6个等价定理1º确界定理2º单调有界定性3º闭区间套定理4º列紧性定理（Weierstrass聚点原理）5º完备性定理（Cauchy收敛原理）6º紧性定理（Borel有限覆盖定理）在一般的教科书上论证它们的线路是：1º（作为公理）→2º→3º→4º→5º及3º→6º. 实际上，它们是等价的，而且可从任何一个直接推出其它任何一个. 这些训练对真正掌握分析学方法以及进一步学习后续课程和考研都是非常重要的. 下面就作其中一些训练，其余留给大家自己作.1．5º→6º. 即用完备性直接证明紧性.2．6º→1º. 即用紧性直接证明确界定理.3．6º→2º. 即用紧性直接证明单调有界定理.4．6º→3º. 即用紧性直接证明闭区间套定理.5．6º→4º. 即用紧性直接证明列紧性.6．6º→5º. 即用紧性直接证明完备性.7．3º→1º. 即用闭区间套定理直接证明确界定理.8．3º→2º. 即用闭区间套定理直接证明单调有界定理.9．3º→5º. 即用闭区间套定理直接证明完备性.10．1º→3º. 即用确界定理直接证明闭区间套定理.11．1º→4º. 即用确界定理直接证明列紧性.12．1º→5º. 即用确界定理直接证明完备性.13．1º→6º. 即用确界定理直接证明紧性.14．4º→1º. 即用列紧性直接证明确界定理.15．4º→2º. 即用列紧性直接证明单调有界定理.16．4º→3º. 即用列紧性直接证明闭区间套定理.17．4º→6º. 即用列紧性直接证明紧性定理.18．5º→1º. 即用完备性直接证明确界定理.19．5º→2º. 即用完备性直接证明单调有界定理. 20．5º→3º. 即用完备性直接证明闭区间套定理. 21．5º→4º. 即用完备性直接证明列紧性定理. 22．2º→1º. 即用单调有界定理直接证明确界定理. 23．2º→4º. 即用单调有界定理直接证明列紧性定理. 24．2º→5º. 即用单调有界定理直接证明完备性定理. 25．2º→6º. 即用单调有界定理直接证明紧性定理.极 限1） 数列极限存在、不存在的“N ε-”定义.2） 两边夹定理、单调有界性、Stolz 定理等以及各种技巧. 3） 函数极限的“εδ-”定义、性质等.1．用定义证明：若lim n n x →∞存在，则12limlim nn n n x x x x n→∞→∞+++=.2．用定义证明：若,n n x a y b →→，则1211lim n n n n x y x y x y ab n-→∞+++=.3．设lim 0n n x a →∞=>，且0(1)n x n >≥，则111112lim nn x x x a n ----→∞⎛⎫+++=⎪⎝⎭. 4．设lim n n x a →∞=且0(1)n x n >≥，则n a =.5．若1limn n nx a x +→∞=且0(1)n x n >≥，则n a =.6．求n 及112lim k k k k n n n+→∞+++ （k 为自然数）. 7．证明：limsin n n →∞不存在（lim cos n n →∞不存在）.8．若{}n x 满足11||||n n n n x x r x x +--≤-（r 为常数且01r <<）. 则lim n n x →∞存在，（若1||||(01)n n x k x k +≤<<，则0n x →）.9．设1130,(2)4n n a a a n -+==≥，求lim n n a →∞.10．设010,0,(2)n x a x b x n =>=>=≥，求lim n n x →∞.11．设012(),1,()(0)1n n x f x x x f x n x ++===≥+，求证lim n n x →∞= 12．设0111,(0)1n nx x n x +==≥+，证明lim n n x →∞= 13．设111,(1)n x x n +==≥. 求lim n n x →∞.14．设0111,1(0)n nx x n x +==+≥，求lim n n x →∞.15．设111ln (1)2n x n n n=+++-≥，证明l i m n n x →∞存在，且计算111lim()122n n n n→∞+++++.16．设1110,0,()(1)2n n nAA x x x n x +>>=+≥，求lim n n x →∞.一般地，设10,0A x >>，111,[(1)](1)n n m nAm x m x n m x +-∈=-+≥，求lim n n x →∞.17．设1110,0,(2)n n n A x x x Ax A+><<=-，求lim n n x →∞.18．设1101,(1)(1)4n n n q q q n +<<->≥，求lim n n q →∞.19．设1x a =，221(12)(1,2,)n n n x x b x b n +=+-+=，则当1b a b -≤≤时，有lim n n x b →∞=.20．已知,m n ∀∈，数列{}n x 满足0m n m n x x x +≤≤+，则n x n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭收敛. 21．设0lim ()0x f x →=且()()()2xf x f o x -=，则()()f x o x =.22．设数列{}n x 满足条件：,m n ∀∈，有m n m n x x x +≤+，则limnn x a n→∞=（其中a 为有限或-∞）.23．设{}n a 满足：,m n ∀∈，有11m n m n m n a a a a a ++-≤≤++，则（1）lim n n an→∞存在；（2）若lim n n aq n→∞=，则11n nq a nq -≤≤+.24．求lim sin(2!)n n en π→∞.25．设[]x 为x 的整数部分，而{}[]x x x =-为x 的小数部分，求lim{(1}nn →∞.连续与一致连续函数1．设()f x 在(0,)+∞内连续，且2()()(0)f x f x x =>，则()f x ≡Const.2．设()f x 在[0,)+∞上连续，且0()(0)f x x x ≤≤≥，若110,()(1)n n a a f a n +≥=≥ 则（1）lim n n a →∞存在；（2）设lim n l →+∞=，则()f l l =；（3）若将条件改为0()(0)f x x x ≤<>，则0l =.3．设()[,]f x C a b ∈，记()max ()()a t xg x f t a x b ≤≤=≤≤，则()[,]g x C a b ∈.4．设)(x f 在[,]a b 上Riemann 可积, 记2()max ()taa t xg x t f s ds ≤≤=⎰, a x b ≤≤，求证()g x 在[,]a b 上连续。

5．设()[0,1]f x C ∈，且()0f x >，令0()max ()(01)t xM x f t x ≤≤=≤≤. 则()()lim ()nn f x Q x M x →∞⎧⎫=⎨⎬⎩⎭连续()f x ⇔在[0,1]上单调上升. 6．设()[,]f x C a b ∈，并且[,],[,]x a b y a b ∀∈∃∈，使1|()||()|2f y f x ≤，则[,]a b ξ∃∈，使()0f ξ=. 7．设()[1,1],(0)0,(1)f x C ff ∈->±=，求证：存在常数0,,a b >使得()||()(11)g x a x b f x x =-+≥-≤≤，且存在(11)c c -<<，使得()||()g c a c b f c =-+=.8．叙述()f x 在某区间X 中不一致连续的定义01212120,0,,|||()()|x xX x x f x f x εδδε∃>∀>∃∈Λ-<⇒-≥00ε⇔∃>，{}{}(1)(2)(1)(2)(1)(2)0,,||0|(()|n n n n n n x x X x x f x f x ε∃⊂∍-→Λ-≥. 证明|sin |()x f x x=在(1,0)-和(0,1)内一致连续，但在0||1x <<内不一致连续.9．设()f x 在[,)(0)a a +∞>上满足李普希兹条件：|()()|||,,[,)f x f y k x y x y a -≤-∀∈+∞，则()f x x在[,)a +∞上一致连续. 10．设()(,)f x C a b ∈，求证：()f x 在(,)a b 内一致连续⇔极限0lim ()x a f x →+和lim ()x b f x →-均存在.11．证明：非常数的连续周期函数必有最小正周期.12．设()[0,)f x C ∈+∞，且0()()(0;)x f x f x n n≤≤≤<+∞∈， 则lim ()x f x →+∞存在.13．设()f x 是在[0,)+∞上的非负连续函数，且满足12,0x x ∀≥，有1212()()()f x x f x f x +≤+，则0()()liminfx x f x f x x x→+∞>=. 14．设()f x 在开区间(,)a b 内是凸函数，即12,(,)x x a b ∀∈，[0,1]λ∀∈，有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，则()(,)f x C a b ∈. 如开区间(,)a b 变为闭区间[,]a b 呢？15．设()[,]f x C a b ∈且可逆，则()f x 在[,]a b 上严格单调. 16．设:[0,1][0,1]f →为连续函数，且(0)0f =，(1)1f =，(())(01)f f x x x =≤≤，则()(01)f x x x =≤≤.17．设()(,)f x C ∈-∞+∞，且lim (())x f f x →∞=∞，则lim ()x f x →∞=∞.18．设()f x 在[0,)+∞上一致连续，且0,{()}h f nh ∀>收敛，则lim ()x f x →+∞存在.19．设()[0,]f x C ∈+∞，又设l ∀∈，方程()f x l =在[0,)+∞上无解或只有有限个解，则（1）若()f x 在[0,)+∞上有界，则lim ()x f x →+∞存在；（2）若()f x 在[0,)+∞上无上界，则lim ()x f x →+∞=+∞.20．设()(,),li m ()x f x C f x →±∞∈-∞+∞=+∞，且()f x 的最小值()f a a <，则(())f f x 至少在两个点处取到它的最小值. 21．设()f x 是定义在(,)-∞+∞上的实函数，并且具有中间值性质，也即是：如果()()f a c f b <<，那么，在,a b 之间有一个x ，使()f x c =. 再假定，当r 是有理数时，满足()f x r =的一切x 组成闭集，证明f 是连续函数.22．证明()f x 在区间I 上一致连续的充要条件是对于任给的正数ε及,x y I ∈，总存在正数N ，使得当()()f x f y N x y->-时恒有|()()|f x f y ε-<.23．是否存在这样的函数，它在闭区间[0,1]上每一点取值有限，但在这个闭区间上任何点的任意邻域内无界？24．设()f x 在[0,)+∞上一致连续，且0x ∀≥，有lim ()0n f x n →∞+=，则 lim ()0x f x →+∞=.25．证明：0,n ε∀>∃∈，使1|sin |2n ε-<.26．设()f x 在[,]a b 上有界，命0[,)(,)0(,]inf sup {()}, ;()inf sup {()}, ;inf sup {()}, ,y a a y x x y b b f y x a M x f y a x b f y x b δδδδδδδ>∈+>∈-+>∈-⎧=⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪=⎪⎩[,)0(,)(,]0sup inf {()}, ;()sup inf {()}, ;sup inf {()}, .y a a y x x y b b f y x a m x f y a x b f y x b δδδδδδδ∈+>∈-+>∈->⎧=⎪⎪=<<⎨⎪=⎪⎩则()f x 在0[,]x a b ∈点连续00()()M x m x ⇔=.27．设()f x 在[,)a +∞上一致连续，()x ϕ在[,)a +∞上连续，且l i m [()()x f x x ϕ→+∞-=，证明()x ϕ在[,)a +∞上一致连续.一元微分学及应用1°导数与微分定义2°F érmat 定理、中值定理、Taylor 公式、洛必达法则3°函数的升降、极值、凹凸性及拐点.1．设0a b <<，则ln ln b ab a -<- 2．设(0)0,(0)f f '=存在，令22212()()()n nx f f f n n n=+++，求lim n n x →∞. 并求下列极限：（1）22212lim[sin sin sin ]n nn n n→∞+++；（2）22212lim[1][1][1]n nn n n→∞+++.3．设()f x 在上可微，且(),()f x f x '无公共零点，则集合{[0,1]|()0}x f x ∈=是有限集.4．设()f x 在(,)a b 内可导，且()f x '单调，则()(,)f x C a b '∈.5．设()f x 在(,)a b 内可导，则0(,),{}(,)n x a b x a b ∀∈∃⊂，使0lim n n x x →∞=且0lim ()()n n f x f x →∞''=.6．设()f x 在(,)a +∞内可导，且lim ()x f x →+∞'=+∞，则()f x 在(,)a +∞内不一致连续.7．设()f x 在(0,]a 中连续，导数存在，且0lim ()x x +→'存在，则()f x 在(0,]a 中一致连续.8．设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0f =，k 为自然数，则(0,1)ξ∃∈，使()()()f kf f ξξξξ''+=. 提示：令()(1)()kF x x f x =-.9．设()f x 在[,]a b 上连续，()f x ''在(,)a b 内存在，若()()0f a f b ==且有(,)c a b ∈，使()0f c <，则(,)a b ξ∃∈，使()0f ξ''>.10．设()f x 在[,]a b 上二阶可导，且()()0f a f b ''==，则(,)a b ξ∃∈，使24|()||()()|()f f b f a b a ξ''≥--. 另外，将条件()()0f a f b ''==改为()02a bf +'=，结论亦真.11．设()f x 在[0,1]上二阶可导，(0)(1)0f f ==，且01max ()2x f x ≤≤=，则(0,1)ξ∃∈，使得()16f ξ''≤-.12．设()f x 在[,]a b 上二阶可导，则(,),(,)x a b a b ξ∀∈∃∈，使()()()()1()2f b f x f a f x b x a x f b a ξ-----''=-.13．已知()f x 在[,]a b 上可导，且4b a -≥，则(,)a b ξ∃∈，使2()1()f f ξξ'<+.14．证明Darboux 定理：若()f x 在[,]a b 上可导，则()f x '必能取得介于()f a '与()f b '之间的一切值.15．设()f x 在[,]a b 上二次连续可微，且()()0f a f b ==，求证：（1）21max ()()max |()|8a xb a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤-；（2）1max |()|()max |()|2a xb a x b f x b a f x ≤≤≤≤'''≤-.16．设()f x 在(,)-∞+∞上二阶可导，且()sup |()|(0,1,2)k k x M f x k ∈=<+∞=，则21022M M M ≤⋅.17．设()f x 在(0,)+∞内二阶可导，且02|()|,|()|(0)f x M f x M x ''≤≤>，则|()|0)f x x '≤>.18．设()f x 在(0,)+∞上三阶可导，且(0,)x ∀∈+∞，有0|()|f x M ≤<+∞，3|()|f x M '''≤<+∞. 则()f x '与()f x ''在(0,)+∞内有界.19．设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()f x 非线性函数，则(,)a b ξ∃∈，使()()|()|f b f a f b aξ-'>-.20．设|()|1,|()|1(02)f x f x x ''≤≤≤≤，则|()|2(02)f x x '≤≤≤. 21．设()f x 在(,)-∞+∞上有界且二阶可导，则0x ∃∈，使0()0f x ''=.22．设()f x 在(0,)+∞内二阶可导，且lim ()0,|()|1(0)x f x f x x →+∞''=≤>，则lim ()0x f x →+∞'=. 23．设()f x 在[0,1]上可导，且(0)0,|()||()|(01,f f x k f x x k '=≤≤≤为常数)，则()0f x ≡.24．设()[0,)f x C ∈+∞，在(0,)+∞内可导，且(0)1,|()|(0)x f f x e x -=≤≥，则0(0,),x ∃∈+∞使00()x f x e-'=-.25．设()f x 在(,)-∞+∞上无穷阶可导，且 （i ）存在0L >，使()|()|(;n fx L n ≤∀∈ )x ∀∈；（ii ）1()0(1,2,)f n n==，则()0f x ≡.26．设()f x 有二阶连续的导数，满足关系式：2()(())f x f x x '''+=且(0)0f '=，论证0x =是否为()f x 的极值点或拐点.27．设()f x 在(,)a b 内可导且0lim ()x a f x →+'存在，求证：0lim ()x a f x →+存在且可以对()f x 在a 点补充定义使()f a '存在.28．设()f x 在(0,)+∞内可导. 证明：()f x '单调上升()()f x xf x '⇔-单调下降. 29．设()f x 在[2,2]-上连续，在(2,2)-内二阶可导，且|()|1,(0)1f x f '≤>，则(2,2)ξ∃∈-，使()0f ξ''=.30．设12()n n n f x x x x x -=++++，则（1）对任一自然数1n >，方程()1n f x =在1(,1)2内只有一个根； （2）设1(,1)2n x ∈是()1n f x =的根，则1lim 2n n x →∞=. 31．设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内二阶可导，且(0)(1)0,()0((0,1))f f f x x ''==<∀∈.若()f x 在[0,1]上的最大值为0M >，求证：n ∀∈，（1）存在惟一的(0,1)n x ∈，使()n M f x n'=； （2）极限lim n n x →∞存在，并且(lim )n n f x M →∞=.32．设函数)(x f 在实数集R 上可导,满足: 存在常数0M >使2005|()|||Mf x x ≤,2004(|'()()2005()|)1xxf x xf x f x ++≤, 求证：2005|()|1x f x ≤.33．设()f x , ()g x 在(0,)+∞内可导，且231()()3x g x f x ''<, 求证当lim ()x f x →+∞存在时, lim ()x g x →+∞存在.34．设2()12!!nx x f x x n =++++. （1）当n 为偶数时，求证()f x 在实轴上有正的最小值；（2）当n 为奇数时，()f x 有且仅有一个实根.35．设2()1,2!!n n m x x p x x x n =++++是21()0m p x +=的实根，则0m x <且lim m m x →∞=-∞.36．设01()1,()()()(0)n n n f x f x xf x f x n +'≡=-≥，求证： （1）()n f x 是首项系数为1的n 次多项式； （2）()n f x 有n 个不同实根. 37．求证：切比雪夫—拉盖尔多项式()()n xn xn nd L xe x e dx -=有n 个不同正实根.38．设()f x 在a 的某邻域(,)O a δ内有n 阶连续导数，且()()0n f a ≠与(1)()()()0n f a f a f a -'''''====. 由微分中值定理：()()()(01,)f a h f a f a h h h θθδδ'+-=+<<-<<， 求证：lim h θ→=.39．设()f x 、()g x 在(,)a b 内可微，且1212()()0(,(,))f x f x x x a b ==∈，则在1x 、2x 之间至少有()()()f x f x g x ''+的一个零点.40．若230a b -<，则方程32()0f x x ax bx c =+++=有唯一实根.41．设()f x 在(1,1)-内有各阶导数，在0x =点，它们全异于0. 若对0||1x <<和n ∈，写出Taylor 公式：(1)()1(0)()()(0)(0)(01)(1)!!n n n nf f x f x f f x x x n n θθ--'=++++<<-，求0lim x θ→.42．设()f x 在[0,)+∞上可导，λ∈，则()xf x e λ'单升()()f x f x λ'⇔+单升. 43．求最小的β和最大的α，使n ∀∈，有11(1)(1)n n e n nαβ+++≤≤+.44．设()f x 在[,]a b 上有界，()g x 在[,]a b 上可微，()0g a =，λ是非零常数，且|()()()||()|()g x f x g x g x a x b λ'+≤≤≤，则()0g x ≡.45．设()f t 在[,](0)x x h h +>上连续且二阶可导，[0,1]τ∈. 则必存在(0,1)θ∈，使2()()(1)()(1)()2h f x h f x h f x f x h τττττθ''+=++-+-+.46．设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且1(0)(1)0,()12f f f ===，则(0,1)ξ∃∈，使()1f ξ'=.47．设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且|()|1f x '<，(0)(1)f f =，则12,(0,1)x x ∀∈，有121|()()|2f x f x -<.48．设()f x 在[,]a b 上一阶可导，在(,)a b 内二阶可导，且()()0,()()0f a f b f a f b ''==⋅>，则（1）(,)a b ξ∃∈，使()0f ξ=；（2）(,)a b η∃∈，使()()f f ηη''=.49．设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，(0)0f =，则若()f x 在(0,1)内不恒为零，则(0,1)ξ∃∈，使()()0f f ξξ'>.50．设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可微分，且2|()()(0)|,(0,1)xf x f x f x M x '-+<∈， 其中M 是正常数. 证明(0)f +'存在.51．设有多项式1110()n n n P x cx a x a x a --=+++，1110()m m m Q x cx b x b x b --=+++，其中0c ≠，并且它们满足关系式222()(1)()1P x x Q x =-+，试证：()()P x nQ x '=.52．证明：所有具有正系数且是偶函数的非零多项式，处处都是凸的，并且只有一个极值点.53．设()f x 是二次连续可导的偶函数，且(0)0f ''≠，则0x =是它的极值点. 54．设()f x 在(,)a b 内连续可微，并且,(,)x y a b ∀∈，∃唯一的(,)z a b ∈，使()()()f y f x f z y x-'=-，则()f x 或严格凸，或严格凹. 55．函数1()k na x k k f x c e ==∑在上可能有的零点最多是几个？其中k a 是不同的实数，k c 为实数且不同时为零.56．设()f x 在上可导，且,x h ∀∈，有1()()()2f x h f x hf x h '+-=+，则 （1）()f x 在上任意阶可导；（2）()f x 是不超过二次的多项式. 57．设|()|f x M ≤且()()0(;1,2,)n f x a x b n ≥<<=，则(,),0x a b r ∀∈>，只要(,)x h a b +∈，便有()2!()(1,2,)n nMn f x n r ≤=.58．设()()0(;1,2,)n fx a x b n ≥<<=，则0(,),0x a b r ∀∈∃>，使00(,)x x r x r ∀∈-+，有()0001()()()lim ()!k nk n k x x f x f x f x k →∞=-=+∑.59．给定方程1()nx x n +=∈，求证： （1）在0x >内方程有唯一解n x ；（2）lim 1n n x →∞=；（3）ln 1~()n nx n n-→∞. 60．证明：函数122xx--+在(0,)+∞内的最大值为1.61．设()f x '在(0,)+∞内单升，且()lim 1px f x x →+∞=，则（1）当0h >时有()()()()()f x f x h hf x f x h f x '--≤≤+-；（2）1()lim1p x f x px -→+∞'=. 62．设()f x 在上n 次可导，且()0|()|;|()|n n f x M f x M ≤≤（0M 、n M 为常数），则有（1）(1)(),,()n f x f x -'均在上有界；（2）()1()20|()|2(0)k k k n k k nn nf x M Mk n --≤≤≤.一元函数积分学1ºDarboux 上、下和、上、下积分及定积分定义. 2º定积分存在的充要条件、必要条件、充分条件、性质 3º积分第一、第二中值定理，Newton-Leibnitz 公式1．设()f x 在[0,1]上连续且单调增加，按提示的思路用五种不同方法证明:110 01()()2xf x dx f x dx ≥⎰⎰.思路一: 利用定积分的定义; 思路二: 利用函数与其导函数的关系; 思路三: 利用积分第一中值定理; 思路四: 利用积分第二中值定理; 思路五: 利用积分的保序性; 思路六: 利用微分中值定理; 思路七: 利用其它方法。