p k l f Re, 2 v dd
2 k l l v p f Re, v 2 dd d 2
k f Re, d
（2）雷利法 有关物理量少于5个
f q1 , q2 , q3 , q4 0
3个基本量，只有一个π项 小结：变量的选取——对物理过程有一定程度 的理解是非常重要的
得a1=2，b1=0，c1=1 同理 2
p 1 2 v
k 4 d

vd
l 3 d
e.整理方程式
p l k f 1 , 2 , 3 , 4 f v 2 , vd , d , d 0
p l k f , , 2 v vd d d
Ep

2 m vm
Em
（*）
Ca p Cam , Ca
v 2
E
1
无因次数
Ca
柯西数——弹性力的相似准数
气 体
将 a
E

代入（*）式，得
vm vP a P am
无因次数
Ma p Mam , Ma
v M a
1
马赫数——弹性力的相似准数
（5）其它准数
流量比尺λQ
λl
λυλl
λl5/2
比尺 名称 雷诺准则 弗劳德准则 λl1/2 λl3λρ λlλρ λl4λρ λl7/2λρ
λυ=1
时间比尺λt 力的比尺λF 压强比尺λp 功能比尺λW 功率比尺λN λl2 λρ λl-2λρ λlλρ λl-1λρ
λυ≠1
λυ-1λl2 λυ2λρ λυ2λl-2λρ λυ2λlλρ λυ3λl-1λρ
a1 0，b1 1 ，c1 1
a2 0，b2 1 ，c2 0
dim ML3
a3 1 ，b3 3，c3 0
c.基本量依次与其余物理量组成π项，共n－m=7－3=4个
p 1 a1 b1 c1 v d
2

v a2 d b2 c2
3
v pl p
p

vmlm
m
(Re) p Rem , Re 1
vl
无因次数
Re

雷诺数——粘性力的相似准数
（2）佛劳德准则——重力是主要的力
FGP FIP FGm FIm
FG mg gl 3
2 vm g p l p g m lm
改成
FIm FIP FGP FGm
v a t l
运动相似只有一个速度比尺，运动相似是实验
的目的
（3）动力相似模型和原型流场中的相应点上存在的 同名力都成一定的比值，且方向相同。即模型和原型 的矢量图相似。
Fp Fm
λF——力的比尺
F
F P G T
达朗伯定理：
FT FG FP FE FI 0
高为10/5=2m，风口直径为0.6/5=0.12m
原型是空气υp=15.7×10-6m2/s
Re vd

3 107
属阻力平方区（自模区）
因此采用粗糙度较大的管子，提前进入自模区 （Re=50000）
vm 0.12 Re 50000 vm 6.5m / s 6 15.7 10
W
v 2l

惯性力 表面张力
韦伯数——表面张力的相似准数
Sr
l
v
vt l
时变惯性力 位变惯性力
斯特洛哈尔数——脉动角频率的相似准数
gd 0 T0 Ar 2 v0 Te
浮力与重力之差（有效 重力） 惯性力
阿基米德准数——温差、浓差射流的轴线弯曲的相似准数
快速方法：直接平衡分子与分母的因次
相似性原理
1.力学相似
（1）几何相似——模型和原型的几何形状相似。原型中任何长 度尺寸和模型中相对应长度尺寸的比值处处相等，对应角相等。
lp lm

dp dm
l
Hale Waihona Puke p mλl——长度比尺
Ap Am
Vp Vm

2 lp 2 lm
l2

l3 p
此时 v 8 1.23 6.5
例2：弦长为3m的机翼以300km/h的速度在温度为20℃、
压强为1at的静止空气中飞行，用λl=20的模型在风洞中 作试验：（1）如果风洞中空气的温度和压强不变，风 洞中空气速度应为多少？ 解：风洞实验中粘性力是主要的——雷诺准则 υ相同
v pl p vmlm
无因次数
pp
Eu p Eum , Eu
1
p p Eu 2 2 v v
欧拉数——压力的相似准数
（4）柯西准则——弹性力是主要的力 FIP FIm FEP FIP 改成 FEP FEm FEm FIm
FE El 2
FI l 2v 2
E——弹性模量
Pv2 p
（3）清楚反映问题实质（如一个系列一条曲线）；
（4）可进行超越函数的运算
常用变量的分组
因 次 分 析 法
目的——便于实验、容易了解问题的实质
π定理（白金汉法）——任何一个物理过程，如包
括n个物理量，涉及到m个基本因次，则这个物理
过程就可由（n-m）个无因次量所表达的关系式来
描述。 基本因次：(对国际单位制) M——质量、L——长度、T——时间。
20 vm v p 300 6000km / h lm 1 lp
难以实现，要改变实验条件
（2）改用水
水 1.007106 m2 / s
空气 15.7 106 m2 / s
v pl p vmlm
p
m
201.007106 vm v p 300 385km / h 6 lm p 115.7 10
常选惯性力为特征力，将其它作用力与惯性力相比，
组成一些准则，由这些准则得到的准则数（准数） 在相似流动中应该是相等的 （1）雷诺准则——粘性力是主要的力
FTP FIP FTm FIm
改成
FIm FIP FTP FTm
dv FT A lv lv dy
FI ma l 2v 2
（2）不同介质（υp≠υm）
v pl p vmlm Re：
p
m
v l
v l
Fr：
3 2 l

取 l 10
υp——水
m
p
10
3 2

p
31.62
υm——很困难 自模区——阻力平方区 （与Re无关）
如果υp——空气（15.7×10-6m2/s）
FI l 2v 2
v2 p
Fr p Frm , Fr 1
v2 Fr gl
无因次数
佛劳德数——重力的相似准数
（3）欧拉准则——压力是主要的力
FPP FIP FPm FIm
FP l 2
改成
FI l 2v 2
FPP FPm FIP FIm
pm 2 2 P v P m vm
动力相似→对应点 上的力的封闭多边 形相似
动力相似是运动相似的保证
（4）．初始条件和边界条件相似——模型和原 型流场中的初始条件和边界条件满足相似。 恒定流,则初始条件不必考虑。
边界条件也可以归趋于几何相似。
相似条件之间的相互关系：
几何相似是前提，动力相似是主导，运动相 似是具体表现
2.相似准则
模型律的选择
雷诺准则——管流、水面下的潜艇运动、输油管道、飞 机在空中的低速飞行以及隧洞中的有压流动等，粘性力 起主要作用;
佛汝德准则——闸孔出流、堰上出流、水面船舶运动以 及明渠流动等，重力起主要作用;
由于压强通常是待求的量，可能是由粘性力引起，也可 能是由重力引起，所以只要当满足粘性力或重力相似时， 压强相似会自动满足,即欧拉准则自动满足; 水击现象的研究则采用柯西准则。
l pm
（3）改变压强（30at），温度不变
等温过程p∝ρ，且μ相同
vl Re pvl
p p v pl p pmvmlm
20 1 vm v p 300 200km / h lm Pm 1 30 lp pp
例3：溢水堰模型，λl=20，测得模型流量为300L/s，水 的推力为300N，求实际流量和推力 解：溢水堰受到的主要作用力是重力，用佛劳德准则
v l
F 3 l
3 Fp Fm3 300 20 2400000 N 2400 kN l
5.按雷诺准则和佛劳德准则导出的物理量比尺表 比尺 名称 λυ=1 长度比尺λl 流速比尺λv 加速度比尺λa λl λl-1 λl-3 雷诺准则 λυ≠1 λl λυλl-1 λυ2λl-3 弗劳德准则 λl λl1/2 λl0
因次分析和模型实验
因次分析——白金汉π理论 相似的基本概念 相似准则 重力和粘性力同时作用下的相似
因次分析
因次（量纲）——不同于单位 基本因次——相互独立的 不可压缩流体的基本因次——M、L、T 物理量A的因次 如
dim A M a LbT c
dim F MLT 2
a0 a0 a0
b0
c0 c0
——几何学量
——运动学量
——动力学量
因次的和谐性——
任何物理方程每一项的因次都是相等的 区别于经验公式 无量纲的物理量
abc0
如
dim Re dim
vd

LT L M
1
0 0
L2T 1