD=18，∵ BD=AD−AB=12．6.2黄金分割班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题1.据有关实验测定，当室温与人体正常体温(37℃)的比值为黄金比时，人体感到最舒适，这个室温约为(精确到1℃)()A. 21℃B. 22℃C. 23℃D. 24℃2.如图①，AB=2，点C在线段AB上，且满足ACAB =BCAC；如图②，以图①中的AC，BC长为边建构矩形ACBF，以CB长为边建构正方形CBDE，则矩形AEDF的面积为()A. 14−6√5B. 4√5−8C. 10√5−22D. 10√5−203.已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB，则有()A. AB2=AP⋅PBB. AP2=BP⋅ABC. BP2=AP⋅ABD. AP⋅AB=PB⋅AP4.已知点P是线段AB的黄金分割点(AP>PB)，AB=10，那么AP的长是()A. 5√5−5B. 5−√5C. 5√5−1D. √5−125.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，如果AB的长度为10cm，那么PB的长度约为()A. 6.18B. 3.82C. 6.28D.4.826.如图，P是线段AB的黄金分割点，PA>PB，若S1表示以AP为边正方形的面积，S2表示以AB为长PB为宽的矩形的面积，则S1、S2大小关系为()A. S1>S2B. S1=S2C. S1<S2D. 不能确定7.如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC>AC.若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为()A. S1>S2B. S1=S2C. S1<S2D. 不能确定二、填空题8.如图，扇子的圆心角为x°，余下的圆心角为y°，x与y的比通常用黄金比来设计，这样的扇子造型美观，若取黄金比为0.6，则x应为________．9.如图，等腰△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，则CDAD的值等于______．10.如图，已知舞台AB长10米，如果报幕员从点A出发站到舞台的黄金分割点P处，且AP<BP，那么报幕员应走______米报幕．11.如图，已知点C，D都是线段的黄金分割点，如果AB=10.那么CD的长度是______．12.如图，已知线段AB=2，作BD⊥AB，使BD=12AB；连接AD，以D为圆心，BD长为半径画弧交AD于点E，以A为圆心，AE长为半径画弧交AB于点C，则AC长为______．13.点P在线段AB上，且BPAP =APAB.设AB=4cm，则BP=______cm．三、解答题（本大题共3小题，共24.0分）14. 如图1，我们已经学过：点C 将线段AB 分成两部分，如果AC AB =BCAC ，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某校的数学拓展性课程班，在进行知识拓展时，张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1，S 2，如果S 1S =S2S 1，那么称直线l为该图形的黄金分割线．如图2，在△ABC 中，∠A =36°，AB =AC ，∠C 的平分线交AB 于点D ． (1)证明点D 是AB 边上的黄金分割点； (2)证明直线CD 是△ABC 的黄金分割点．15. 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足MGMN =GNMG=√5−12，后人把√5−12这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB=AC=3，BC=4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，求△ADE的面积．16.如图，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连结PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．(1)求AM，DM的长．(2)求证：AM2=AD·DM．(3)根据(2)的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？答案和解析1.C解：根据黄金比的值得：37×√5−12≈23℃．2.C解：由ACAB =BCAC得，AC=√5−12AB=√5−12×2=√5−1，BC=3−√52AB=3−√52×2=3−√5，因为CBDE为正方形，所以EC=BC，AE=AC−CE=AC−BC=(√5−1)−(3−√5)=2√5−4，矩形AEDF的面积：AE⋅DE=(2√5−4)×(3−√5)=10√5−22．3.B解：∵P为线段AB的黄金分割点，且AP>BP，∴AP2=BP·AB．4.A解：由于P为线段AB=10的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP=√5−12AB=5√5−5．5.B解：∵P为AB的黄金分割点(AP>PB)，∴AP=√5−12AB=√5−12×10≈6.18，∴PB=AB−PA=10−6.18=3.82(cm)．6.B解：∵P是线段AB的黄金分割点，且PA>PB，∴PA2=PB⋅AB，又∵S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示以长为AB，宽为PB的矩形的面积，∴S1=PA2，S2=PB⋅AB，∴S1=S2．7.B解：∵C是线段AB的黄金分割点，且BC>AC，∴BC2=AC⋅AB，又∵S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，∴S1=BC2，S2=AC⋅AB，∴S1=S2．8.135解：根据题意得，x=0.6y，∴y=53x而x+y=360°，∴x+53x=360°，∴x=135°．9.√5−12解：∵在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD=36°，∴AD=BD，∴∠BDC=72°，∴BD=BC，∴△ABC和△BDC都是顶角为36°的等腰三角形．∵顶角为36°的等腰三角形为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为√5−12，∴CDAD =CDBC=BCAC=√5−12；10.(15−5√5)解：∵点P为AB的黄金分割点，AP<BP，∴PB=√5−12AB=√5−12×10=5√5−5(米)，∴AP=AB−PB=10−(5√5−5)=15−5√5(米)，11.10√5−20解：∵点C、D是线段AB的两个黄金分割点，∴AD=BC=√5−12AB=√5−12×10=5√5−5，∴CD=AD+CD−AB=2(5√5−5)−10=10√5−20，12.√5−1解：：∵AB=2，则BD=DE=12×2=1，由勾股定理得，AD=√AB2+BD2=√5，则AC=AE=√5−1，∴AC=√5−12AB=√5−1，13.6−2√5解：∵BPAP =APAB.．∴P点为AB的黄金分割点，∴AP=√5−12AB=√5−12×4=2√5−2，∴BP=4−(2√5−2)=(6−2√5)cm．14.解：(1)点D是边AB上的黄金分割点，理由如下：∵∠A=36°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=72°．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠DCB=36°，∴∠BDC=∠B=72°，∠ACD=∠A=36°，∴BC=DC=AD．∵∠A=∠BCD，∠B=∠B，∴△BCD∽△BAC，∴BCAB =BDBC．∴ADAB =BDAD．∴D是AB边上的黄金分割点；(2)直线CD是△ABC的黄金分割线，理由如下：设△ABC的边AB上的高为h，则S△ADC=12AD⋅ℎ，S△DBC=12DB⋅ℎ，S△ABC=12AB⋅ℎ，∴S△ADCS△ABC =ADAB，S△DBCS△ADC=BDAD．∵D是AB的黄金分割点，∴ADAB =BDAD，∴S△ADCS△ABC =S△DBCS△ADC．∴CD是△ABC的黄金分割线．15.解：∵D，E为BC的两个“黄金分割”点，∴DCBC =BDDC=√5−12，BEBC=CEBE=√5−12，∴DCBC =BDDC=BEBC=CEBE，∴DC=BE，∴BD=CE，作AH⊥BC于H，如图，∵AB=AC，∴BH=CH=12BC=2，∴DH=HE，在Rt△ABH中，AH=√AB2−BH2=√32−22=√5，∵D，E是边BC的两个“黄金分割”点，∴BE=√5−12BC=2(√5−1)=2√5−2，∴HE=BE−BH=2√5−2−2=2√5−4，∴DE=2HE=4√5−8∴S△ADE=12×(4√5−8)×√5=10−4√5．16.(1)解：在Rt△APD中，PA=12AB=1，AD=2，∴PD=√AD2+AP2=√5，∴AM=AF=PF−PA=PD−PA=√5−1，DM=AD−AM=2−(√5−1)=3−√5;(2)证明：∵AM2=(√5−1)2=6−2√5，AD ⋅DM =2(3−√5)=6−2√5， ∴AM 2=AD ⋅DM;(3)点M 是AD 的黄金分割点.理由如下： ∵AM 2=AD ⋅DM ， ∴AM AD=DMAM =√5−12， ∴点M 是AD 的黄金分割点．6.3相似图形-一、选择题1、两个多边形相似的条件是( )A ．对应角相等B ．对应边成比例C ．对应角相等或对应边成比例D ．对应角相等且对应边成比例2、下列每组中的两个图形形状相同的是( )3、下列说法：①放大(或缩小)的图片与原图片是相似图形；②比例尺不同的中国地图是相似图形；③放电影时胶片上的图象和它映射到屏幕上的图象是相似图形； ④平面镜中，你的形象与你本人是相似的． 其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4、如图，已知△ABC ∽△ADE ，且∠ADE ＝∠B ，则下列比例式成立的是( )A. AE BE ＝AD DCB. AE AB ＝AD ACC. AD AC ＝DE BCD. AE AC ＝DE BC521 cm ，如图对折后所得的两个矩形都和原来的矩形相似，则A4纸的高度约为( )A ．24.8 cmB ．26.7 cmC ．29.7 cmD ．无法确定6、两个相似多边形一组对应边分别为3cm，4.5cm，那么它们的相似比为( )A.23B.32C.49D.947、下列3个矩形中，相似的是（）①长为8cm，宽为6cm；②长为8cm，宽为4cm；③长为6cm，宽为4.5cmA．①②和③ B．①和② C．①和③ D．②和③8、如图，有三个矩形，其中是相似图形的是( )A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙9、如果一个三角形的三边长为5，12，13，与其相似的三角形的最长边的长为39，那么较大的三角形的面积为( )A．90 B．180 C．270 D．54010、手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不一定相似的是( )二、填空题11、相似图形的一定相同，不一定相同12、图中的两个四边形是相似图形，若∠N＝125º，则∠Ｍ＝＿＿.13、如图，在△ABC中，D是BC上一点．若△BAC∽△ADC，AC＝8，BC＝16，则DC14、若△ABC∽△A′B′C′，且ABA′B′＝2，则△ABC与△A′B′C′的相似比是________，△A′B′C′与△ABC的相似比是________．15、若△ABC的三条边的长分别为3，4，5，与△ABC相似的△A′B′C′的最短边的长为15，则△A′B′C′最长边的长为________．16、如图，在一个矩形纸片ABCD上剪去一个正方形ABEF，所余下的矩形ECDF与原矩形ABCD相似，那么原矩形中较长的边BC与较短的边AB的比值为________．17、如图，在长8 cm、宽4 cm的矩形中截去一个矩形(阴影部分)，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形的宽为_______cm.18、下列命题：①所有的正方形都相似；②所有的矩形都相似；③有一个角都是150°的两个菱形相似；④所有的正六边形都相似．其中是真命题的有______________．(填序号)三、解答题19、如图的相似四边形中，求未知边x，y的长度和∠α的大小．20、如图，六边形ABCDEF与六边形A′B′C′D′E′F′相似．求：(1)相似比；(2)∠A和∠B′的度数；(3)边CD，EF，A′F′，E′D′的长．21、一个矩形ABCD的较短边长为2．（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC 与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．22、如图，矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20.(1)如图①，若在矩形ABCD的内部沿四周有宽为1的环形区域，矩形A′B′C′D′与矩形ABCD相似吗？请说明理由；(2)如图②，当x为多少时，矩形ABCD与矩形A′B′C′D′相似？6.3相似图形-苏科版九年级数学下册 培优训练（答案）一、选择题1、两个多边形相似的条件是(D )A ．对应角相等B ．对应边成比例C ．对应角相等或对应边成比例D ．对应角相等且对应边成比例2、下列每组中的两个图形形状相同的是( A )3、下列说法：①放大(或缩小)的图片与原图片是相似图形；②比例尺不同的中国地图是相似图形；③放电影时胶片上的图象和它映射到屏幕上的图象是相似图形； ④平面镜中，你的形象与你本人是相似的． 其中正确的有( D ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4、如图，已知△ABC ∽△ADE ，且∠ADE ＝∠B ，则下列比例式成立的是( B )A. AE BE ＝AD DCB. AE AB ＝AD ACC. AD AC ＝DE BCD. AE AC ＝DE BC5、已知A4纸的宽度为21 cm ，如图对折后所得的两个矩形都和原来的矩形相似，则A4纸的高度约为( C )A ．24.8 cmB ．26.7 cmC ．29.7 cmD ．无法确定【解析】 设A4纸的高度为x cm ，则对折后的矩形的高度为x2，∵对折后所得的两个矩形都和原来的矩形相似， ∴21x 2＝x21，解得x ＝212≈29.7 cm ，即A4纸的高度约为29.7 cm.6、两个相似多边形一组对应边分别为3cm ，4.5cm ，那么它们的相似比为( A )A.23B.32C.49D.947、下列3个矩形中，相似的是（ ）①长为8cm，宽为6cm；②长为8cm，宽为4cm；③长为6cm，宽为4.5cm A．①②和③ B．①和② C．①和③ D．②和③解答：①与②中矩形长与宽的比分别为8684≠不相似；①与③中矩形长与宽的比分别为866 4.5=相似；②与③中矩形长与宽的比分别为846 4.5≠不相似．故选：C．8、如图，有三个矩形，其中是相似图形的是( B )A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙9、如果一个三角形的三边长为5，12，13，与其相似的三角形的最长边的长为39，那么较大的三角形的面积为( C )A ．90B ．180C ．270D ．54010、手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不一定相似的是( D )二、填空题11、相似图形的 形状 一定相同， 大小 不一定相同12、图中的两个四边形是相似图形，若∠N ＝125º，则∠Ｍ＝＿ 125º＿.13、如图，在△ABC 中，D 是BC 上一点．若△BAC ∽△ADC ，AC ＝8，BC ＝16，则DC[解析] 因为△BAC ∽△ADC ，所以AC DC ＝BCAC.因为AC ＝8，BC ＝16，所以16DC ＝82，解得DC ＝4.14、若△ABC ∽△A ′B ′C ′，且ABA ′B ′＝2，则△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比是________，△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比是________．[解析] 相似三角形的相似比与顺序有关，如△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比是ABA ′B ′＝2∶1，而△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比则是A ′B ′AB＝1∶2.15、若△ABC 的三条边的长分别为3，4，5，与△ABC 相似的△A ′B ′C ′的最短边的长为15，则△A ′B ′C ′最长边的长为__25______．16、如图，在一个矩形纸片ABCD 上剪去一个正方形ABEF ，所余下的矩形ECDF 与原矩形ABCD 相似，那么原矩形中较长的边BC 与较短的边AB 的比值为___ 5＋12_____．17、如图，在长8 cm 、宽4 cm 的矩形中截去一个矩形(阴影部分)，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形的宽为__2______cm.18、下列命题：①所有的正方形都相似；②所有的矩形都相似；③有一个角都是150°的两个菱形相似；④所有的正六边形都相似．其中是真命题的有______①③④________．(填序号)三、解答题19、如图的相似四边形中，求未知边x，y的长度和∠α的大小．答案：x＝31.5，y＝27，∠α＝83°20、如图，六边形ABCDEF与六边形A′B′C′D′E′F′相似．求：(1)相似比；(2)∠A和∠B′的度数；(3)边CD，EF，A′F′，E′D′的长．解：(1)∵六边形ABCDEF与六边形A′B′C′D′E′F′相似，BC与B′C′是对应边，∴BCB′C′＝125，即相似比为125.(2)∵六边形ABCDEF与六边形A′B′C′D′E′F′相似，∴∠A＝∠A′，∠B＝∠B′.又∵∠A′＝90°，∠B＝150°，∴∠A＝90°，∠B′＝150°.(3)∵六边形ABCDEF与六边形A′B′C′D′E′F′相似，∴AFA′F′＝EFE′F′＝EDE′D′＝CDC′D′＝BCB′C′.由AFA′F′＝BCB′C′，AF＝4 cm，得4A′F′＝125，∴A′F′＝53(cm)．由EFE′F′＝BCB′C′，E′F′＝4 cm，得EF4＝125，∴EF＝485(cm)．由EDE′D′＝BCB′C′，ED＝5 cm，得5E′D′＝125，∴E′D′＝2512(cm)．由CD C ′D ′＝BC B ′C ′，C ′D ′＝3 cm ，得CD 3＝125， ∴CD ＝365(cm)． 即CD ＝365 cm ，EF ＝485 cm ， A ′F ′＝53 cm ， E ′D ′＝2512cm.21、一个矩形ABCD 的较短边长为2．（1） 如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；（2） 如图②，已知矩形ABCD 的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF 后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC 的面积．解：（1）由已知得MN=AB=2，MD=21AD=21BC ， ∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，∴矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，BCMN AB DM ， ∴DM •BC=AB •MN ，即21BC 2=4，∴BC=22，即它的另一边长为22； （2） ∵矩形EFDC 与原矩形ABCD 相似，∴=， ∵AB=CD=2，BC=4，∴DF==1，∴矩形EFDC 的面积=CD •DF=2×1=2．22、如图，矩形ABCD 的长AB ＝30，宽BC ＝20.(1)如图①，若在矩形ABCD 的内部沿四周有宽为1的环形区域，矩形A ′B ′C ′D ′与矩形ABCD 相似吗？请说明理由；(2)如图②，当x 为多少时，矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′相似？解：(1)不相似．理由：由题意，得AB ＝30，A ′B ′＝28，BC ＝20，B ′C ′＝18，而2830≠1820，故矩形A ′B ′C ′D ′与矩形ABCD 不相似． (2)若矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′相似，则A ′B ′AB ＝B ′C ′BC 或A ′B ′BC ＝B ′C ′AB， 即30－2x 30＝20－220或30－2x 20＝20－230，解得x ＝1.5或x ＝9. 故当x 为1.5或9时，矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′相似．。