3) 无失真传输
对于理想的无失真传输，输出信号为：y t = K������(t − ������0 )，其中 K 和������0 为常数，对 双边进行傅里叶变化，得：Y ������ = KX(������)������ −������ 2������������ ������ 0 ，则实现无失真传输的系统的传 递函数为：H ������ = K������ −������ 2������������ ������ 0
Px ( x) dFx ( X ) , Fx ( x) P( X x) dx
概率密度函数有以下性质： ① Px ( x) 0 ② Px ( x)dx Fx () Fx () 1

1) 集总平均 a) 期望值：mx E{ X } xpx ( x)dx 其中 E{·}称为期望运算（expected
1 2������
exp⁡ [− 2 (������ )2 ]。式中的������ 2 是 n 的方差。令均值
1 ������
为 0，方差为 1 可以得到归一化或者标准高斯密度函数。随机信号通常可以 看做高斯随机噪声和直流信号之和：z = a + n。其中 z 是随机信号，a 是直流 分 量 ， n 是 高 斯 噪 声 随 机 变 量 。 概 率 密 度 函 数 p(z) 表 示 为 ： p z =

2 2 二阶中心距又称为方差，通过运算可以得到： x E{X 2 } mx

2) 随机过程 a) 随机过程的统计平均（书本 P16） b) 平稳性（书本 P17） c) 宽平稳随机过程的自相关函数（书本 P18） 3) 时间平均和各态遍历 4) 随机过程的功率谱密度和自相关函数 5) 通信系统中得噪声 噪声（noise） ：电系统中总会出现的有害（unwanted）电信号。 热噪声（thermal noise） ：由分立元件的电子热运动产生，分立元件包括 电阻、导线等。热噪声可以看做零均值的高斯随机过程。 高斯过程 n(t)是一个随机函数， 在任意时间点 t 的值 n 由下列高斯概率密 度函数统计描述：p n = ������
系统对任意输入信号 x(t)的响应是 x(t)和 h(t)的卷积，表示为y t = x t ∗ h t =
∞ ������ −∞
������ ������(������ − ������)������������，由于系统在时刻 t = 0 之前没有输出，则积分下限为零，输出
y(t)可以表示为：y t =
T0 平均来代替。因此相关函数可以表示为：
Rx ( ) 1 T0

T0
T0
x(t ) x(t )dt,
实值功率信号的自相关函数与能量信号的自相关函数有类似的性质： a) b) c) d) 5. 随机信号
P(X ≤ x)是随机变量 X 小于等于实数 x 的概率。分布函数 Fx ( x) 有以下性质：
Rx ( ) Rx ( ) Rx ( ) Rx (0) ，对所有τ 成立 Rx ( ) Gx ( f )
Rx (0) 1 T0
函数关于零点对称 函数在原点获得最大值 自相关函数与 PSD 是傅里叶变换对 函数在零点的值等于信号的能量

T0
T0
x 2 (t )dt
① 0 Fx ( x) 1 ② Fx ( x1 ) Fx ( x2 )，条件是x1 x2 ③ Fx () 0 ④ Fx () 1 概率密度函数（probability density function, pdf）即：

实值能量信号的自相关函数具有以下性质： a) b)
Rx ( ) Rx ( ) Rx ( ) Rx (0) ，对所有τ 成立
函数关于零点对称 函数在原点获得最大值
c)
Rx ( ) x (PSD 是傅里叶变换对，
d)
Rx (0) x 2 (t )dt
信号，其中 p x lim
a)



(t )dt 1
b) δ (t) = 0，当 t ≠ 0 时 c) δ (t)→∞，当 t = 0 时 d)



x(t ) (t t 0 )dt x(t 0 )
3. 频谱密度 信号的频谱密度（spectral density）是信号的能量或者功率在频域上的分布 特征。 1) 能量谱密度（书本 P12） 2) 功率谱密度（书本 P13） 4. 自相关函数 1) 能量信号的自相关函数 自相关（）是指延迟信号与其自身的匹配。实值能量信号 x(t)的自相关 函数定义为： Rx ( ) x(t ) x(t )dt,
a) 理想滤波器
可以无失真传输������������ 和������������ 之间所有的频率分量，其中������������ 称为下限频率，������������ 称为下 限频率，对于铜带������������ < ������ < ������������ 范围之外的频率，理想滤波器的幅频响应为零。 通带的有效宽度为滤波器带宽������������ = (������������ − ������������ )������������。 若������������ ≠ 0并且������������ ≠ ∞，则此滤波器称为带通滤波器（Bandpass Filter, BPF） ，若 ������������ = 0且������������ 为有限值时， 滤波器称为低通滤波器 （Low-pass Filter, LPF） ， 当������������ ≠ 0 且������������ → ∞时，滤波器称为高通滤波器（High-pass Filter,HPF） 。
∞ ������ 0
������ ������(������ − ������)������������或者 y t =
∞ ������(������)������ 0
t − ������ ������������
2) 频域传递函数
随机过程和线性系统：输入信号功率谱密度������������ (������)和输出信号功率������������ (������)的关系为： ������������ ������ = ������������ (������) ������(������) 2
T /2 t T / 2
x 2 (t )dt x 2 (t )dt


b) 当且仅当信号的功率不为零且有限（ 0 p x ）时，称信号伟功率
1 T /2 2 x (t )dt T T T / 2 能量信号和功率信号是互不相容的，能量信号的能量有限而平均功率为 零（zero average power） ，功率信号的平均功率有限而能量无限（infinite energy） 。系统中得波形要么具有能量值，要么具有功率值。一般地，周 期信号好随机信号是功率信号，而非周期的确定信号是能量信号。 5) 单位冲激函数 在通信理论中，一个很有用的函数是单位冲激（unit impulse）函数或狄 拉克函数δ (t) （Dirac delta function） 。 冲激函数是抽象的， 其幅值无限大， 脉冲宽度为 0，面积为 1.具有以下性质:
第一章 信号与频谱
1. 数字通信信号处理 1) 数字化的优点和缺点 a) 优点 i. 易于再生（主要原因） ii. 抗失真和抗干扰能力强。 iii. 更可靠，成本低，更具灵活性，更简单，更适于信号处理。 b) 缺点 i. 数字系统需要更多的信号处理技术。 ii. 需要分配一部分资源用于实现同步。 iii. “门限效应” （nongraceful degradation） ，当信噪比下降到一定限 度时，服务质量就会急剧恶化。 2) 基本的数字通信术语 a) 信源（information source） ：指 DCS 中产生需要传输的信息装置，信 源的输出可以是模拟的或者离散的。模拟信源可以通过采样 （sampling）和量化（quantization）变成离散信源。 b) 文本消息（textual message） ：指字符序列。为了进行数字传输，文 本消息应该是一组数字流，或者有限符号集或字母表中的符号。 c) 字符（character） ：指某个字母表或符号集中得一个。 d) 二进制数字（binary digit） ：所有数字系统的基本信息单元。 e) 比特流（bit stream） ：指二进制数据流。 f) 码元（symbol） （数字消息） ：一个码元由 K 比特组成，该 K 比特就 是一个单元， 可用于表示来自有限码元集或字母表中得消息码元 mi 。 g) 数字波形（digital waveform） ：指用于表示数字符号的电压或电流波 形。 h) 数据速率 （data rate） ： 此数值的单位是比特每秒 （bit per second, b/s） ， 由 R K / T (1 / T ) log2 M b/s 给出， 其中的 K 比特确定了 M 2 K 符 号集中的一个符号，T 是 K 比特符号的持续时间。 3) 数字通信与模拟通信的性能比较 模拟通信系统与数字通信系统的一个主要区别是性能评估的方法不同。 模拟系统的波形是连续的，因而有无穷多个，这说明接收机必须处理无 穷多个波形。 衡量模拟通信系统的性能的指标是保真度标准， 如性噪比、 百分比失真等。 与模拟通信系统不同，数字通信系统发送的是代表数字的信号，这些数 字组成一个有限集或字符表，且对于接收机而言是先验而知的。衡量数 字通信系统的一个性能参数是错误判决的概率或者差错概率（ PE ） 。 2. 信号分类 1) 确定信号和随机信号 a) 确定信号：若信号是确定的（deterministic） ，表明其在任何时间的值 都是确定已知的。可以用明确的数学表达式来建模。
1 ������
exp⁡ [− 2 ( 2������
1 ������−������ 2 ) ]。其中，������ 2 是 ������