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现代数值计算方法习题答案
习题一
1、解：根据绝对误差限不超过末位数的半个单位，相对误差限为绝对误差限除以 有效数字本身，有效数字的位数根据有效数字的定义来求.因此
49×10-2 ： E = 0.005； Er = 0.0102； 2 位有效数字.
0.0490 ： E = 0.00005； Er = 0.00102； 3 位有效数字.
1 102 2
于是有
| x1 x1* | = |10 x0 1 10 x0* 1| = 10| x0 x0* | < =10
| x2
x
* 2
|
=
|10 x1 1 10 x1* 1 |
=
10| x1 x1* |
<
=10 2
类推有
| x10 x1*0 |
<
=1010
1 108 2
E(n x* ) n x*
1
(
x*
)
1 n
1
(
x
x* )
n
n x*
1 n
x x* x*
1 n
Er
(
x
*
)
5、解：(1)因为 20 4.4721…… ，
又 E(x* ) | x x* | = | 20 4.47 | = 0.0021 < 0.01, 所以 x* 4.47.
(2) 20 的近似值的首位非 0 数字1 = 4,因此有
u23 a23 l21u13 2 / 3
u24 a24 l21u14 1/ 3
l32 (a32 l31u12 ) / u22 1/ 5
l42 (a42 l41u12 ) / u22 1/10 第三步：计算 U 的第三行，L 的第三列，得
u33 a33 l31u13 l32u23 37 /10
490.00 ： E = 0.005； Er = 0.0000102；5 位有效数字.
2、解： 22 = 3.1428 …… ， = 3.1415 …… ， 7 取它们的相同部分 3.14，故有 3 位有效数字.
E
=
3.1428
- 3.1415 = 0.0013 ； Er =
E 3.14
=
0.0013 3.14
即计算到 x10 ，其误差限为1010 ，亦即若在 x0 处有误差限为 ，则 x10 的
误差将扩大1010 倍，可见这个计算过程是不稳定的.
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习题二
1、 解：只用一种方法. （1）方程组的增广矩阵为：
2 1 1 4 2 1 1 4 2 1 1 4 3 4 2 11 → 0 11 1 10 → 0 11 1 10 3 2 4 11 0 1 11 10 0 0 1 1
gt(t t* ) gt 2 / 2
2E(t) t
由上述两式易知，结论.
10、解：代入求解,经过计算可知第(3)个计算结果最好.
11、解：基本原则为：因式分解，分母分子有理化、三角函数恒等变形……
（1）通分；（2）分子有理化；（3）三角函数恒等变形.
12、解： 因为 x0
2 , x0* 1.41 ,所以| x0 x0* | < =
u34 a34 l31u14 l32u24 9 /10
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l43 (a43 l u 41 13 l42u23 ) / u33 9 / 37 第四步：计算 U 的第四行，得
u44 a44 l41u14 l42u24 l u 43 34 955 / 370
解得Y =（6，-3，23/5，－955/370）T. 解得 X =（1，-1，1，－1）T.
3、（1）解：首先检验系数矩阵的对称正定性，这可以通过计算其各阶顺序主子式
是否大于零来判断.
a11 ＝ 3 > 0,
3 2 = 2 > 0, 22
3 21 2 2 0 = 4 > 0,所以系数矩阵是对 103
（3）适用于计算机编程计算. 2、 解：第一步：计算 U 的第一行，L 的第一列，得
u11 6
u12 2
u13 1
u14 1
l21 a21 / u11 1/ 3
l31 a31 / u11 1/ 6
l41 a41 / u11 1/ 6 第二步：计算 U 的第二行，L 的第二列，得
u22 a22 l21u12 10 / 3
称正定的.记系数矩阵为 A，则平方根法可按如下三步进行： 第一步 分解：A = L LT. 由公式计算出矩阵的各元素：
→ x1 3 , x2 1 , x3 1 .
（2）方程组的增广矩阵为：
3 1 4 7 3 1 4 7 3 1 4 7
1 2 2 1 → 0 5 2 4 → 0 5 2 4
2 3 2 0
0 1 2 2
0 0 2 1
→ x1 2 , x2 1 , x3 1/ 2 .
从而，
6 2 1 1
2
4
1
0
1 1 4 1
1 0 1
3
1 0
0 0 6 2
1
1
=
1/
3
1
0 0 0 10 / 3 2 / 3
1/ 3
1/ 6 1/ 5 1 0 0 0 37 /10 9 /10
1/ 6 1/10 9 / 37 1 0 0
0 955/ 370
由 LY b , 由UX Y ,
|
E
* r
(
x)
|
1 24
10(n1)
< = 0.01 , 解之得 n > = 3 .所以， x*
4.47.
6、解：设正方形的边长为 x ,则其面积为 y x2 ，由题设知 x 的近似值为 x* = 10 cm .
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记 y * 为 y 的近似值，则
E( y* ) 2x* (x x* ) 20(x x* ) 20 E(x* ) < = 0.1，
所以 E(x* ) < = 0.005 cm .
7、解：因为 E(x n ) nxn1 (x x* ) ,
所以 Er (x n )
E(xn ) xn
n
x x* x
nEr (x)
0.01n .
8、解：
9、证： E(S) S S * gt(t t * ) gtE(t)
Er (S)
S
S* S
= 0.00041.
3、解： 101 的近似值的首位非 0 数字1 = 1,因此有
|
E
* r
(
x)
|
1 10(n1) 21
<=
1 × 10-4 , 解之得 n > = 5，所以 n = 5 . 2
4、证： E(n
x* )
1
(
x
*
)
1 n
1
1
(
x*
)
1 n
1
(
x
x* )
n
n
Er (n
x* )