一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P 的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=x2﹣3x。

（2）点B的坐标为：（4，4）。

（3）存在；理由见解析；【解析】【分析】（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值，从而求得抛物线的解析式。

（2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了OA的长，根据△OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可。

（3）根据B点坐标可求出直线OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出P点的坐标．求△POB的面积时，求出OB，OP的长度即可求出△BOP的面积。

【详解】解：（1）∵函数的图象与x轴相交于O，∴0=k+1，∴k=﹣1。

∴这个二次函数的解析式为y=x2﹣3x。

（2）如图，过点B做BD⊥x轴于点D，令x 2﹣3x=0，解得：x=0或3。

∴AO=3。

∵△AOB 的面积等于6，∴12AO•BD=6。

∴BD=4。

∵点B 在函数y=x 2﹣3x 的图象上，∴4=x 2﹣3x ，解得：x=4或x=﹣1（舍去）。

又∵顶点坐标为：（ 1.5，﹣2.25），且2.25＜4，∴x 轴下方不存在B 点。

∴点B 的坐标为：（4，4）。

（3）存在。

∵点B 的坐标为：（4，4），∴∠BOD=45°，22BO 442=+=。

若∠POB=90°，则∠POD=45°。

设P 点坐标为（x ，x 2﹣3x ）。

∴2x x 3x =-。

若2x x 3x =-，解得x="4" 或x=0（舍去）。

此时不存在点P （与点B 重合）。

若()2x x 3x =--，解得x="2" 或x=0（舍去）。

当x=2时，x 2﹣3x=﹣2。

∴点P 的坐标为（2，﹣2）。

∴22OP 222=+=∵∠POB=90°，∴△POB 的面积为：12PO•BO=12×2×2=8。

2．已知，抛物线y ＝ax 2+ax+b （a≠0）与直线y ＝2x+m 有一个公共点M （1，0），且a ＜b ．（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．【答案】（1）b=﹣2a，顶点D的坐标为（﹣12，﹣94a）；（2）2732748aa--；（3）2≤t＜94．【解析】【分析】（1）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点D的坐标；（2）把点M（1，0）代入直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，可求得另一交点N的坐标，根据a＜b，判断a＜0，确定D、M、N的位置，画图1，根据面积和可得△DMN的面积即可；（3）先根据a的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联立方程组可求得当GH与抛物线只有一个公共点时，t的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t的值，可得：线段GH与抛物线有两个不同的公共点时t的取值范围．【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），∴a+a+b=0，即b=-2a，∴y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a（x+12）2-94a，∴抛物线顶点D的坐标为（-12，-94a）；（2）∵直线y=2x+m经过点M（1，0），∴0=2×1+m，解得m=-2，∴y=2x-2，则2222y x y ax ax a -⎧⎨+-⎩＝＝， 得ax 2+（a-2）x-2a+2=0，∴（x-1）（ax+2a-2）=0，解得x=1或x=2a -2， ∴N 点坐标为（2a-2，4a -6）， ∵a ＜b ，即a ＜-2a ，∴a ＜0， 如图1，设抛物线对称轴交直线于点E ，∵抛物线对称轴为122a x a =-=-， ∴E （-12，-3）， ∵M （1，0），N （2a-2，4a -6）， 设△DMN 的面积为S ， ∴S=S △DEN +S △DEM =12|（ 2a -2）-1|•|-94a -（-3）|=274−3a −278a ， （3）当a=-1时，抛物线的解析式为：y=-x 2-x+2=-（x+12）2+94， 由222y x x y x⎧=--+⎨=-⎩， -x 2-x+2=-2x ，解得：x 1=2，x 2=-1，∴G （-1，2），∵点G 、H 关于原点对称，∴H （1，-2），设直线GH 平移后的解析式为：y=-2x+t ，-x 2-x+2=-2x+t ，x 2-x-2+t=0，△=1-4（t-2）=0， t=94， 当点H 平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0），把（1，0）代入y=-2x+t ，t=2，∴当线段GH 与抛物线有两个不同的公共点，t 的取值范围是2≤t ＜94．【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面积等知识．在（1）中由M 的坐标得到b 与a 的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x 的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得GH 与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．3．如图所示，抛物线2y ax bx c =++的顶点为()2,4M --，与x 轴交于A 、B 两点，且()6,0A -，与y 轴交于点C ．()1求抛物线的函数解析式；()2求ABC 的面积；()3能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P ，使APC 的面积最大？若能，请求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．【答案】()1 2134y x x =+-；()212；()27334APC x S =-当时，有最大值，点P 的坐标是153,4P ⎛⎫--⎪⎝⎭． 【解析】【分析】 (1)设顶点式并代入已知点()6,0A -即可；(2)令y=0，求出A 、B 和C 点坐标，运用三角形面积公式计算即可；(3)假设存在这样的点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点F ，线段PF 的长度即为两函数值之差，将APC 的面积计算拆分为APF CPF SS +即可.【详解】 ()1设此函数的解析式为2()y a x h k =++，∵函数图象顶点为()2,4M --，∴2(2)4y a x =+-，又∵函数图象经过点()6,0A -，∴20(62)4a =-+- 解得14a =， ∴此函数的解析式为21(2)44y x =+-，即2134y x x =+-； ()2∵点C 是函数2134y x x =+-的图象与y 轴的交点， ∴点C 的坐标是()0,3-，又当0y =时，有21304y x x =+-=， 解得16x =-，22x =，∴点B 的坐标是()2,0， 则11831222ABC S AB OC =⋅=⨯⨯=；()3假设存在这样的点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点F ．设(),0E x ，则21,34P x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，设直线AC 的解析式为y kx b =+，∵直线AC 过点()6,0A -，()0,3C -， ∴603k b b-+=⎧⎨-=⎩， 解得123k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AC 的解析式为132y x =--， ∴点F 的坐标为1,32F x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 则221113332442PF x x x x x ⎛⎫=---+-=-- ⎪⎝⎭， ∴1122APC APF CPF S S S PF AE PF OE =+=⋅+⋅ 2221113393276(3)22424244PF OA x x x x x ⎛⎫=⋅=--⨯=--=-++ ⎪⎝⎭， ∴当3x =-时，APC S 有最大值274， 此时点P 的坐标是153,4P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题第3问中将所求三角形拆分为两个小三角形进行求解，从而将面积最大的问题转化为PF 最大进行理解.4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经 过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，），点M 是抛物线C 2：2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值．【答案】（1）A （，0）、B （3，0）．（2）存在．S △PBC 最大值为2716 （3）2m 2=-或1m =-时，△BDM 为直角三角形． 【解析】【分析】 （1）在2y mx 2mx 3m =--中令y=0，即可得到A 、B 两点的坐标．（2）先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式，由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值． （3）先表示出DM 2，BD 2，MB 2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m 的值．【详解】解：（1）令y=0，则2mx 2mx 3m 0--=，∵m ＜0，∴2x 2x 30--=，解得：1x 1=-，2x 3=．∴A （，0）、B （3，0）．（2）存在．理由如下：∵设抛物线C 1的表达式为()()y a x 1x 3=+-（a 0≠），把C （0，32-）代入可得，12a =． ∴Ｃ1的表达式为：()()1y x 1x 32=+-，即213y x x 22=--． 设P （p ，213p p 22--），∴ S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC =23327p 4216--+（）． ∵3a 4=-<0，∴当3p 2=时,S △PBC 最大值为2716． （3）由C 2可知： B （3，0），D （0，3m -），M （1，4m -），∴BD 2=29m 9+，BM 2=216m 4+，DM 2=2m 1+．∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：当∠BMD=90°时，BM 2+ DM 2= BD 2，即216m 4+＋2m 1+=29m 9+，解得：12m 2=-,22m 2=(舍去)． 当∠BDM=90°时，BD 2+ DM 2= BM 2，即29m 9+＋2m 1+=216m 4+，解得：1m 1=-，2m 1=(舍去) ．综上所述，2m =-或1m =-时，△BDM 为直角三角形．5．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y=﹣x+n 与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，抛物线y=ax 2+bx+3(a≠0)过C 、B 两点，交x 轴于另一点A ，连接AC ，且tan ∠CAO=3．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 是射线CB 上一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为H ，交抛物线于Q ，设P 点横坐标为t ，线段PQ 的长为d ，求出d 与t 之间的函数关系式，并写出相应的自变量t 的取值范围；(3)在(2)的条件下，当点P 在线段BC 上时，设PH=e ，已知d ，e 是以y 为未知数的一元二次方程：y 2－(m+3)y+14(5m 2－2m+13)="0" (m 为常数)的两个实数根，点M 在抛物线上，连接MQ 、MH 、PM ，且．MP 平分∠QMH ，求出t 值及点M 的坐标．【答案】(1) y=-x 2+2x+3；(2)223(03){3(3)d t t t d t t t =-+<<=->；（3）t=1，2，2)和(12，2).【解析】【分析】（1）当x=0时代入抛物线y=ax 2+bx+3（a≠0）就可以求出y=3而得出C 的坐标，就可以得出直线的解析式，就可以求出B 的坐标，在直角三角形AOC 中，由三角形函数值就可以求出OA 的值，得出A 的坐标，再由待定系数法建立二元一次方程组求出其解就可以得出结论；（2）分两种情况讨论，当点P 在线段CB 上时，和如图3点P 在射线BN 上时，就有P 点的坐标为（t ，-t+3），Q 点的坐标为（t ，-t 2+2t+3），就可以得出d 与t 之间的函数关系式而得出结论；（3）根据根的判别式就可以求出m 的值，就可以求出方程的解而求得PQ 和PH 的值，延长MP 至L ，使LP=MP ，连接LQ 、LH ，如图2，延长MP 至L ，使LP=MP ，连接LQ 、LH ，就可以得出四边形LQMH 是平行四边形，进而得出四边形LQMH 是菱形，由菱形的性质就可以求出结论．【详解】（1）当x=0，则y=-x+n=0+n=n ，y=ax 2+bx+3=3，∴OC=3=n ．当y=0，∴-x+3=0，x=3=OB ，∴B （3，0）．在△AOC 中，∠AOC ＝90°，tan ∠CAO=33OC OA OA==， ∴OA=1，∴A （-1，0）．将A （-1，0），B （3，0）代入y=ax2+bx+3，得 9330{30a b a b ++=-+=， 解得：1{2a b =-= ∴抛物线的解析式：y=-x 2+2x+3；(2) 如图1，∵P 点的横坐标为t 且PQ 垂直于x 轴 ∴P 点的坐标为(t ，－t+3)，Q 点的坐标为(t ，－t 2+2t+3).∴PQ=|(－t+3)－(－t 2+2t+3)|="|" t 2－3t |∴223(03){3(3)d t t t d t t t =-+<<=->； ∵d ，e 是y 2－(m+3)y+14(5m 2－2m+13)=0（m 为常数）的两个实数根， ∴△≥0，即△=(m+3)2－4×14(5m 2－2m+13)≥0 整理得：△= －4(m －1)2≥0，∵－4(m －1)2≤0，∴△=0，m=1，∴ PQ 与PH 是y 2－4y+4=0的两个实数根，解得y 1=y 2=2∴ PQ=PH=2，∴－t+3=2，∴t="1,"∴此时Q 是抛物线的顶点， 延长MP 至L ，使LP=MP ，连接LQ 、LH ，如图2，∵LP=MP ，PQ=PH ，∴四边形LQMH 是平行四边形，∴LH ∥QM ，∴∠1=∠3，∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴LH=MH ，∴平行四边形LQMH 是菱形，∴PM ⊥QH ，∴点M 的纵坐标与P 点纵坐标相同，都是2，∴在y=－x 2+2x+3令y=2，得x 2－2x －1=0，∴x 12，x 2=12综上：t 值为1，M 点坐标为2，2)和(12，2).6．已知抛物线2y ax bx c =++上有两点M (m +1，a )、N (m ，b ).(1)当a ＝－1，m ＝1时，求抛物线2y ax bx c =++的解析式；(2)用含a 、m 的代数式表示b 和c ；(3)当a ＜0时，抛物线2y ax bx c =++满足24b ac a -=，2b c a +≥，34m ≤-， 求a 的取值范围. 【答案】（1）11b c =⎧⎨=⎩；（2）b=-am ，c=-am ；（3）161393a -≤≤- 【解析】（1）根据题意得到M (2，－1)、N (1，b )，代入抛物线解析式即可求出b 、c ；（2）将点M (m +1，a )、N (m ，b )代入抛物线2y ax bx c =++，可得22(1)(1)a m b m c a am bm c b ⎧++++=⎨++=⎩，化简即可得出；（3）把b am =-，c am =-代入24b ac a -=可得214a m m=+，把b am =-，c am =-代入2b c a +≥可得1m ≥-，然后根据m 的取值范围可得a 的取值范围.【详解】解：(1)∵a ＝－1，m ＝1，∴M (2，－1)、N (1，b )由题意，得4211b c b c b -++=-⎧⎨-++=⎩，解，得11b c =⎧⎨=⎩ (2) ∵点M (m +1，a )、N (m ，b )在抛物线2y ax bx c =++上22(1)(1)a m b m c a am bm c b ⎧++++=⎨++=⎩①②①－②得，2am b b +=-，∴b am =-把b am =-代入②，得c am =- (3)把b am =-，c am =-代入24b ac a -=得2224a m a m a +=0a <，22141,4am am a m m∴+=∴=+ 把b am =-，c am =-代入2b c a +≥得22am a -≥，1m ∴≥- 34m ≤-，314m ∴-≤≤- 224(2)4m m m +=+-，当2m >-时，24m m +随m 的增大而增大2393416m m ∴-≤+≤- 216113943m m ∴-≤≤-+ 即161393a -≤≤- 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式以及二次函数的图像和性质，由函数图像上点的坐标特征求出b am =-，c am =-是解题关键.7．课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC ，它的边BC=120mm ，高AD=80mm ．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上．问加工成的正方形零件的边长是小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．【答案】（1）2407mm，4807mm；（2）PN=60mm，40PQ mm．【解析】【分析】(1)、设PQ=y（mm），则PN=2y（mm），AE=80-y（mm），根据平行得出△APN和△ABC 相似，根据线段的比值得出y的值，然后得出边长；(2)、根据第一题同样的方法得出y与x的函数关系式，然后求出S与x的函数关系式，根据二次函数的性质得出最大值.【详解】(1)、设PQ=y（mm），则PN=2y（mm），AE=80-y（mm）∵PN∥BC,∴=，△APN∽△ABC∴=∴=∴=解得 y=∴2y=∴这个矩形零件的两条边长分别为mm，mm(2)、设PQ=x（mm），PN=y（mm），矩形面积为S ，则AE=80-x（mm）．.由（1）知=∴=∴ y=则S=xy===∵∴ S有最大值∴当x=40时，S最大=2400（mm2）此时，y==60 ．∴面积达到这个最大值时矩形零件的两边PQ、PN长分别是40 mm ，60 mm．考点：三角形相似的应用8．某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x （元/件）之间满足一次函数关系．（1）试求y与x之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？【答案】（1）y10000x80000=-+（2）当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元【解析】解：（1）由题意，可设y=kx+b，把（5，30000），（6，20000）代入得：5k b300006k b20000+=⎧⎨+=⎩，解得：k10000b80000=-⎧⎨=⎩。