2012-2013学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A)
专业 学号 姓名
一、（共30分，每小题6分）完成下列各题：
（1）设4
R 空间中的向量⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=23121α，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=32232α，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=78013α，⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=43234α，
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=30475α
Span V =1{}321,,ααα，Span V =2{}54,αα，分别求21V V +和21V V 的
维数.
解：=A {}
54321,,,,ααααα⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡--→000004100030110
202
01 21V V +和21V V 的维数为
3和1
（2） 设()
T
i i 11-=α，()
T
i i 11-=β是酉空间中两向量，求
内积()βα, 与它们的长度（i =
. （0， 2, 2）；
（3）求矩阵⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----=137723521111A 的满秩分解.
解：⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----=137723521111A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣
⎡
--
--→0000747510737201 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=137723521111A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=775211⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎢⎢⎢
⎢⎣
⎡
----747
510737201* （4）设-λ矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=2)1(000000
)1()(λλλλλA ，求)(λA 的标准形与其
行列式因子.
解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=2)1(000000)1()(λλλλλA ()()⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛++→2111λλλλ
（5）设*A 是矩阵范数，给定一个非零向量α，定义 *H x x α=，
验证x 是向量范数.
二、（10分）设3R 中的线性变换T 在基321,,εεε下的矩阵表示为
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=021110111A ， （1）（5分）求T 的值域)(T R 的维数与一组基； （2）（5分）求T 的核)(T N 的维数与一组基.
解：（1）由题意知 T [ε1,ε2,ε3]=[]⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-021110111,,321εεε
线性变换T 的值域为T （V ）= {}321312,span εεεεε+++ 所以A （V ）的维数为2， 基为{}321312,εεεεε+++
（2）矩阵A 的核为0的解空间。

不难求得0的基础解系是[2, -1,
1]
T
,
因此)(A N 的维数为1， 基为3212εεε+-.
三、（8
分）求矩阵⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢
⎣
⎡=66
0606
066
A 的正交三角分解UR A =，其中U 是酉矩阵，R 是正线上三角矩阵.
解：
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡=66
0606
066A =⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
--
2213
3332*316
20
316
121316121
四、（8分）设⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--=0111021i
i A ，求矩阵范数1A ，∞A ，2A ，F A .（这里12
-=i ）.
解：{}1max 2,3,1,13A ==，（2分）
{}max 3,44A ∞== ，
（2分）
1
2
42
211F
A ij j i a ===⎛⎫∑∑ ⎪⎝⎭
()12
1141113=+++++= （2分）
1120110H
i i A
⎛⎫ ⎪-
⎪= ⎪- ⎪⎝⎭
， 6113H
AA
-⎛⎫= ⎪-⎝⎭
（2分）
2
6
1
9171
3
H
E AA λλλλλ-=
=-+--
1,2λ=
=
2
A
⇒
=
（2分）
五、（共24分，每小题8分）证明题：
（1）设A 是正定矩阵，B 是反矩阵，证明B A +是可逆矩阵. （2）设A 是n 阶正规矩阵，证明A 是矩阵的充要条件是A 的特征
值为实数.
（3）若1A <，证明A E +为非奇异矩阵，且
A
A E -≤
+-11
)(1，这
里A 是诱导范数.
六、（共20分，每小题5
分）设⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛---=213111213A ，
（1） 求A E -λ的标准形（写出具体步骤）； （2） 求A 的初等因子、最小多项式与标准形J ； （3） 求相似变换矩阵P 与其逆矩阵阵1-P ； （4） 求)sin(At .
解
A E -λ()⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-→2111λλ，
初等因子λ，()21-λ；最小多项式
()2
1-λλ； 标准⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛1110
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=112101111P ，⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-11101110
11P )sin(At ⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--+---+=t t t t
t t t t t t t t t t t
t t t t cos sin cos cos sin 2sin sin sin cos sin cos cos sin 2。