胡运权排队论习题解某修理店只有一个修理工人，来修理的顾客到达次数服从普阿松分布，平均每小时3人，修 理时间服从负指数分布，平均需10分钟，求(1) 修理店空闲时间概率； (2) 店内有4个顾客的概率； (3) 店内至少有一个顾客的概率 ； (4) 在店内顾客平均数； (5) 等待服务的顾客平均数； (6) 在店内平均逗留时间； (7) 平均等待修理(服务)时间；(8) 必须在店内消耗15分钟以上的概率.(1)P o(3)1 P o1(人 )；1 1(小时)； 31 1答:(1修理店空闲时间概率为-;(2)店内有三个顾客的概率为 —;(3)店内至少1 1有一个顾客的概率为寸;(4)店内顾客平均数为1人;(5)等待服务顾客平均数为1 2人; (6)在店内平均逗留时间1分钟;(7)平均等待修理时间为丄分钟;(8)必须在店内 3 615消耗15分钟以上的概率为e 20.1丄(小时)； 6解：该系统为(M/M/1// )模型, 3,60 6. 10⑵P 4(1(1扯4 1； ；⑷L s(5)L q231(人)； (8)1-F( )e -(-)e^ 60 e -25903600 3894.794.7 0.9510.2设有一单人打字室，顾客的到达为普阿松流，平均到达时间间隔为 打字时间服从指数分布，平均时间为 15分钟，求(1) 顾客来打字不必等待的概率； (2) 打字室内顾客的平均数； (3) 顾客在打字室内平均逗留时间； (4) 若顾客在打字室内的平均逗留时间超过1.25小时，则主人将考虑增加设备及打字员，问顾客的平均到达概率为多少时，主人才会考虑这样做？ 解：该题属M /M /1模型.（1）P 0 1 1 - 4 4（2）L s -33（人 ）； 4 3 ⑶W s-—1 1（小时）；4 3 ⑷Q W s11.25；1.25，323.2 3 0.2(人 /小时).41答：1)顾客来打字不必等待的概率为-;(2)打字室内顾客平均数为3人;(3)顾客在4 打字室内平均逗留时间为1小时;(4)平均到达率为0.2人/小时时，店主才会考 虑增加设备及打字员.汽车按平均90辆/h 的poission 流到达高速公路上的一个收费关卡，通过关卡的平均时间 为38s 。
由于驾驶人员反映等待时间太长，主管部门打算采用新装置，使汽车通过关卡的平 均时间减少到平均30s 。
但增加新装置只有在原系统中等待的汽车平均数超过5辆和新系统中关卡空闲时间不超过 10%时才是合算的。
根据这一要求，分析新装置是否合算。
解：该系统属于 M/M/1模型 旧装置各参数计算:90/h 20分钟,603(人/小时)， 20604（人/小时）. 15采用新装置各参数计算:90/hLq' L 3 0.75 2.25 P 0' 10.25分析：因为采用新装置后要求原系统中等待的汽车平均数超过5辆为合算，经计算原系统的Lq = >5满足这个条件。
但是还有一个条件是采用新装置后要求新系统中关卡空闲时间不超过10%，而经计算P 。
' 0.25即新系统的空闲率为 25%超出了要求，所以采用新装置是不 合算的。
某车间的工具仓库只有一个管理员，平均有 4人/h 来令工具，到达过程为 Poisson 流；领工具的时间服从负指数分布，平均为 6min 。
由于场地限制，仓库内领工具的人最多不能超过3人，求：(1 )仓库内没有人领工具的概率； (2) 仓库内领工具的工人的平均数； (3) 排队等待领工具的工人的平均数； (4) 工人在系统中的平均花费时间； (5) 工人平均排队时间。
解：该系统属于 M/M/1 /3 模型460 “10 64 2 10 50.95191 0.05 Lq L 19 0.95 18.05P 0 10.053600 30 120901200.75 L'-10.751 0.751 2 54(1)1 P0=12 1 (5— 0.6 )4P 3 3P 0(|)30.6 0.0382 5 ~25 40.5 (人)2 41(5)⑶Lq(1 P 0)0.5 (10.6) 0.1 (人)(1 P 3)4(1 0.038) 3.848 0.53.848 0.13 (小时)0.13 丄 10 0.03 (小时)答：（1）仓库内没有人领工具的概率为；（3 ）排队等待工具的工人的平均数为人； 工人平均排队时间为小时。
某车间的工具仓库只有一个管理员，平均有具的时间服从负指数分布，平均为 6min 3人， （1） （2） （3） （4）（5） （2 ）仓库内领工具的工人的平均数为人； （4） 工人在系统中的平均花费时间为小时； （5） 4人/h 来令工具，到达过程为 Poisson 流；领工 。
由于场地限制，仓库内领工具的人最多不能超过求： 仓库内没有人领工具的概率； 仓库内领工具的工人的平均数； 排队等待领工具的工人的平均数; 工人在系统中的平均花费时间； 工人平均排队时间。
解：该系统属于 M/M/1/3模型 104 210 523 (1 )0 =1 1 -554 60 61112⑵L5 2 ,(人)13 3 52 2 4⑶Lq L(人3 5 152⑷WL 3 1 4 6（小时）⑸W Lq 4 1 1 ,亠（小15 4 153 答：（1）仓库内没有人领工具的概率为 —；5 4 （3）排队等待工具的工人的平均数为—人;151（5）工人平均排队时间为小时。
1510. 6在第题中，若顾客平均到达率增加到每小时 6人，仍为普阿松流，服务时间不变,这时增加了一个工人。
(1)根据 /的值说明增加工人的原因;(2)(1) 出量, (3)求 L s ,L q ,W q ,W s ・6人/小时， 6人.「小时，因为c = 1, 系统没有空闲时间。
所以要增加工人。
（2）增加1个工人后，此系统变成 6- 0.5 6 1, M/M/ 2排队系统 1, ，意味着系统的流入量等于流P l1 n c2 cc P o P o P 1- c 1丄k!1 0.5P o1c! 1 3,2 1 0.51 3'2（2）仓库内领工具的工人的平均数为人；3 1（4）工人在系统中的平均花费时间为小时;6就两种到达率：=6; =15(分钟)已计算出相应的概率P n 如表10 — 9所示，试就这两种情况计算：(2 )系统中顾客的平均数； (3 )系统的满足率；(4)服务台应从那些方面改进工作理由是什么1 P oP1（3）P c1P221P0216,L q0.512卜cL q1 3L s4/36 L q = 1/3 cL sW s21 0.50.5 05229小时，1—小时。
6 18 =10 ,有一 M/M1⑸ 模型，平均服务率解当=6,=10时,有 P np50.04,— 0.6(4)服务台降低服务强度，原因是因为系统中没有顾客的概率比重较大 当 =15, =10 时， =1.5.— □C -(1 P N )(1 0.37) 0.945;10限，而致使有些顾客得不到服务而自动离开10-7 有M/M/1/5系统，平均服务率 尸10，就两种到达率 且6, /=15，已得到相应得概率 p n ,如表(2)系统中平均顾客数L sL qe7L qP 0 c 1、2[1r(Nc)(1 c ) cN 】(c 1)!(c P )1.525 1 5 10.05 —2[1 1.5 (5 1)(1 1.5) 1.5](1 1.5)1.6369;L sL—1— a1.63699.45 2.5819.10(1)有达到效率 服务台的服务强度e (1P 5) 6(1 0.04) 5.766 C—(1 P N ) (1100.6 0.960.576 0.04)(2)系统中平均顾客数L sL q2[1LqP0(c 1)!(c~~) 0.42 匹[1 0!(1 0.6)0.69620.65 1 (N c)(1(5 1)(1c)0.6) 0.65 1]L s L q — 0.69624.8 101.1762,⑶系统的满意率为P 50.04.(1)有效到达率e (1 P N )15 (1 0.37)9.45,服务台的服务强度为所示, 就两种到达率分析：(1) 有效到达率和系统的服务强度(2) 系统中顾客的平均数(3) 系统的满员率(4) 服务台应从哪些方面改进，理由是什么当?=6 时，(1=10, 尸"p=6/10= , K=5P o =顾客的损失率为p5=有效到达率为X e= X (1- p5) =6*=系统的服务强度为尸系统中的队长即顾客的平均数为L=(p/1-p-(K+1)p k 1/1- p k 1=* 66=系统的满员率为p5=当X=15 时，1=10, 尸"1=15/10= , K=5P o =顾客的损失率为p5=有效到达率为X e= X (1- p5) =6*=系统服务强度为p=系统中的队长即顾客的平均数为k 1 k 1L=(P1- p-(K+1)p /1-p =在到达率为15人的情况下，一个服务台是不够的，需要增加服务台数。
10.8 在第10.1题中，如服务时间服从正态分布，数学期望仍然为6分钟，方差2丄，求店内顾客数的期望值。
8811答店内顾客数的期望值为一5某人核对申请书时，必须依次检查 8张表格，每张表格的核对时间平均需要1min ，申请书的到达率为6份/h ，相继到达时间间隔为负指数分布；核对每张表格的时间服从负指数分布。
求：1) 办事员空闲的概率; 2) L ，L q ，W ，W q .解:因为核对申请书中的每一张表格的时间服从k 60的负指数分布，则依次检查8张表格，即一份申请书的时间服从爱尔朗分布，所以本题可以看成是一个6，E (旳=1/ 尸2/15,D(E k )=1心『)=1/45,存货被使用的时间服从参数为卩的负指数分布， 再补充之间的时间间隔服从参数为入的负指数分布。
如果库存不足时每单位时间每件存货的损失费用为 C 2, n 件存货在库时的单位时间存储费为 Gn ，这里C 2>G 。
=4人/小时，E(T)—(小时)1022Var[T] 4L s2(1 ) 10=亦，Var[T]242 (116 10111) 办事员空闲的概率为 P o1 0.2 2)L q2(1- (36/45)-0-643.62 0.2W qL q L qW q3.6 3.60.8 4.4 6一 O'610.6 2/15 0.73M/E k /1/旳 模型0.88 (1)求出每单位时间平均总费用C的表达式；(2) -的最优值是什么3 4 2 8 解（1此过程可以看成是M/M/1//此时泊松分布的均值为1.负指数分布的均值为丄，—.P 0 1L 1 10. 11 一个大型露天矿山，考虑修建一个或两个矿山卸位比较经济合理。