垂直单U 型埋管内流体至井壁总热阻 在忽略轴向导热的条件下，如图3.14所示：
图3.14 垂直单U 管井水平截面图
如果U 型管的两根支管单位长度的热流分别为q 1与q 2，两支管内流体温度分别为T f 1与T f 2，根据线性叠加原理，所讨论的稳态温度场应该是这两个热流作用产生的过余温度场的叠加。

如果取钻孔壁的平均温度T b 为过余温度的零点，则有
111122f b T T R q R q -=+ 212122
f b T T R q R q -=+
其中：R 1和R 2分别为两支管内流体至井壁间的热阻，而R 12是两根管子之间的热阻。

对于实际工程，钻孔中的U 型埋管在结构上通常可以假设是对称的，因此有R 1=R 2，又由于没有考虑两支管内流体沿深度方向的变化，无法分析T f 1和T f 2及q 1和q 2的区别，因此只能作进一步的简化假设：T f 1=T f 2= T f ，q 1=q 2=q l /2，以减少未知量的个数，其中T f 为埋管内流体的平均温度，q l 为单位长度U 型埋管总的传热量。

根据文献[6]推导公式得：
21222212221ln ln 21ln ln 21
1
ln 2b b s
b p b o b s b b b s b b b s b o
p p i i d d R R R d d D d d R D d D d
R d d h
λλπλλλλλπλλλπλπ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-==+⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫-⎛⎫=+⋅⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫=
⋅+
⎪⎝⎭
则埋管内流体至井壁总热阻为：
444
0.80.4
1111ln ln ln ln 2220.023Re Pr Re b b b s
b o b b o b s b p i i fluid
i
i
d d d d R d D d D d d h Nu h d Nu v d λλπλλλπλπλν
⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎪⎪⎛⎫=++⋅+⋅+⎨
⎬⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭
⋅=
=⋅=
公式适用于埋管内流体处于紊流状态，即Re>2200，其中：
s λ——土壤导热系数，W/(m ·℃)；
b λ——回填土导热系数，W/(m ·℃)； p
λ——埋管导热系数，W/(m ·℃)； fluid
λ——埋管内水导热系数，W/(m ·℃)；
b
R ——钻孔内热阻，(m ·℃)/W ；
o d 、o r
——埋管的外直、半径，m ；
i
d 、i r
——埋管的内直、半径，m ； b
d 、b r
——钻井的直、半径，m ；
D ——埋管管间距，m ；
h ——埋管内水的对流换热系数，W/(m 2·℃)； Nu ——努塞尔数； Re ——雷诺数；
Pr ——普朗特数，其值为/fluid fluid να；
v ——埋管内水流速（分子），m/s ；
ν——水的运动粘性系数（分母），m 2/s ； （3）垂直双U 型埋管内流体至井壁总热阻
传热分析同垂直单U ，取钻孔孔壁的平均温度为过余温度的零点[6]，则有
111122133144
f b T T R q R q R q R q -=+++
221122233244f b T T R q R q R q R q -=+++ 331132233344f b T T R q R q R q R q -=+++ 441142243344
f b T T R q R q R q R q -=+++
假定U 型管的四根支管在钻孔中是对称布置的，因此有Rij = Rji ，R1 = R2 = R3 = R4，
1234f f f f f
T T T T T ====，并有R14= R12则
212442221222213221ln ln 21ln ln 21ln 22b b s
b p b o b s b b b s b b b s b b s b b b s b d d R R R R R d d D d d R D d D d R d D λλπλλλλλπλλλλλπλλλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-====+⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫-⎛⎫=+⋅⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫-=+⋅⎢⎥ ⎪+-⎝⎭⎣⎦
则埋管内流体至井壁总热阻为：
222222
222ln ln 11112ln 2ln ln 422ln 2b b s b o b s b b b s b o b b b s b p i i b s b b s b d d d d D d d d R D d D d d h d d D λλλλλλπλλλπλπλλλλ⎧
⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫
-+⋅⎪⎪⎢⎥ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎢⎥
⎪⎪⎢⎥⎛⎫⎛⎫-⎪⎪⎛⎫⎢⎥=++⋅+⋅+⎨
⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎛⎫-⎢⎥⎪⎪++⋅ ⎪⎢⎥⎪⎪+-⎝⎭⎣⎦⎩⎭
0.80.4
0.023Re Pr Re fluid i
i
Nu h d Nu v d λν
⋅=
=⋅=
其中双U 管间距D 为靠近的两支管间的距离。

a=λ/ρc其中a就是热扩散；λ是导热系数，通过计算得知；ρc是容积比热容，要通过测量化验得知
把线源模型下计算导热系数的参数同样输入到柱源模型下，就可以计算出热阻。