④计算中的性质 2： a 2 = a = ⎨； - a(a ≤ 0)⎪负无理数 （二分法） 实数⎨ （三分法） 实数⎨零⎪无理数 ⎪负实数⎧⎨负有理数⎧正无理数 ⎩负无理数 ⎪ ⎪⎩负无理数 练习：（1） ( x - 1) 2 = 9（2） （x + 1）3 = 2532017 春七年级数学实数培优一、实数：（一）【内容解析】（1）概念：平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数；要准确、深刻理解概念。
如平方根的概念：①文字概念：若一个数 x 的平方是 a ，那么 x 是 a 的平方根；②符号概念：若 x 2 = a ，那么 x = ± a ；③逆向理解：若 x 是 a 的平方根，那么 x 2 = a 。
（2）性质：①在平方根、算术平方根中，被开方数 a ≥0 ⇔ 式子有意义；②在算术平方根中，其结果 a 是非负数，即 a ≥0；③计算中的性质 1： ( a ) 2 = a （a ≥0）；⎧a(a ≥ 0) ⎩ ⑤在立方根中， 3 - a = -3 a （符号法则）⑥计算中的性质 3： (3 a ) 3 = a ； 3 a 3 = a（3）实数的分类：⎧ ⎧正有理数 ⎧ ⎧正有理数 ⎪ ⎪⎪正实数⎨ ⎪有理数⎨零 ⎪ ⎩正无理数⎪ ⎪ ⎩⎪ ⎪⎨⎩ ⎩（二）【典例分析】 1、利用概念解题：例 1. 已知：M = b -1 a + 8 是 a + 8 的算术数平方根，N = 2a -b +4 b - 3 是 b - 3 立方根，求 M + N 的平方根。
练习：1. 已知 x + 2 y = 3，4 x - 3 y = -2 ，求 x + y 的算术平方根与立方根。
2．若 2a ＋1 的平方根为±3，a －b ＋5 的平方根为±2，求 a+3b 的算术平方根。
例 2、解方程（x+1）2=36.152、利用性质解题：例1已知一个数的平方根是2a－1和a－11，求这个数．变式：①已知2a－1和a－11是一个数的平方根，则这个数是；②若2m－4与3m－1是同一个数两个平方根，则m为。
例2．若y=3-x＋x-3＋1，求（x＋y）x的值例3．x取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
⑴⑵⑶⑷例 1．比较 13 - 3 如：比较 3 -1 5例 4．已知 3 1 - 2 x 与 3 3 y - 2 互为相反数，求 1 + 2 x y的值.练习： 1.若一个正数 a 的两个平方根分别为 x + 1 和 x + 3 ，求 a 2005 的值。
2. 若（x －3）2＋ y - 1 =0，求 x ＋y 的平方根；3. 已知 y = 1 - 2 x + 4 x - 2 + 2, 求 x y 的值.4. 当 x 满足下列条件时，求 x 的范围。
①(2 - x) 2 =x －2② 3 - x = x - 3③ x =x5. 若 - 3 a = 3 78，则 a 的值是3、利用取值范围解题：例 1. 已知有理数 a 满足 2004 - a + a - 2005 = a ，求 a - 20042 的值。
3、利用估算比较大小、计算：估算法的基本是思路是设 a ，b 为任意两个正实数，先估算出 a ，b 两数或两数中某部分的取值范围，再 进行比较。
1与 的大小8 7说明：比较大小的常用方法还有： ①差值比较法：如：比较 1－ 2 与 1－ 3 的大小。
解 ∵（1－ 2 ）－（1－ 3 ）= 3 － 2 ＞0 ， ∴1－ 2 ＞1－ 3 。
②商值比较法（适用于两个正数）1与 的大小。
5 5 3 -1 13 -1 1 解：∵ ÷ = 3 -1＜1∴ ＜55 5③倒数法：倒数法的基本思路是：对任意两个正实数a ，b ，先分别求出 a 与 b 的倒数，再根据当 a ＜b 。
来比较 a 与 b 的大小。
（以后介绍）④取特值验证法：比较两个实数的大小，有时取特殊值会更简单。
1 1＞ 时， a b如：当 0<x <1 时， x 2 ， x ，12 ，则： x 2 = 4 ， x 4 ＜ 2 ＜2，∴ x 2 ＜ x ＜ 6 - 6)21；②3 Bx 的大小顺序是____________。
解：（特殊值法）取 x = 1 1 1 1 1 =2。
∵1x 。
例 2．若 3 + 5 的小数部分是 a ， 3 - 5 的小数部分是 b ，求 a+b 的值。
例 3.计算：①6 ( 1② 3- 2 + 3-2 - 2 -1练习：1.估计 10＋1 的值是（）（A ）在 2 和 3 之间 （B ）在 3 和 4 之间 （C ）在 4 和 5 之间（D ）在 5 和 6 之间2．比较大小：①5 -1 12 2.1（填“>”、“<”）4、利用数形结合解题：例 1 实数 a 、b 在数轴上的位置如图所示，那么化简|a +b |+ (b - a) 2 的结果是（）A 、2bB 、2aC 、－2aD 、－2b a 0 b例 2 如图，数轴上表示 1、 2 的对应点为 A 、 ，点 B 关于点 A 的对称点为 C ，则点 C 所表示的数是（）A 、 2 －1B 、1－ 2C 、2－ 2D 、 2 －2CA B12（三）【常见错误诊断】1、混淆平方根和算术平方根：①由-3 是 9 的平方根得： 9 =-3。
②由 81 的平方根是±9 得 81 =±9③ - 5 是 5 的平方根的相反数 2、混淆文字表示和符号表示：① 16 的算术平方根是 4； ② 64 的立方根是 4 3、概念理解不透彻：（1）平方根、算术平方根的概念不清：① 6 是 6 的平方根；②6 的平方根是 6 ；③ 6 与 - 6 互为相反数；④a 的算术平方根是 a （2）无理数的概念不清：4x-2有意义，则x的取值范围是x≥2222①开方开不尽的数是无理数；②无理数就是开方开不尽的数；③无理数是无限小数；④无限小数是无理数；⑤无理数包括正无理数、零、负无理数；⑦两个无理数的和还是无理数；⑧两个无理数的积还是无理数；填空：在-1.414，2，π，3.1&，2+3，3.212212221…，个数有个；4、计算错误：2273，，0.303003.这些数中，无理数的2①(-13)2=-13；②125511119=1③+=+=1441216254520④若x2=16，则x=16=4.5、确定取值范围错误（漏解或考虑不全面）①若代数式x-1x-2有意义，则x的取值范围是x>1且x≠2②若代数式x-16、公式用错：①（-6）=-6；②（3.14-∏）=3.14-π；②若c满足（c+3）=-(c+3)，则c=-3（四）【巩固练习】1．.364的平方根（）A.±8B.8C.±2D.22．如果y=0.25，那么y的值是（）A.0.0625B.—0.5C.0.5D.±0.53．下列说法中正确的是（）A.81的平方根是±3B.1的立方根是±1C.1=±1D.-5是5的平方根的相反数4．若a2=-a，则实数a在数轴上的对应点一定在（）A．原点左侧B．原点右侧C．原点或原点左侧D．原点或原点右侧5．若a=3.136，则a100=（）A、0.03136B、0.3136C、±0.03136D、±0.31366．数a、b在数轴上的位置如图，那么化简b-a-a2的结果是（）A．2a-b B．bC．-b D．-2a+b7．下列说法正确的是（）b0a10. 在 ，3.1415926， 7 ， 3 2 ， - 36 ， 0.1&这 6 个数中，无理数有（ ）a + 114．由下列等式：3 2 2= 43 ① -14 + 3 - ⨯ (- )2 - | 2 - 5 | ② 6 - 2 + 2 - 1 - 3 - 6A. 0.25 是 0.5 的一个平方根 B .正数有两个平方根，且这两个平方根之和等于 0 C . 7 2 的平方根是 7D. 负数有一个平方根8．若 (a - 3) 2 = a -3，则 a 的取值范围是().A. a ＞3B. a ≥3C. a ＜3D. a ≤39．若 a 、b 为实数，且满足│a －2│+ - b 2 =0，则 b －a 的值为（） A ．2 B ．0 C ．－2 D ．以上都不对227 A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 11．若一个数的立方根等于它的算术平方根，则这个数是 。
12．若 2b +1 5 和 3 a - 1 都是 5 的立方根，则 3 4a + 3b =.13 ．观察下列各式：1 + 1 1 1 1 1 1= 2 , 2 + = 3 , 3 + = 4 ，……，根据你发现的规律，若式子3 34 45 51 = 8 （a 、b 为正整数）符合以上规律，则 a + b ＝.b b2 3 3 4 4= 23 ， 3 3 = 33 ， 3 4 ……所揭示的规律，可得出一般的结论是7 7 26 26 63 63（用字母 n 表示，n 是正整数且 n >1）。
15．比较下列实数的大小：① 140 12 ②5 - 120.5；16．一个正方形的面积变为原来的m 倍，则边长变为原来的倍；一个立方体的体积变为原来的n 倍，则棱长变为原来的 倍。
17．计算：27 4 64 318．已知一个 2a-1 的立方根是 3，3a +b +5 的平方根是±7，c 是 13 的整数部分，求 a + 2b - c 2的平方根。
19．已知 a 、 b 满足 2a + 8 + b - 3 = 0 ，解关于 x 的方程 (a + 2)x + b 2 = a - 120．若 a = 5 ， b 2 = 7 ， a - b = b - a ，求 a+b 的值221. 设 2+ 6 的整数部分和小数部分分别是 x 、y ，求（x-1）2+( y - 6 +8)2 的平方根。
22．已知点 A 、B 在数轴上对应的数分别是 a 、b ，且 a 、b 满足 b = a - 1 - 2 2 - 2a + 5 ，点 C 是数轴上不同于 A 、B 的一动点，其对应的数为 c 。
（1）若 C 运动到使 AB=BC 时，求点 C 所对应的数；AB（2）若 c 满足 （c + 3）= -(c + 3) ，试化简： c 2 + (a - c) 2 - (b + c) 2 + 3 c 3（3）当 C 运动某一位置时，实数 c 满足 3 - c + c - 5 = c ，试求线段 BC 的长.。