模式识别理论与方法
课程作业实验报告
实验名称：Maximum-Likelihood Parameter Estimation 实验编号：Proj03-01 姓 名：
学 号：规定提交日期：2012年3月27日 实际提交日期：2012年3月27日
摘 要：
参数估计问题是统计学中的经典问题，其中最常用的一种方法是最大似然估计法，最大似然估计是把待估计的参数看作是确定性的量，只是其取值未知。

最佳估计就是使得产生已观测到的样本的概率为最大的那个值。

本实验研究的训练样本服从多元正态分布，比较了单变量和多维变量的最大似然估计情况，对样本的均值、方差、协方差做了最大似然估计。

实验结果对不同方式计算出的估计值做了比较分析，得出结论：对均值的最大似然估计
就是对全体样本取平均；协方差的最大似然估计则是N 个)'ˆx )(ˆx (u u
k k --矩阵的算术平均，对方差2
σ的最大似然估计是有偏估计。

一、 技术论述
（1）高斯情况：∑和u 均未知
实际应用中，多元正态分布更典型的情况是：均值u 和协方差矩阵∑都未知。

这样，参数向量θ就由这两个成分组成。

先考虑单变量的情况，其中参数向量θ的组成成分是：221,σθθ==u 。

这样，对于单个训练样本的对数似然函数为：
2
12
2
)(212ln 21)(ln θθπθ
θ--
-
=k k x x p （1）
对上式关于变量θ对导：
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+--=∇=∇2
2
2
12
12
2)(21
)(1
)(ln θθθθθθθθk k k x x x p l （2） 运用式l θ∇=0，我们得到对于全体样本的对数似然函数的极值条件
0)ˆ(ˆ1
n
112=-∑=k k x θθ
（3）
0ˆ)
(ˆ11
2
2
2
112
=-+
-∑
∑==n
k k n k x θθθ
（4）
其中1ˆθ，2ˆθ分别是对于1θ，2θ的最大似然估计。

把1ˆθ，2ˆθ用u
ˆ，2ˆσ代替，并进行简单的整理，我们得到下述的对于均值和方差的最大似然估计结果
∑==n
k k
x n
u
1
1
ˆ （5）
2
1
2
)ˆ(1
ˆ∑=-=
n
k k
u
x n
σ
（6）
当高斯函数为多元时，最大似然估计的过程也是非常类似的。

对于多元高斯分布的均值u 和协方差矩阵∑的最大似然估计结果为：
∑=1
1
ˆn
k
x n
u
（7）
t k n
k k
u x u
x
)ˆ()ˆ(n
1
ˆ1
--=∑
∑= （8） 二、 实验结果
（a ）类w1中的3个特征向量，各含10个样本
w1_x1=[0.42 -0.2 1.3 0.39 -1.6 -0.029 -0.23 0.27 -1.9 0.87]'; w1_x2=[-0.087 -3.3 -0.32 0.71 -5.3 0.89 1.9 -0.3 0.76 -1.0]'; w1_x3=[0.58 -3.4 1.7 0.23 -0.15 -4.7 2.2 -0.87 -2.1 -2.6]'; 利用式子（5）、（6）对均值和方差进行最大似然估计，分别得到结果为： u1=-0.0709 s1=0.9062 u2=-0.6047 s2=4.2007
u3=-0.9110 s3=4.5419
将任意两个特征组合，处理二维数据的情形：
利用式子（7）、（8）对均值和协方差矩阵进行最大似然估计，分别得到结果为： u12 =-0.0709 -0.6047 E12 = 0.9062 0.5678 0.5678 4.2007
u13 = -0.0709 -0.9110 E13 =0.9062 0.3941 0.3941 4.5419
u23 =-0.6047 -0.9110 E23 =4.2007 0.7337 0.7337 4.5419
（b ）将W1类中三个特征组合，处理三维数据情形
利用式子（7）、（8）对均值和协方差矩阵进行最大似然估计，分别得到结果为： u123 =-0.0709 -0.6047 -0.9110 E123 =0.9062 0.5678 0.3941 0.5678 4.2007 0.7337 0.3941 0.7337 4.5419
（c ）假设W2类中三维高斯模型是可分离的，则各个特征之间是相互独立的，可以参照（a ）中对单个特征的最大似然估计的方法，可以得到：
u_c =-0.1126 0.4299 0.0037 e_c =0.0539 0 0 0 0.0460 0
0 0 0.0073
（d ）由于（c ）中是选用的w2类中的数据，所以不便与前3种方式的结果进行比较。

对于w1类的数据，可以看出同一个特征的均值在不同的方式下，似然估计是相等的。

从（5）和（7）两个式子中，可以找到原因，表明：对均值的最大似然估计就是对全体样本取平均。

（e ）与上同理，只对w1类数据的结果进行分析。

由结果可以看出，同一个特征的方差在不同的方式下，似然估计是相等的。

可以从（6）和（8）中找到原因。

当然，对方差的最大似然估计是有偏的估计，也就是说，对所有可能的大小为n 的样本集进行方差估计，其数学期望并不等于实际的方差。

因为：
ε2
2
1
21)(n
1σσ
≠-=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-∑=n n x x
n
i i
附录：实验程序
function [u s]=sd_mle(x)
%单维样本的最大似然估计
len=length(x');
u=sum(x)/len;
s=sum((x-u).^2)/len;
end
function [u e]=md_mle(x)
%多维样本的最大似然估计
%x为多维样本
[m n]=size(x);
u=sum(x)/m;
temp=zeros(n,n);
for i=1:m
s=(x(i,:)-u)'*(x(i,:)-u);
temp=s+temp;
end
e=temp/m;
end
% proj03_01
clc,clear
w1_x1=[0.42 -0.2 1.3 0.39 -1.6 -0.029 -0.23 0.27 -1.9 0.87]';
w1_x2=[-0.087 -3.3 -0.32 0.71 -5.3 0.89 1.9 -0.3 0.76 -1.0]';
w1_x3=[0.58 -3.4 1.7 0.23 -0.15 -4.7 2.2 -0.87 -2.1 -2.6]';
w2_x1=[-0.4 -0.31 0.38 -0.15 -0.35 0.17 -0.011 -0.27 -0.065 -0.12]';
w2_x2=[0.58 0.27 0.055 0.53 0.47 0.69 0.55 0.61 0.49 0.054]';
w2_x3=[0.089 -0.04 -0.035 0.011 0.034 0.1 -0.18 0.12 0.0012 -0.063]'; %--------问题a---------
%类别w1中特征1的最大似然估计
[u1 s1]=sd_mle(w1_x1)
%类别w1中特征2的最大似然估计
[u2 s2]=sd_mle(w1_x2)
%类别w1中特征3的最大似然估计
[u3 s3]=sd_mle(w1_x3)
%类别w1中特征1、2的最大似然估计
x=[w1_x1,w1_x2];
[u12 e12]=md_mle(x)
%类别w1中特征1、3的最大似然估计
x=[w1_x1,w1_x3];
[u13 e13]=md_mle(x)
%类别w1中特征2、3的最大似然估计
x=[w1_x2,w1_x3];
[u23 e23]=md_mle(x)
%--------问题b---------
%类别w1中特征1、2、3的最大似然估计x=[w1_x1,w1_x2,w1_x3];
[u123 e123]=md_mle(x)
%--------问题c---------
%求w2类中单个特征的均值、方差
[u1 s1]=sd_mle(w2_x1);
[u2 s2]=sd_mle(w2_x2);
[u3 s3]=sd_mle(w2_x3);
u_c=[u1,u2,u3]
e_c=[s1 0 0;0 s2 0;0 0 s3]。