d (ln
x),
1 c os2
x
dx

d
(tan
x),
1 sin 2
x
dx

d
(
c
ot
x),
1 1 x2
dx

d (arctanx)
1 dx d (arcsinx)等. 1 x2
第一换元法的一些规律：
10 若根号内是二次三项式，则先配方，然后凑微分。
(1)b2 4ac 0,配方后代公式
(1)当m、n中至少有一奇数时，
4 sinm x cosn xdx( 2) 当化m、成n幂都函为数偶( 折数开时凑，微用分倍）角 公式变形后再积分
第二换元法： (1) f (n ax b)dx,令n ax b t, (n为正整数）
(2) f ( a2 x2 )dx,令x a sin t, (3) f ( a2 x2 )dx,令x a tan x,
(4) f ( x2 a2 )dx,令x asect.(5) f (ex )dx,令ex t.
注意：求出不定积分的结果勿忘加任意常数 c.
第四章 不定积分
一、基本概念及理论
1.若F(x) f (x)(x I ), 则F (x)是f (x)在I上的一个原函数, f (x)的原函数一般表达式F (x) c称为f (x)的不定积分 f (x)dx F (x) c.
2.性质（微分与积分是互 逆运算） （1）[ f (x)dx] f (x)或d f (x)dx f (x)dx
2.分部积分法. udv易求得;(2) vdu比 udv容易积出.
1 e p(x)sin xdx, p(x) cosxdx和 p(x) ax型,令u p(x).
2 p(x) arcsinxdx, p(x) arccosxdx, p(x) arctanxdx型 :
(2) [ f (x)]dx f (x) c或 df (x) f (x) c
(3) [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
(4) kf (x)dx k f (x)dx(k 0为常数)
二、基本方法 求不定积分的思路：先试用凑微分法，再
20
形如
ax2
dx bx

c
(2)b2 4ac 0,分解为部分分式 (3)b2 4ac 0,凑微分
30形如 sin mxcosnxdx, sin mxsin nxdx, cosmxcosnxdx型
(1)当m n时，利用倍角公式； (2)当m n时，利用积化和差公式.
令u 反三角函数;
3 p(x) ln(ax b)dx型,令u ln(ax b)
3、要掌握简单的有理函数和无理函数的积分. 有理函数的积分要掌握把有理函数分解成部 分分式(最简分式)之和的方法.
４、常见的凑微分公式
1 dx 2d( x
x
),
1 x2
dx

d (
1 )， 1 dx xx
试用分部积分法；如果前二种方法都行不通， 且含有根式，则考虑变量替换，消去根式后再 积分；如果是有理式，则要化为部分分式后再 积分。
1.换元法
（ 1）凑微分法 f [(x)](x)dx f [(x)]d(x) f [(x)] c (2)第二换元法(消去根式） f (x)dx x (t) f [(t)](t)dt G(t) c t 1(x) G[ 1(x)] c