中考数学全真综合模拟测试卷三(时间:120分钟　总分:120分)一、选择题(每小题3分,共30分)1.方程x 2+x-12=0的两个根为( )A.x 1=-2,x 2=6 B.x 1=-6,x 2=2C.x 1=-3,x 2=4 D.x 1=-4,x 2=32.下列等式一定成立的是( )A.a 2÷a 3=a 5B.(a-b )2=a 2-b 2C.(2ab 2)3=6a 3b 6D.(x-a )(x-b )=x 2-(a+b )x+ab3.在下列命题中,是真命题的是( )A.位似图形一定是相似图形B.等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形C.四条边相等的四边形是正方形D.垂直于同一条直线的两条直线互相垂直,所以选项A 是真命题;等腰梯形是轴对称图形,但不是中心对称图形,所以选项B 是假命题;四条边相等的四边形是菱形,所以选项C 是假命题;同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行,所以选项D 是假命题.故选A.4.若不等式组的解集是x>2,则m 的取值范围是( ){x +9<5x +1,x >m +1A.m<1B.m ≥1C.m ≤1D.m>1x>2,由第二个不等式得x>m+1.因为不等式组的解集是x>2,所以m+1≤2,所以m ≤1.5.如图,将一张正六边形纸片的阴影部分剪下,拼成一个四边形,若拼成的四边形的面积为2a ,则纸片的剩余部分的面积为( )A.5aB.4aC.3aD.2a6.将两个大小完全相同的杯子(如图甲)叠放在一起(如图乙),则图乙中实物的俯视图是( )7.某剧场为希望工程义演的文艺表演有60元和100元两种票价,某团体需购买140张,其中票价为100元的票数不少于票价为60元的票数的两倍,则购买这两种票最少共需要( )A.12 120元B.12 140元C.12 160元D.12 200元60元的票x 张,由题意,得140-x ≥2x ,解得x ≤,1403所以0≤x ≤46(x 取整数).购买这两种票的钱数为60x+100(140-x )=14 000-40x ,所以当x=46时,需要的钱数最少,且为12 160元.8.经过某十字路口的汽车,它可能继续直行,也可能向左或向右转.若这三种可能性大小相同,则两辆汽车经过该十字路口全部继续直行的概率为( )A. B. C. D.132319129.函数y=ax+1与y=ax 2+bx+1(a ≠0)的图象可能是( )a>0时,直线从左向右是上升的,抛物线开口向上,B,D是错误的;函数y=ax+1与y=ax2+bx+1(a≠0)的图象必过点(0,1),A是错误的,故选C.10.学校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组代表学校参加青少年科技创新大赛.各组的x平时成绩的平均数(单位:分)及方差s2如下表所示:甲乙丙丁x7887s211.211.8如果要选出一个成绩较好且状态稳定的小组去参赛,那么应选的小组是( )A.甲B.乙C.丙D.丁二、填空题(每小题3分,共21分)x-211.当实数x的取值使得有意义时,函数y=4x+1中y的取值范围是 .≥912.2在△ABC中,D为AB边上一点,且∠BCD=∠A,已知BC=2,AB=3,则BD= .13.若关于x的一元二次方程x2+(k+3)x+k=0的一个根是-2,则另一个根是 .14.如图,AB 为☉O 的直径,点C ,D 在☉O 上.若∠AOD=30°,则∠BCD 的度数是 .∠AOD=30°,∴的度数为210°,∠BCD=105°.⏜DAB15.如图,甲、乙两盏路灯底部间的距离是30 m,一天晚上,当小华走到距路灯乙底部5 m 处时,发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部.已知小华的身高为1.5 m,则路灯甲的高(不带灯罩)为 m .x m,由三角形相似得,解得x=9,所以路灯甲的高为9 m .1.5x =53016.如图,∠ACB=90°,D 为AB 的中点,连接DC 并延长到点E ,使CE=CD ,过点B 作BF ∥DE 交AE 的14延长线于点F.若BF=10,则AB 的长为 .17.如图,在△ABC 中,AB=BC ,将△ABC 绕点B 顺时针旋转α度,得到△A 1BC 1,A 1B 交AC 于点E ,A 1C 1分别交AC ,BC 于点D ,F ,下列结论:①∠CDF=α,②A 1E=CF ,③DF=FC ,④AD=CE ,⑤A 1F=CE.其中正确的是 (写出正确结论的序号).∠A 1=∠A ,∠A 1ED=∠AEB ,∴∠A 1DE=∠A 1BA=α.∴∠CDF=∠A 1DE=α,①正确.∵∠C 1=∠A ,∠FBC 1=∠EBA ,BC 1=AB ,∴△FBC 1≌△EBA.∴BF=BE ,FC 1=AE.∵A 1B=BC ,A 1C 1=AC ,∴A 1E=CF ,A 1F=CE.②⑤正确.三、解答题(69分)18.(6分)先化简,再求值:,其中x=-.1x +1‒3-xx 2-6x +9÷x 2+x x -332=1x +1+x -3(x -3)2·x -3x (x +1)=.1x +1+1x (x +1)=x +1x (x +1)=1x 当x=-时,原式==-.321-322319.(8分)如图,点P 的坐标为,过点P 作x 轴的平行线交y 轴于点A ,交双曲线y=(x>0)于点N ,作(2,32)kx PM ⊥AN 交双曲线y=(x>0)于点M ,连接AM.已知PN=4.kx (1)求k 的值;(2)求△APM 的面积.∵P ,PN=4,∴N .(2,32)(6,32)把N 代入y=,得k=9.(6,32)kx (2)∵PM ⊥AN ,P ,(2,32)∴M (2,y ),∵k=9,点M 在双曲线y=上,把M (2,y )代入y=,得y=.kx 9x 92∴M .又P ,(2,92)(2,32)∴MP=3,AP=2.∴S △APM =×2×3=3.1220.(8分)为了了解学生关注热点新闻的情况,“两会”期间,小明对班级同学一周内收看“两会”新闻的次数情况作了调查,调查结果统计如图所示(其中男生收看3次的人数没有标出).根据上述信息,解答下列各题:(1)该班级女生人数是 ,女生收看“两会”新闻次数的中位数是 ;(2)对于某个群体,我们把一周内收看某热点新闻次数不低于3次的人数占其所在群体总人数的百分比叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”.如果该班级男生对“两会”新闻的“关注指数”比女生低5%,试求该班级男生的人数;(3)为进一步分析该班级男生、女生收看“两会”新闻次数的特点,小明给出了男生的部分统计量(如下表).统计量平均数中位数众数方差…该班级男生3342…比较该班级男生、女生收看“两会”新闻次数的波动大小.　3(2)由题意得该班女生对“两会”新闻的“关注指数”为×100%=65%,1320所以男生对“两会”新闻的“关注指数”为60%.设该班男生有x 人,则=60%,解得x=25.x -(1+3+6)x故该班男生有25人.(3)该班级女生收看“两会”新闻次数的平均数为=3,1×2+2×5+3×6+4×5+5×220女生收看“两会”新闻次数的方差为2×(3-1)2+5×(3-2)2+6×(3-3)2+5×(3-4)2+2×(3-5)220=,1310因为2>,所以男生比女生的波动幅度大.131021.(10分)为创建“国家卫生城市”,进一步优化市中心城区的环境,某市政府拟对部分路段的人行道地砖、花池、排水管道等公用设施进行更新改造,根据市政的建设需要,需在60天内完成此工程.现在甲、乙两个工程队有能力承包这个工程.经调查:乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用25天,甲、乙两队合作完成此项工程需要30天,甲队每天的工程费用是2 500元,乙队每天的工程费用是2 000元.(1)甲、乙两个工程队单独完成各需多少天?(2)请你设计一种符合要求的施工方案,并求出所需的工程费用.设甲工程队单独完成该工程需x 天,则乙工程队单独完成该工程需(x+25)天.根据题意得=1,30x +30x +25即x 2-35x-750=0.解得x 1=50,x 2=-15.经检验,x 1=50,x 2=-15都是原方程的解.但x 2=-15不符合题意,应舍去.所以x=50.当x=50时,x+25=75.故甲工程队单独完成该工程需50天,则乙工程队单独完成该工程需75天.(2)此问题只要设计出符合条件的一种方案即可.有如下两种方案可供选择.方案一:由甲工程队单独完成.所需费用为2 500×50=125 000(元).方案二:甲、乙两队合作完成.所需费用为(2 500+2 000)×30=135 000(元).22.(12分)已知AB 是☉O 的直径,点P 在弧AB 上(不含点A ,B ),把△AOP 沿OP 对折,点A 的对应点C 恰好落在☉O 上.(1)当P 在AB 上方而C 在AB 下方时(如图①),判断PO 与BC 的位置关系,并证明你的判断;(2)当P ,C 都在AB 上方时(如图②),过点C 作CD ⊥直线AP 于D ,且PC=2PD ,证明CD 是☉O 的切线.图①图②∥BC.理由如下:如图①,∵△AOP 沿OP 对折,点A 的对应点C 恰好落在☉O 上,∴∠1=∠2.∵OA=OP ,∴∠A=∠1.∴∠A=∠2.∵∠A=∠3,∴∠2=∠3.∴PO ∥BC.图①图②②,∵CD ⊥直线AP ,∴∠PDC=90°.∵PC=2PD ,∴∠1=30°.∴∠2=60°.∵△AOP 沿OP 对折,点A 的对应点C 恰好落在☉O 上,∴∠3=∠4.∴∠3=×(180°-60°)=60°.12而OP=OC ,∴△OPC 为等边三角形.∴∠5=60°.∴∠OCD=∠1+∠5=90°.∴OC ⊥CD ,∴CD 是☉O 的切线.23.(12分)已知△ABC ,分别以AB ,AC 为边作△ABD 和△ACE ,且AD=AB ,AC=AE ,∠DAB=∠CAE ,连接DC 与BE ,G ,F 分别是DC 与BE 的中点.(1)探索发现:如图①,若∠DAB=60°,则∠AFG= ;如图②,若∠DAB=90°,则∠AFG= . (2)探究证明如图③,若∠DAB=α,试探究∠AFG 与α的数量关系?并给予证明.(3)动手实践:如果∠ACB 为锐角,AB ≠AC ,∠BAC ≠90°,点M 在线段BC 上运动,连接AM ,以AM 为一边,以点A 为直角顶点,且在AM 的右侧作等腰直角△AMN ,连接NC.试探究:若NC ⊥BC (点C ,M 重合除外),则∠ACB 等于多少度?请同学们自己动手画出相应图形.(画图不写作法)　45°(2)连接AG ,∵∠DAB=∠CAE ,∴∠DAC=∠BAE.又AD=AB ,AC=AE ,∴△ADC ≌△ABE (SAS).∴∠1=∠2.又DG=DC ,BF=BE ,1212于是DG=BF ,且AD=AB ,∴△ADG ≌△ABF (SAS).∴AG=AF ,且∠DAG=∠BAF ,于是易得∠GAF=∠DAB=α.也就是说△AGF 是顶角为α的等腰三角形,∴∠AFG=90°-.α2(3)简易画图步骤:1.先画等腰直角三角形AMN ;2.找个点C ,使得CM ⊥CN ;3.在CM 的延长线上任取一点B ,连接AB ,AC.(作图不计分)过点A作AC的垂线交BC于点G,由于∠1和∠2均与∠MAC互余,∴∠1=∠2.由于∠3和∠4均与∠ACM互余,∴∠3=∠4.又AM=AN,∴△AMG≌△ANC(AAS).∴AG=AC.又AG⊥AC,∴△AGC为等腰直角三角形.∴∠ACB=∠ACG=45°.24.(13分)如图,已知抛物线C0:y=x2,顶点记作A0.首先我们将抛物线C0关于直线y=1对称翻折过去得到抛物线C1称为第一次操作,再将抛物线C1关于直线y=2对称翻折过去得到抛物线C2称为第二次操作,……,将抛物线C n-1关于直线y=2n-1对称翻折过去得到抛物线C n(顶点记作A n)称为第n次操作(n=1,2,3…).设抛物线C0与抛物线C1交于两点B0与B1,顺次连接A0,B0,A1,B1四个点得到四边形A0B0A1B1,抛物线C2与抛物线C3交于两点B2与B3,顺次连接A2,B2,A3,B3四个点得到四边形A2B2A3B3,……,抛物线C k-1与抛物线C k交于两点B k-1与B k,顺次连接A k-1,B k-1,A k,B k四个点得到四边形A k-1B k-1A k B k(k=1,3,5…).(1)请分别直接写出抛物线C n(n=1,2,3,4)的解析式.(2)一系列四边形A k-1B k-1A k B k(k=1,3,5…)为哪种特殊的四边形(说明理由)?它们都相似吗?如果全都相似,请证明之;如果不全都相似,请举出一对不相似的反例.(3)试归纳出抛物线C n的解析式,无需证明.并利用你归纳出来的C n的解析式求四边形A k-1B k-A kB k(k=1,3,5…)的面积(用含k的式子表示).1C1:y=-x2+2;C2:y=x2+2;C3:y=-x2+6;C4:y=x2+10.(2)根据抛物线的对称性以及翻折的原理不难得出四边形A k-1B k-1A k B k(k=1,3,5…)的两条对角线B k-1B k与A k-1A k互相垂直且平分,故一系列四边形A k-1B k-1A k B k均为菱形;它们并不都相似,反例:四边形A0B0A1B1和四边形A2B2A3B3不相似,理由如下:不难算出A0A1=B0B1=2,于是四边形A0B0A1B1为正方形.2而A2A3=4,B2B3=2,即A2A3≠B2B3,四边形A2B2A3B3为菱形.故它们不相似.(3)抛物线C n 的解析式为y={x 2+2n +1-23(n 为偶数),-x 2+2n +1+23(n 为奇数).(或y =(-1)n ·x 2+2n +1+(-1)n +1·23)由于四边形A k-1B k-1A k B k (k=1,3,5…)是抛物线C k-1关于直线y=2k-1翻折得到抛物线C k 后连接交点和顶点所形成的图形,利用上述结论不难得出:A k-1A k =.2k +1+23‒2k -23=2k +43{C k -1:y =x 2+2k -23,C k :y =-x 2+2k +1+23⇒{x B k -1=-2k -1+23,x B k =2k -1+23,∴B k-1B k ==2.x B k ‒x B k -12k -1+23∴·A k-1A k ·B k-1B k =·(2k-1+2)·.S A k -1B k -1A k B k =122k +43·2k -1+23=2392k -1+2。