a 22 ... an2
... ... ...
a2n ... a nn
,
X
x2 ... xn
，则f
X T AX .
线性代数
§6.1 二次型及矩阵表示
[注] 1）二次型 f 与对称矩阵A是一一对应的,也 就是说, 二次型 f 可以表示成矩阵形式 f X T AX , 这里矩阵A是惟一确定的； 反之，给定n阶对称矩阵A，可以惟一 确定一个n元二次型 f X T AX .
例1 给定二次型
f
17 x12
4x1 x2
4x1 x3
14
x
2 2
14
x
2 3
8x2x3
求正交变换X=QY，将二次型化成标准形。
线性代数
§6.2 化二次型为标准形
2 / 5 2 / 3 5 1 / 3
取Q 1
2
3
1/ 5 0
4 / 3 5 2 / 3, X QY . 5 / 3 5 2 / 3
3 C 2
2 1
1 3
y3 x1 3 x2 2 x3
1 3 2
C 0 C不可逆，
f
14( x1
1 2
x2
1 2
x3 )2
21 2
(
x
2
x3 )2
注意：所作的线性变换一定要可逆！！
线性代数
§6.2 化二次型为标准形
三、初等变换法（合同变换法）
f
X T AX
X
C
CY
0
(CY
y
n
将
其化成
标准形.
xn cn1 y1 cn2 y2 ... cnn yn
线性变换可以写成：则X=CY.
线性代数
§6.1 二次型及矩阵表示
1.基本概念
定义3 设A与B都是n阶矩阵，如果存在一个n 阶可逆矩阵C，使得 B C T AC , 则称A与 B是合同的.
[注] 1）矩阵的合同关系也是一种等价关系.
可见，标准形的矩阵为对角矩阵。其秩等于 系数中非零元素的个数。同理，对角矩阵所对
应的二次型是标准形。 二、合同矩阵
对于二次型 f X T AX，可以通过可逆的线性
x1 c11 y1 c12 y2 ... c1n yn
变换
x
2
c21 y1 c22 y2 ... c2n ..........................................
其标准形不惟一，但用正交变换法化二次型为
标准形，其系数除了次序外，是唯一确定的，
且是A的特征值。
线性代数
§6.3 惯性定理与二次型的正定性
§6.3 惯性定理与二次型的正定性 一、惯性定理
一个二次型的标准形不是惟一的。
例如 对于实二次型
f
(x1, x2 ,
x3 )
x12
2x1 x2
2x1 x3
3
x
2 2
线性代数
§6.1 二次型及矩阵表示
§6.1 二次型及矩阵表示 一、基本概念
定义1 n个变量 x1 , x 2 ,..., xn的一个二次齐次函数
f ( x1 , x 2 ,..., x n ) a11 x12 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 ... 2a1n x1 xn
a
22
线性代数
§6.1 二次型及矩阵表示
例2
设矩阵A
6 2
2 5
02 ，
2 0 7
求 相 应 二 次 型f ( x1 , x2 , x3 ).
线性代数
§6.1 二次型及矩阵表示
定义2
形式为
f
(
y1 ,
y2 ,
,
yn
)
d1
y12
d2
y
2 2
...
dn
y
2 n
(只含平方项)的二次型称为标准形(或法式)。
写
成
如
下
形
式：
a1 j x1 x j
f ( x1 , x2 ,..., xn )
a11 x12
a12
x1 x2
a13
x1 x3
j1
...
a1n
x1 xn
n
a2 j x2 x j
j1
a21 x2 x1
a
22
x
2 2
a23 x2 x3
...
a2n x2 xn
a31 x3 x1
a32 x3 x2
a
33
2x1 x2
2x1 x3
3
x
2 2
6x2 x3
3
x
2 3
化为标准形。
线性代数
§6.2 化二次型为标准形
二、配方法
1.含有平方项的二次型
例3 将二次型
f (x1, x2 , x3 )
x
2 1
2x1 x2
2x1 x3
3
x
2 2
6x2 x3
3
x
2 3
化为标准形，并求出所作的可逆线性变换。
2. 不含平方项的二次型
线性代数
第六章、二次型
第六章 二次型
• 二次型及其矩阵表示 矩阵合同 • 化二次型为标准形 • 惯性定理和二次型的正定性
线性代数
第六章、二次型
在平面解析几何中，为了便于研究二次曲线 ax 2 bxy cy 2 d的几何特性，我们可以选择适 当的坐标旋转变换，可逆的线性变换也是正交的
变换：
x x cos y sin源自yx siny cos
就元从其在把是二而中经方一次很济a程个齐x容管化2二次易理为次式b判的标x齐的y别许准次问二 多形c式题y次 实2a、。是曲 际x组如一线 问2 合组个的 题c预合二类 中y测证次2，型的券齐也。D误投次常差资多常平的项遇方风式到和险。n
也是二次齐次式等。本章我们讨论一般n元二次 型及其标准形、正定二次型及其应用。
i1 j1
将其表示成矩阵向量的形式：
a11 a12 ... a1n x1
f (x1
x2
...
x
n
)
a 21 ... a n1
a 22 ... an2
... a2n x2
... ...
... a nn
... xn
a11 a12 ... a1n
x1
记A
a 21 ... a n1
6x2 x3
3
x
2 3
令
x1 x2
y1
1 2
1 2
y2 y2
3 2
1 2
y3 y3
x3
y3
标准形
f
y12
y
2 2
3
y
2 3
线性代数
§6.3 惯性定理与二次型的正定性
2
1
x1
6 y1
3 y2
正交变换 x2
1 6
y1
1 3 y2
1 2 y3
x
3
1 6 y1
1 3 y2
1 2 y3
2x2
x3)
(
x
2 2
4x2 x3
4
x
2 3
)
(注x1意：x作2 可x逆3 )的2 线( x性2 变 换2 x！3 )！2 ！
f (3x1 2x2 x3 )2 (2x1 x2 3x3 )2 (x1 3x2 2x3 )2
y1 y2
3x1 2x1
2x2 x2
3
x3 x3
逆线性变换Y=CX化为标准形.
f
d1
y
2 1
d
2
y
2 2
...
d
r
y
2 r
其中d1 , d2 ,..., dr均非零，r R( A) n.
化二次型为标准形的方法很多，其中有配方
法、正交变换法和初等变换法等。
线性代数
§6.2 化二次型为标准形
一、正交变换法
对于实对称矩阵A，必存在正交矩阵Q，使得 Q 1 AQ Q T AQ 为对角矩阵。可以用正交变 换法将其化为标准形。
得到正交变换：
x1
2 /
x2 1/
5 y1 2 / 3 5 y2 1/ 3 y3 5 y1 4 / 3 5 y2 2 / 3 y3
x1
5/ 3 5y2 2/ 3y3
化成标准形：
f
18 y12
18
y
2 2
9
y
2 3
例2 用正交变换，将实二次型
f (x1, x2 , x3 )
x
2 1
例4 将二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) x1 x2 x1 x3 x2 x3 化为标准形，并求出所作的可逆线性变换。
线性代数
§6.2 化二次型为标准形
[注] 1）要搞清楚配方法的原理，配方要配完整；
2）化二次型为标准形，关键是求出所作的可 逆线性变换。
一般n元二次型，用配方法化为标准形的步骤是：
① （自反性） A与A合同；
线性代数
§6.1 二次型及矩阵表示
②（对称性）若A与B合同，则B与A也合同；
③ （传递性）若A与B合同，且B与D合同， 则A与D也合同。
2）对于二次型 f X T AX 作可逆线性变换
X=CY， 变为 f Y T BY，则A与B合同。
线性代数
§6.1 二次型及矩阵表示
对于f X T AX，作正交变换X QY，则
f
1
y
2 1
2
y
2 2
...
n
y
2 n
其 中1 , 2 ,..., n都 是 系 数 矩 阵A的 特 征 值.