武汉大学2009-2010年度上学期研究生公共课
《应用数理统计》期末考试试题
(每题25分,共计100分)
(请将答案写在答题纸上)
1设X 服从),0(θ上的均匀分布,其密度函数为
⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它0
01)(θθx x f
n X X X ,,,21" 为样本, (1)求θ的矩估计量1ˆθ和最大似然估计量2
ˆθ; (2)讨论1ˆθ、2ˆθ的无偏性,1ˆθ、2ˆθ是否为θ的无偏估计量?若不是,求使得i
c ˆi i c θ为θ的无偏估计量,;
1,2i =(3)讨论1ˆθ、2
ˆθ的相合性; (4)比较11ˆc θ和22ˆc θ的有效性.
2. 假设某种产品来自甲、乙两个厂家,为考查产品性能的差异,现从甲乙两厂产品中分别抽取了8件和9件产品,测其性能指标X 得到两组数据,经对其作相应运算得
2110.190,0.006,x s == 2220.238,0.008x s ==
假设测定结果服从正态分布()()2~,1,2i i X i μσ=,
(1).在显著性水平0.10α=下,能否认为2212σσ=?
(2).求12μμ−的置信度为90%的置信区间,并从置信区间和假设检验的关系角度分析甲乙两厂生产产品的性能指标有无显著差异。
3.设是来自正态总体的样本, 总体均值n X X X ,,,21"),(2
σμN μ和方差未知,样本均值和方差分别记为2σ2211
11,(1n n i i i i )X X S X X n n ====−∑∑−
(1) 求2211
(n i i X )μσ=−∑的分布;
(2)若0μ=,求212212()()
X X X X +−的分布; (3)方差的置信度为12σα−的置信区间的长度记为L ,求()E L ;
(4)1n X +
的分布。
4.为进行病虫害预报, 考察一只红铃虫一代产卵量Y (单位:粒)与温度x (单位:)的关系, 得到资料如下:
C 0x
18 20 24 26 30 32 35 Y 7 11 21 24 66 115 325 假设Y 与x 之间有关系
bx Y ae ε+=, .
),0(~2σεN 经计算:26.43x =,ln 3.612y =,,, 7215125i i x
==∑721(ln )102.43i i y ==∑7
1ln 718.64i i i x y ==∑(1)求Y 对x 的曲线回归方程; x b
e a y
ˆˆˆ=(2)求的无偏估计; 2σ2ˆσ
(3)对回归方程的显著性进行检验(05.0=α);
(4)求当温度0x =33时,产卵量的点估计。
0Y 可能用到的数据: 0.02282z =,()()0.050.057,8 3.50,8,7 3.73F F ==,()0.0515 1.7531t =,,,,0.025(5) 2.5706t =0.05(5) 2.015t =0.025(7) 2.3646t =0.05(7) 1.8946t =,0.05(1,5) 6.61F =, 0.05(1,7) 5.59F =。