可概括为“由因导果” 果索因”
综合法
分析法
(1)用综合法和分析法证明同一个问题时，一般思路恰好相反， 联 过程相逆 系 (2)有的问题单纯用二者之一不能奏效时，可二者兼用，一般
先分析后综合
类型一：分析法证明不等式
【典例1】设a，b为实数，求证： a2b2 2ab．
【解题指南】讨论
成立的2条件，分a+b≥0和
第2课时 分析法
主题：分析法
【自主认知】
证明不等式：
成立，可用下面的方法进行.
证明：要证明 32227
由于
3222 7，
只需证明3220 ， 270 ，
展开得
32222只7需2． 证明6<7，显然6<7成立.
所以
成立.
11461147，
32227
据上面的内容，回答下列问题 (1)本题证明从哪里开始？ 提示：从结论开始. (2)证题思路是什么？ 提示：寻求每一步成立的充分条件.
➡根据以上探究过程，试着写出分析法的定义及流程.
1.分析法的定义
一般地，从要证明的_____出发，逐步寻求使它成立的_________，
结论
充分条件Biblioteka 直至最后，把要证明的结论归结为判定一个_________的条件(已知
条件、定理、定义、公理等)为止的证明方法明.又显叫成逆立推证法或执果
索因法.
2.分析法的流程
因为a>0，b>a0， b
所以a-b与 符号相同，
不等式(a-b)( )≥0成立，所以原不等式成立.
a b
a b
【规律总结】分析法证明不等式的依据、方法与技巧 (1)解题依据：分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知 的重要不等式和逻辑推理的基本理论. (2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明，经常 用综合法.而对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明，常用分 析法.
2.分析法与综合法的区别与联系
综合法
分析法
符号 A(已知)⇒P1⇒P2 表示 ⇒…⇒Pn⇒B(结论)
B(结论)⇐P1⇐P2 ⇐…⇐Pn⇐A(已知)
区
从“已知”看“可知”，从“未知”看“需知”，逐
别
特
逐步推向未知，其逐步 步靠拢“已知”，其逐步推 推理，实际上是步步寻 理，实际上是步步寻找上一
点 找上一步的必要条件. 步的充分条件.可概括为“执
(3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发，逐 步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的 不等式. (4)应用技巧：用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要 证”、“只需证”、“即证”等词语.
【巩固训练】当a≥2时，求证 a 1 a ＜ a 1 a 2 .
a+b<0两种情况.
a2b2 2ab
2
【证明】若a+b<0， a2b2 2显a然b成 立.
2
若a+b≥0，要证 a2b2 2成a立，b
只需证a2+b2≥1 (a+b)2成立2，
即证a2+b2≥ (a2 2+2ab+b2)成立， 1
即证 (a2-2ab2 +b2)≥0， 1
即 (a2 -b)2≥0成立， 1
(a-c)(2a+c)>0⇔(a-c)(a-b)>0.
2.证明不等式 a 1 aa 1 a 2 (a≥2)成立所用的最适合的
方法是
.
【解析】由于此式两边都有根号，由其特点可用分析法证明此不等式.
答案：分析法
【归纳总结】 1.对分析法的两点说明 (1)思维方法：分析法是指“执果索因”的思维方法，即从结论出发， 不断地去寻找需知，直至找到已知事实的方法. (2)分析法的形式：“结论→需知1→需知2→…→已知”.
即证-2<0，而-2<0显然成立，
所以
成立.
a 1 a ＜ a 1 a 2
【补偿训练】当实数a，b满足什么条件时， ab＜ab成立.
【解析】要
a b＜ab，
只需
只需a<ab＜ +(ba-b)a+2b，
只需2 >0， ba b，
2.分析法的证题思路是什么？ 提示：分析法的基本思路是“执果索因”.由求证走向已知，即从数 学题的待证结论或需要求证的问题出发，一步一步探索下去，最后寻 找到使结论成立的一个明显成立的条件，或者是可以证明的条件. 3.分析法证题的模式一般是什么？ 提示：“要证……”“只需证……”“即证……”的语言模式.
【拓展延伸】综合法与分析法证明格式的区别 (1)综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知，由因导果通过逐 步推理寻找问题成立的必要条件.它的证明格式为：因为×××，所 以×××，所以×××……所以×××成立. (2)分析法证明问题时，是从“未知”看“需知”，执果索因逐步靠 拢“已知”，通过逐步探索，寻找问题成立的充分条件，它的证明格 式：要证×××，只需证明×××，只需证×××……因为×××成 立，所以×××成立.
2
因为 1 (a-b)2≥0成立，且以上每步都可逆. 2
所以a+b≥0时， a2b2 2成a立b，
2
综上可知：a，b为实数时，
成立.
a2b2 2ab
2
【延伸探究】若本例改为“已知a>0，b>0，求证 a b a b ”， ba
如何证明？
【证明】要证 a b a b
只需证
ba
即证(a-ba)(abb )≥0a，bba，
【证明】要证
a 1a ＜ a 1a 2 ，
只需证
只需证 a 1a 2 ＜ aa 1 ，
2
2
只需证 a 1a 2＜ aa 1，
只需证 a 1 a 2 2 a 1 a 2 ＜ a a 1 2 a a 1 .
(a1)a2＜ aa1，
只需证(a+1)(a-2)<a(a-1)，
【过关小练】
1.分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a>b>c，且
a+b+c=0，求证
则证明的依据应是( )
A.a-b>0
b2 ac＜3a，
B.a-c>0
C.(a-b)(a-c)>0
D.(a-b)(a-c)<0
【解析】选C. b2ac＜3a ⇔b2-ac<3a2⇔(a+c)2-ac<3a2⇔
其中Q表示要证明的结论，P1，P2，P3，…，P分别表示使Q，P1，
P2，…，Pn成立的_____条件，P表示最后寻求到的一个明显成立
的条件.
充分
【合作探究】 1.分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？ 提示：分析法的推理过程是演绎推理，因为分析法的每一步推理都是 严密的逻辑推理，从而得到的结论都是正确的，不同于合情推理中的 猜想.