第3章 工业机器人静力计算及动力学分析章节题目：第3章 工业机器人静力计算及动力学分析 [教学内容]3.1 工业机器人速度雅可比与速度分析 3.2 工业机器人力雅可比与静力计算 3.3 工业机器人动力学分析 [教学安排]第3章安排6学时，其中介绍工业机器人速度雅可比45分钟，工业机器人速度分析45分钟，操作臂中的静力30分钟，机器人力雅可比30分钟，机器人静力计算的两类问题10分钟，拉格朗日方程20分钟，二自由度平面关节机器人动力学方程60分钟，关节空间和操作空间动力学30分钟。

通过多媒体课件结合板书的方式，采用课堂讲授和课堂讨论相结合的方法，首先讨论与机器人速度和静力有关的雅可比矩阵，然后介绍工业机器人的静力学问题和动力学问题。

[知识点及其基本要求]1、工业机器人速度雅可比（掌握）2、速度分析（掌握）3、操作臂中的静力（掌握）4、机器人力雅可比（掌握）5、机器人静力计算的两类问题（了解）6、拉格朗日方程（熟悉）7、二自由度平面关节机器人动力学方程（理解） 8、关节空间和操作空间动力学（了解） [重点和难点]重点：1、速度雅可比及速度分析2、力雅可比3、拉格朗日方程4、二自由度平面关节机器人动力学方程 难点：1、关节空间和操作空间动力学 [教学法设计] 引入新课：至今我们对工业机器人运动学方程还只局限于静态位置问题的讨论，还没有涉及力、速度、加速度等。

机器人是一个多刚体系统，像刚体静力学平衡一样，整个机器人系统在外载荷和关节驱动力矩（驱动力）作用下将取得静力平衡；也像刚体在外力作用下发生运动变化一样，整个机器人系统在关节驱动力矩（驱动力）作用下将发生运动变化。

新课讲解： 第一次课第三章 工业机器人静力计算及动力学分析 3-1 工业机器人速度雅可比与速度分析 一、工业机器人速度雅可比假设有六个函数，每个函数有六个变量，即：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫===),,,,,(),,,,,(),,,,,(654321666543212265432111x x x x x x f y x x x x x x f y x x x x x x f y ，可写成Y=F(X)，将其微分，得：⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫∂∂++∂∂+∂∂=∂∂++∂∂+∂∂=∂∂++∂∂+∂∂=666226116666222211226612211111dx x f dx x f dx x f dy dx x f dx x f dx x f dy dx x f dx x f dx x f dy，也可简写成dx X F dY ∂∂=。

该式中（6×6）矩阵XF ∂∂叫做雅可比矩阵。

在工业机器人速度分析和以后的静力分析中都将遇到类似的矩阵，称之为机器人雅可比矩阵，或简称雅可比矩阵。

二自由度平面关节机器人，端点位置x ，y 与关节θ1、θ2的关系为：⎭⎬⎫++=++=)sin(sin )cos(cos 2121121211θθθθθθl l y l l x即：⎭⎬⎫==),(),(2121θθθθy y x x ，将其微分，得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=22112211θθθθθθθθd y d y dy d xd x dx ，将其写成矩阵形式为： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡212121θθθθθθd d y y x x dy dx 令⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂=2121θθθθy y x xJ ，则上式可简写为θd d J X =。

式中：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=dy dx d X ；⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21θθθd 。

将J 称为该二自由度平面关节机器人的速度雅可比，它反映了关节空间微小运动d θ与手部作业空间微小位移d X 的关系。

若对J 进行运算，，则2R 机器人的雅可比写为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++-+--=)cos()cos(cos )sin()sin(sin 2122121121221211θθθθθθθθθθl l l l l l J从J 中元素的组成课件，J 阵的值是θ1及θ2的函数。

对于n 自由度机器人的情况，关节变量可用广义关节变量q 表示，q =[q 1 q 2…q n ]T ，当关节为转动关节时，q i =θi ，当关节为移动关节时，q i =d i ，d q =[dq 1 dq 2…dq n ]T 反映了关节空间的微小运动；机器人末端在操作空间的位置和方位可用末端手爪的位姿X 表示，它是关节变量的函数，X =X (q )，并且是一个6维列矢量，d X =[dx dy dz δφx δφy δφz ]T 反映了操作空间的微小运动，它由机器人末端微小线位移和微小角位移组成，因此有：d X =J (q )d q ，式中，J (q )是6×n 的偏导数矩阵，称为n 自由度机器人速度雅可比矩阵。

它的第i 行第j 列元素为：ji ij q x ∂∂=)()(q q J ，I=1，2，…，6；j=1，2，…，n 。

二、工业机器人速度分析对d X =J (q )d q 左右两边各除以dt ，得：dtd dtd q q J X )(=，或qq J V )(=。

式中，V 表示机器人末端在操作空间中的广义速度，XV =，q 表示机器人关节空间中的关节速度，J (q )表示确定关节空间速度q与操作空间速度V 之间关系的雅可比矩阵。

对于2R 机器人来说，J (q )是2×2矩阵。

若令J 1、J 2分别为雅可比的第一列矢量和第二列矢量，则有：2211θθ J J V +=，式中右边第一项表示仅由第一个关节运动引起的端点速度；右边第二项表示仅由第二个关节运动引起的端点速度；总的端点速度为这两个速度矢量的合成。

因此，机器人速度雅可比的每一列表示其它关节不动而某一关节运动产生的端点速度。

前面提到的二自由度机器人的手部速度为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++-++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++-+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22121212112212121211212122121121221211)cos()]cos(cos [)sin()]sin(sin [)cos()cos(cos )sin()sin(sin θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθl l l l l l l l l l l l v v V y x 假如已知关节上1θ 及2θ 是时间的函数，)(),(2211t f t f ==θθ ，则可求出该机器人手部在某一时刻的速度V =f(t)，即手部瞬时速度。

反之，假如给定机器人手部速度，可解出相应的关节速度：V J q1-= ，式中，1J -称为机器人逆速度雅可比。

通常可以看到机器人逆速度雅可比1J -出现奇异解的两种情况：（1）工作域边界上奇异。

当机器人臂全部伸展开或全部折回而使手部处于机器人工作域的边界上或边界附近时，出现逆雅可比奇异，这时机器人相应的形位叫做奇异形位。

（2）工作域内部奇异。

奇异并不一定发生在工作域边界上，也可以是由两个或更多个关节轴线重合所引起的。

当机器人处在奇异形位时，就会产生退化现象，丧失一个或更多的自由度。

这意味着在空间某个方向（或子域）上，不管机器人关节速度怎样选择，手部也不可能实现移动。

对于在三维空间中作业的一般六自由度工业机器人的情况，机器人速度雅可比J 是一个6×6矩阵，q和V 分别是6×1列阵，即)16()66()16()(⨯⨯⨯=q q J V 。

手部速度矢量V 是由3×1线速度矢量和3×1角速度矢量组合而成的6维列矢量。

关节速度矢量q是由6个关节速度组合而成的6维列矢量。

雅可比矩阵J 的前三行代表手部线速度与关节速度的传递比；后三行代表手部角速度与关节速度的传递比。

而雅可比矩阵J 的每一列则代表相应关节速度i q对手部线速度和角速度的传递比。

第二次课3-2 工业机器人力雅可比与静力计算 一、操作臂中的静力以操作臂中单个杆件为例分析受力，杆件I 通过关节i 和i+1分别于杆件i-1和i+1相连接。

令f i-1，i 及n i-1，i 表示i-1杆通过关节i 作用在i 杆上的力和力矩；f i ，i+1及n i ，i+1表示i 杆通过关节i+1作用在i+1杆上的力和力矩；-f i ，i+1及-n i ，i+1表示i+1杆通过关节i+1作用在i杆上的反作用力和反作用力矩；f n ，n+1及n n ，n+1表示机器人最末杆对外界环境的作用力和力矩；-f n ，n+1及-n n ，n+1表示外界环境对机器人最末杆的作用力和力矩；f 0，1及n 0，1表示机器人底座对杆1的作用力和力矩；m i g 表示连杆i 的重量，作用在质心c i 上。

连杆i 的静力平衡条件为其上所受的合力和合力矩为零，因此力和力矩平衡方程式为：f i-1,i +(-f i,i+1)+m ig =0n i-1,i +(-n i,i+1)+(r i-1,i +r iCi )×f i-1,i +(r iCi )×(-f i,i+1)=0式中，r i-1,i 表示坐标系{i}的原点相对于坐标系{i-1}的位置矢量；r iCi 表示质心相对于坐标系{i}的位置矢量。

假如已知外界环境对机器人最末杆的作用力和力矩，那么可以由最后一个连杆相零连杆（机座）依次递推，从而计算出每个连杆上的受力情况。

为了便于表示机器人手部端点的力和力矩，可将f n ，n+1和n n ，n+1合并写成一个6维矢量：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=++1,1,n n n n n f F各关节驱动器的驱动力或力矩可写成一个n 维矢量的形式，即：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n ττττ 21，式中，n 表示关节的个数，τ表示关节力矩（或关节力）矢量，简称广义关节力矩，对转动关节，τi 表示关节驱动力矩；对移动关节，τi 表示关节驱动力。

二、机器人力雅可比假定关节无摩擦，并忽略各杆件的重力，则广义关节力矩τ与机器人手部端点力F 的关系可描述为：τ=J T F ，式中，J T 为n ×6阶机器人力雅可比矩阵或力雅可比。

可用虚功原理证明。

该式表示在静力平衡状态下，手部端点力F 向广义关节力矩τ映射的线性关系。

式中J T 与手部端点力F 和广义关节力矩τ之间的力传递有关，所以叫做机器人力雅可比。

显然，力雅可比J T 正好是机器人速度雅可比J 的转置。

三、机器人静力计算的两类问题从操作臂手部端点力F 与广义关节力矩τ之间的关系式τ=J T F 可知，操作臂静力计算可分为两类问题：（1）已知外界环境对机器人手部作用力F ’（即手部端点力F =-F ’）,求相应的满足静力平衡条件的关节驱动力矩τ。

（2）已知关节驱动力矩τ，确定机器人手部对外界环境的作用力F 或符合的质量。