c e a
(e 1)
b y x a
c e a
(e 1)
a y x b
c 2 a 2 b 2 (a＞ b＞0)
y
M
c 2 a 2 b 2 (a＞ 0 b＞0)
Y p F2 X
F1
0F2X源自F10B2
. .
B2 A2
图形
. .
F1(-c,0)
F1
y
y
F2
A1 A2
O
F2(0,c)
B1
B1 F2(c,0)
F2
x
A1 O F1
x F1(0,-c)
方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线
x y 1 (a b 0) 2 2 a b
2
2
x ≥ a 或 x ≤ a，y R
关于x轴、y轴、原点对称
A1（- a，0），A2（a，0）
y ≥ a 或 y ≤ a，x R
y2 x2 2 1 (a 0 ,b 0 ) 2 a b
关于x轴、y轴、原点对称
A1（0，-a），A2（0，a）
例题讲解
4 1、若双曲线的渐近线方程为 y 3 x, 则双曲线
的离心率为 5/3或5/4 。
2、若双曲线的离心率为2，则两条渐近线的夹角 600 为 。
思考：下列双曲线的渐近线
x2 y2 （1）双曲 1 9 16
x2 y2 （2）双曲 1 λ 9 16
总结：“共渐近线”的双曲线的方程
（4）等轴双曲线的离心率e= ? 2
离心率e 2的双曲线是等轴双曲线
c (5) e a
c a b
2 2
2
在a、b、c、e四个参数中，知二可求 二
y x 二、导出双曲线 2 2 1(a 0, b 0) a b y 的简单几何性质
（1）范围: y a, y a
x y 与 2 2 1共渐近线的双曲线系 a b 2 2 x y 方程为 2 2 ( 0，为参数)， a b
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线； λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。
2
2
练习：
x2 y2 1 有相同渐近线 1. 过点（1，2），且与 16 9
16 y 9 x 的双曲线方程是________.
b 的渐近线为y x a
B2
等轴双曲线 x 2 y 2 m （2 ） (m 0)的渐近线为
A1
o
A2
a x
y x
（3 ） 利用渐近线可以较准确的 画出双曲线的草图
B1
b y x a
b y x a
5、离心率 c 双曲线的焦距与实轴长 的比e ,叫做 （1）定义： a 双曲线的 离心率。
课堂新授
一、研究双曲线
x2 y2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
(-x,y)
的简单几何性质
y (x,y) o a (x,-y)
1、范围 2 x 2 2 2 1,即x a a x a, x a 2、对称性
-a (-x,-y)
x
关于x轴、y轴和原点都是对称。 x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心， 又叫做双曲线的中心。
A1 -a
y b
B2
o a A2 x
x y m ( m 0)
2 2
-b B 1
4、渐近线
y b N(x,y’) M(x,y)
双曲线在第一象限内部 分的方程为 b 2 x 22 y 2 （1 ） y 双曲线 x a2 (x 0) 1( a 0, b 0) 2 a b a
（2）e的范围：
c>a>0
e >1
（3）e的含义：
b c2 a2 c 2 ( ) 1 e2 1 a a a b b 当e (1, )时， (0, ), 且e增大 , 也增大 a a e增大时，渐近线与实轴 的夹角增大
e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
顶点是A 1 (a,0)、A 2 (a,0) 只有两个！
虚顶点
B1(0,-b)、B2(0,b)
（ 2） 如图，线段 A1A2 叫做双曲线 的实轴，它的长为2a,a叫做 实半轴长；线段 B1B2 叫做双 曲线的虚轴，它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长 （ 3） 实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线
2.3.2 双曲线简单的几何性质 (一)
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
M
M F2
y
图象
F1 o F2
x
F1
x
方程 焦点
a.b.c 的关 系
x y 2 1 2 a b
F ( ±c, 0)
2
2
y x 2 1 2 a b
F(0, ± c)
2
2
c 2 a 2 b2
2
2
（2）对称性: 关于x轴、y轴、原点都对称
（3）顶点: (0,-a)、(0,a) （4）渐近线: y a x
b
-b
a
o b x
-a
c （5）离心率: e a
课堂练习
1 :求双曲线
9
y2
16 x 144 的实半轴长,
2
虚半轴长, 焦点坐标，离心率，渐近线方程。
5 2:已知双曲线顶点间的距离是16，离心率e ， 4 焦点在x轴上，中心在原点，写出双曲线的方 程，并且求出它的渐近线和焦点坐标.
2
2
55
x2 y2 1 有共同焦点，渐近线方程为 2、求与椭圆 16 8
x 3y 0 的双曲线方程。
x y 1 6 2
2
2
小
结
椭 圆
双曲线
方程
a b c关系
图象
2 x2 y 1 2 （ a＞ b ＞0） 2 a b
x2 y2 1 ( a＞ 0 b＞0) 2 2 a b