）
在△ ACD中，∠ 1=30°，∠ ACB=85°
∴∠ EDP=180°- ∠1- ∠ACB
=180°- 30°- 85°
=65°
（ __________________________）_
∵PE⊥ AD
（ __________________________）_
∴∠ EPD=90°
（ __________________________）_
证自明的“基本事实” ，可以当做已知的大前提来进行使用．而其中的三条，
是我们在几何证明中不经意间多次用到的，下面对它们来进行简单的解释．
当我们证明时，会遇到如下的推理：
∵a=b，b=c
∴a=c
在这个推理过程中，我们很容易就理解它的正确性，但往往不知道它的依据
是什么．其实，它的依据就是欧几里得公理体系中 5 条公理中的第一条：“（1）
∴∠ A+∠ C=90°（等量代换）
这里推理的依据就是第一条公理， 我们把它简记为 “等量代换”．“等量代换”
第5页 共7页
A
D
B
C
第3页 共7页
6. 已知：如图， AB∥CD，∠ BAE=∠DCE=45°． 求证：∠ E=90°．
A
B
1 E
Байду номын сангаас
2
C
D
7. 已知：如图， EF⊥BC， DE⊥AB，∠ B=∠ADE． 求证： AD∥EF． A
E
B
F
D
C
第4页 共7页
思考小结
1. 在证明过程中： （1）由平行可以想 ________相等、 __________相等、 ________互补；
=180°- 30°- 85°
=65°
（三角形的内角和等于 180°）
∵PE⊥ AD
（已知）
∴∠ EPD=90°
（垂直的定义）
∴ E EDP 90 （直角三角形两锐角互余）
∴ E 90 EDP
90 65
25
（等式的性质）
巩固练习
1. 在△ ABC中， ∠ A: ∠B : ∠C 1: 2: 3 ， 则 ∠A ___， ∠ B ___．
∴ E EDP 90 （ __________________________）_
∴ E 90 EDP
90 65
25
（等式的性质）
①读题标注
第1页 共7页
A
30°1 30°
P F
85° ？
B
D
C
E
②梳理思路
要求∠ E 的度数，可以将∠ E 放在 Rt△ PDE中，利用直角三角形两锐角互余
求解，由 PE⊥AD，则∠ EPD=90°，所以需要求出∠ ADC的度数．结合已知条
A
1
P F
B 解：如图，
D
C
E
∵AD 平分∠ BAC
（ __________________________）_
∴ 1 1 BAC 2
（ __________________________）_
∵∠ BAC=60°
（ __________________________）_
∴∠ 1=30°
（
等式的性质
件，把∠ ADC放在△ ADC中利用三角形的内角和等于 180°求解．
③过程书写
解：如图，
∵AD 平分∠ BAC （已知）
∴ 1 1 BAC 2
（角平分线的定义）
∵∠ BAC=60°
（已知）
∴∠ 1=30°
（等式的性质）
在△ ACD中，∠ 1=30°，∠ ACB=85°
∴∠ EDP=180°- ∠1- ∠ACB
（2）要证平行，找 _______角、 _______角、 _______角；
（3）要求一个角的 度数， 如果看成三 角形的 内角 ，可以 考虑
_________________________．_
2. 阅读材料
等量代换与等式的性质
在欧几里得公理体系中提到过 5 条公理． 这 5 条公理是我们公认为正确的不
平行线与三角形内角和的综合应用（习题）
例题示范
例 1：如图，在△ ABC中， AD 平分∠ BAC，P 为线段 AD 上 一 点 ， P E ⊥ A D 交 B C 的 延 长 线 于 点 E ． 若 ∠ B A C = 6 0 °， ∠ACB=85°，则∠ E 的度数为 _____________．
跟同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的． ”这句话比较的生涩
难懂，我们不妨来翻译一下，直观的意思就是“与同一个量相等的所有量都
相等”，这就是我们在几何推理中经常用到的“等量代换” ．
例如，我们经常这么写：
①∵ a=b，b=5（已知）
∴ a=5（等量代换）
②∵∠ A+∠B=90°，∠ B=∠ C
C
1
n
A
4. 已知：如图， AD 与 BC交于点 O，∠ C=35°，∠ A=∠B=90°，求∠ D 的度数．
A
B
O
D C 解：如图， ∵∠ A=∠B=90°（已知） ∴__________________， __________________（直角三角形两锐角互余） ∵∠ AOC=∠BOD（对顶角相等） ∴_____________（ ____________________） ∵∠ C=35°（已知） ∴_____________（等量代换） 5. 已知：如图，在△ ABC中， CD平分∠ ACB，∠ B=34°， ∠ACD=50°，求∠ A 的度数．
2. 将一副直角三角板如图放置， 使含 30°角的三角板的短直角边和含 45°角的三
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角板的一条直角边重合，则图中∠ 1 的度数为 ___________．
1
m'''
3. 如图，直线 m∥ n ，在△ ABC 中，∠ C=90°．若∠ 1=25°，∠ 2=70°，则∠ B=____________． B m 2