等边三角形（一）活动1：回顾：什么是等边三角形？它与以前学过的等腰三角形有何关系？三条边都相等的三角形叫做等边三角形，它是一种特殊的等腰三角形。

活动2：复习等腰三角形的性质，探究等边三角形的性质完成表格，得出性质：活动3：1、复习等腰三角形常用的判定方法（1）两条边相等的三角形是等腰三角形。

（2）等角对等边。

2一般三角形等边三角形等腰三角形小结等边三角形常用的判定方法：边：三边相等的三角形是等边三角形角：三角相等的三角形是等边三角形边角：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形活动4：例题：如图，△ABC是等边三角形，若点D、E分别在AB、AC上，当点D、E满足什么条件时，△ADE是等边三角形？请说明理由。

延伸：（1）当DE∥BC时，若点D、E分别在AB、AC的延长线上，结论依然成立吗？（2）当DE∥BC时，若点D、E分别在AB、AC的反向延长线上，结论依然成立吗？活动5：问题：等边三角形的三条中线一定交于一点吗？探究：等边三角形三条中线相交于一点，画出图形，找出图中所有的全等三角形，并证明它们全等。

A等边三角形（二）一、猜测：问题：在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边与斜边数量上有怎样的关系?二、探究：如图，将两个含有30°角的三角板放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABD的直角边BD与斜边AB之间的数量关系吗？理由如下：∵△ABD 与△ADC 关于AD 轴对称 ∴AB ＝AC△ABC 是等边三角形又∵AD ⊥BC ∴BD ＝DC ＝1/2AB总结：在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半.几何语言：在Rt △ABC 中（ ∠C ＝90°)∵∠A ＝30°∴AC ＝2BC (BC=1/2AC)三，练一练（1）在Rt △ABC 中， 如果 ∠B ＣＡ＝ ９0° ， ∠A ＝ 30 ° AB=4，求BC 之长。

（2）在Rt △ABC 中， 如果 ∠B ＣＡ＝ ９0° ， ∠B ＝ 60 ° AB=4，求BC 之长。

（3）在Rt △ABC 中， 如果 ∠B ＣＡ＝ ９0° ， ∠B ＝ 60 ° BC=4，求AB 之长。

(4).在Rt △ABC 中， ∠B ＣA ＝ ９0°，∠B ＝ 2 ∠Ａ，问∠B 、∠A 各是多少度？ AB=4,求BC 的长。

四．例题下图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC 、DE 垂直于横梁AC ，AB=7.4m ，∠A=30°，立柱BD 、DE 要多长？分析：观察图形可以发现在Rt △AED 与Rt △ACB 中，由于∠A=30°，所以DE=12AD ，BC=12AB ，又由D 是AB 的中点，所以DE=14AB ． 解：因为DE ⊥AC ，BC ⊥AC ，∠A=30°，由定理知BC=12AB ，DE=12AD ， 所以BD=12×7.4=3.7（m ）．又AD=12AB ，所以DE=12AD=12×3.7=1.85（m ）．答：立柱BC 的长是3.7m ，DE 的长是1.85m ．五．练习：1、三角形三内角度数比为1：2：3，它的最大边长是4cm ，则最小边长为2、等腰三角形的顶角为60°，底边长为8cm ，则腰长为3、等腰三角形顶角为30°，腰长是4cm ，则三角形面积是4、等腰三角形的底角为15°，腰长为2cm ，则腰上的高为 。

(1)D CABC ABD CAEB5、△ABC 中, ∠ACB=90°, ∠B=60°,BC=3cm,则 AB= . 课堂检测：已知△ABC 中，AB=AC ，∠C=30°，AB ⊥AD ，AD=2cm ，求BC 的长。

等边三角形（三）1．等边三角形的性质：三边相等；三角都是60°；三边上的中线、高、角平分线相等 2．等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形； 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半注意：推论1是判定一个三角形为等边三角形的一个重要方法.推论2说明在等腰三角形中，只要有一个角是600，不论这个角是顶角还是底角，就可以判定这个三角形是等边三角形。

推论3反映的是直角三角形中边与角之间的关系.补充：已知如图所示, 在△ABC 中, BD 是AC 边上的中线, DB ⊥BC 于B, ∠ABC=120o , 求证: AB=2BC证明: 过A 作AE ∥BC 交BD 的延长线于E ∵DB ⊥BC(已知)∴∠AED=90o (两直线平行内错角相等) 在△ADE 和△CDB 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠)()()(已知对顶角相等已证CD AD BDC ADE CBD E ∴△ADE ≌△CDB(AAS)∴AE=CB(全等三角形的对应边相等) ∵∠ABC=120o ,DB ⊥BC(已知) ∴∠ABD=30o在Rt △ABE 中,∠ABD=30o ∴AE=21AB(在直角三角形中,如果一个锐角等于30o , 那么它所对的直角边等于斜边的一半) ∴BC=21AB 即AB=2BC 点评 本题还可过C 作CE ∥ABBA等腰三角形与等边三角形复习一、知识回顾1、等腰三角形：有两条边相等的三角形是等腰三角形。

2、等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

3、等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形。

4、等边三角形的性质等边三角形的三个内角都相等，•并且每一个内角都等于60°二、典型例题例1：（2010•江津区）如图，△ABC中，已知AB=AC=x，BC=6，则腰长x的取值范围是（）A．0＜x＜3 B．x＞3 C．3＜x＜6 D．x＞6分析：根据三角形的三边关系定理来确定腰长x的取值范围．解答：若△ABC是等腰三角形，需满足的条件是：6-x＜x＜6+x，解得x＞3；故选B．例2：有两边相等的三角形的两边长为3cm，7cm，则它的周长为（）A．15cm B．17cm C．13cm D．17cm或13cm分析：分情况考虑：相等的两边是3cm时或相等的两边是7cm时．根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，判断能否组成三角形后，再进一步计算其周长．解答：当相等的两边是3cm时，此时3+3＜7，不能组成三角形，应舍去；当相等的两边是7cm时，此时能够组成三角形，则其周长是7+7+3=17（cm）．故选B．例3：（2010•宁波）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的角平分线，则图中等腰三角形共有（）A．5个B．6个 C．7个D．8个分析：由已知条件，根据等腰三角形的性质和判定，角的平分线的性质，三角形内角和等于180°得到各个角的度数，应用度数进行判断，答案可得．解答：设CE与BD的交点为点O，∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB，再根据三角形内角和定理知，∠ABC=∠ACB=（180°-36°）/2 =72°，∵BD是∠ABC的角的平分线，∴∠ABD=∠DBC=1/2 ∠ABC=36°=∠A，∴AD=BD，同理，∠A=∠ACE=∠BCE=36°，AE=CE，∵∠DBC=36°，∠ACD=72°，根据三角形内角和定理知，∠BDC=180°-72°-36°=72°∴BD=BC，同理CE=BC，∵∠BOC=180°-36°-36°=108°，∴∠ODC=∠DOC=∠OEB=∠EOB=72°，∴△ABC，△ADB，△AEC，△BEO，△COD，△BCE，△BDC，△BOC都是等腰三角形，共8个．故选D．例4：已知：如图，△ABD和△ACE均为等边三角形，且∠DAB=∠CAE=60°，那么△ADC≌△AEB的根据是（）A．边边边 B．边角边 C．角边角 D．角角边分析：根据判定方法寻找条件判断．解答：∵△ABD和△ACE均为等边三角形，∴DA=BA，AC=AE，∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC．∴△ADC≌△AEB．（SAS）故选B．例5：如图，在△ABC中，D、E在BC上，且BD=DE=AD=AE=EC，则∠BAC的度数是（）A．30°B．45° C．120°D．15°分析：根据直角三角形的判定得△ABE是直角三角形，再根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理求解．解答：设∠B=x∵BD=AD则∠B=∠BAD=x，∠ADE=2x，∵AD=AE∴∠AED=∠ADE=2x，∵AE=EC，∠AED=∠EAC+∠C∴∠EAC=∠C=x又BD=DE=AD，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，知∠BAE=90°，则∠B+∠AED=x+2x=90°得x=30°∴∠BAC=180°-2x=120°故选C．例6：已知△ABC≌△DEF，若∠A=60°，∠F=90°，DE=6cm，则AC=（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm分析：由△ABC≌△DEF，∠F=90°，DE=6cm，根据全等三角形的性质，即可求得∠C=90°，AB=6cm，又由∠A=60°，根据三角形内角和定理，即可求得∠B=30°，然后根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得AC的长．解答：∵△ABC≌△DEF，∠F=90°，DE=6cm，∴∠C=∠F=90°，AB=DE=6cm，∵∠A=60°，∴∠B=30°，∴AC=1/2 AB=3cm．故选A．例7：如图，已知EA⊥AB，BC∥EA，EA=AB=2BC，D为AB的中点，那么下列式子不能成立的是（）A．DE=AC B．DE⊥AC C．∠CAB=30°D．∠EAF=∠ADF分析：已知EA=AB=2BC，且D是AB中点，那么AD=BC，进而可证得△AED、△BAC全等，可根据这个条件进行判断．解答：∵EA=AB=2BC，AB=2AD，∴AD=BC；又∵EA⊥AB，BC∥EA，即∠EAD=∠B=90°，∴Rt△EAD≌Rt△ABC，∴DE=AC；又∠EAF、∠ADF同为∠FAD的余角，∴∠EAF=∠ADE；故A、B、D的结论都正确；Rt△CAB中，AB=2BC，显然sin∠CAB≠1/2 ，所以∠CAB≠30°，因此C的结论是错误的；等腰以及等边三角形练习题一.填空题第1题第3题第4题第7题第8题1. 已知如图，A、D、C在一条直线上AB＝BD＝CD, ∠C＝40°,则∠ABD＝__________________ED CABF2. 在等腰△ABC 中, AB ＝AC, AD ⊥BC 于D, 且AB ＋AC ＋BC ＝50cm, 而AB ＋BD ＋AD ＝40cm, 则AD ＝___________cm.3. 如图, ∠P ＝25°, 又PA ＝AB ＝BC ＝CD, 则∠DCM ＝_______度.4. 如图已知∠ACB ＝90°, BD ＝BC, AE ＝AC, 则∠DCE ＝__________度. 二.单选题5. 下列命题正确的是[ ]A.等腰三角形只有一条对称轴B.直线不是轴对称图形C.直角三角形都不是轴对称图形D.任何一角都是轴对称图形6. 等腰三角形一腰上的高与底所夹的角等于 ［ ］ A.顶角 B.顶角的21C.顶角的2倍 D 底角的217. 如图, 在△ABC 中, AB ＝AC, CD ⊥AB 于D, 则下列判断正确的是［ ］A.∠A ＝∠BB.∠A ＝∠ACDC.∠A ＝∠DCBD.∠A ＝2∠BCD 8. 如图已知: AB ＝AC ＝BD, 那么∠1与∠2之间的关系满足［ ］ A.∠1＝2∠2 B.2∠1＋∠2＝180° C.∠1＋3∠2＝180° D.3∠1－∠2＝180° 三.证明题9. 已知：如图,BE 和CF 是△ABC 的高线,BE=CF,H 是CF 、BE 的交点．求证：HB=HC10. 如图,△ABC 中,D 在BC 延长线上,且AC=CD,CE 是△ACD 的中线,CF 平分∠ACB,交AB 于F,求证:(1)CE ⊥CF;(2)CF ∥AD.11.如图：Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A=22.5°,DC=BC, DE ⊥AB ．求证：AE=BE ．12.下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形； ③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ） A ．①②③ B ．①②④ C ．①③ D ．①②③④13.如图，D 、E 、F 分别是等边△ABC 各边上的点，且AD=BE=CF ，则△DEF•的形状是（ ） A ．等边三角形 B ．腰和底边不相等的等腰三角形21EDCA BD CAE DCAHFC ．直角三角形D ．不等边三角形14.Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，∠B=30°，AD=2cm ，则AB 的长度是（ ） A ．2cm B ．4cm C ．8cm D ．16cm15.如图，E 是等边△ABC 中AC 边上的点，∠1=∠2，BE=CD ，则对△ADE 的形状最准备的判断是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．不等边三角形D ．不能确定形状 三、解答题16.已知D 、E 分别是等边△ABC 中AB 、AC 上的点，且AE=BD ，求BE 与CD 的夹角是多少度？17.如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD ⊥AC 交BC•于点D ，求证：BC=3AD.18.如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE•都是等边三角形．BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H ， ①求证：△BCE ≌△ACD ； ②求证：CF=CH ；③判断△CFH 的形状并说明理由．。