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一元二次不等式及其解法(习题课)
∴原不等式解集为x|x<-12或x>13. 答案:A
2.若集合 A={x|-1≤2x+1≤3},B=x|x-x 2≤0,则 A∩B=(
)
A.{x|-1≤x<0}
B.{x|0<x≤1}
C.{x|0≤x≤2}
D.{x|0≤x≤1}
解析:∵A={x|-1≤x≤1},B={x|0<x≤2},
∴A∩B={x|0<x≤1}.
即
m>-16. 3
- b =-2m>2 2a 2
m<-2
解得-16<m≤-4. 3
总结:
设关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a>0)对应的二次函数为: f(x)=ax2+bx+c(a>0),结合二次函数的图象的开口方向、对称轴位 置,以及区间端点函数值的正负,可以得到以下几类方程根的分布问 题(此时Δ=b2-4ac).
∴7m-6<0,解得 m<67. ∴0<m<6.
7
∴m<0.
综上所述,m
的取值范围为
-∞,6 7
.
探究二 不等式中的恒成立问题
[典例 2] 设函数 f(x)=mx2-mx-1.
(2)对于 x∈[1,3],f(x)<-m+5 恒成立,求 m 的取值范围.
法二:f(x)<-m+5 恒成立, 即 m(x2-x+1)-6<0 恒成立.
Δ≥0, (1)方程 f(x)=0 在区间(k,+∞)内有两个实根的条件是- fk2ba>>0k. ,
(2)方程 f(x)=0 有一根大于 k,另一根小于 k 的条件是 f(k)<0.
(3) 方 程 f(x) = 0 在 区 间 (k1 , k2) 内 有 两 个 实 根 的 条 件 是
Δ≥0 k1<-2ba<k2, fk1>0, fk2>0.
(2)xx+ -12≤2.
∴原不等式的解集为{x|x<-2 或 x>1}.
(2)移项,得xx+-12-2≤0,
它的同解不等式为
x-2x -5≥0, x -2≠0,
左边通分并化简,得-xx-+25≤0,即xx--52≥0,∴ 原不 x<等2式或的x解 ≥5集. 为{x|x<2 或 x≥5}
1.对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一 元一次不等式组求解,但要注意分母不为零. 2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不 要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解.
为( )
A.0<m<4
B.0≤m≤4
C.0≤m<4
D.0<m≤4
解析:m=0 时,mx2+mx+1=1 满足题目要求,m≠0 时,mx2+mx
m>0, +1>0 恒成立,需Δ<0, 解得 0<m<4,∴0≤m<4.
答案:C
3.若不等式 x2+ax+1≥0 对一切 x∈0,12恒成立,则 a 的最小值
[解析] (1)若 m=0,显然-1<0 恒成立;
若
m≠0,则
m<0, Δ=m2+4m<0
⇒ -4<m<0.
∴m 的取值范围为-4<m≤0.
探究二 不等式中的恒成立问题
[典例 2] 设函数 f(x)=mx2-mx-1.
(2)对于 x∈[1,3],f(x)<-m+5 恒成立,求 m 的取值范围.
(2)法一:要使
实数 a 的取值范围是________.
解析:依题意有:Δ-≥1<0-,a+2 1<1, f-1>0, f1>0
-a≥3<3+a<21,2或a≤3-2 2, ⇒a>0,
a>-23
⇒0<a≤3-2 2. 答案:(0,3-2 2]
Δ≥0 ffkk12>>00 k1<-2ba <k2
fk1>0 fk2<0 fk3>0
[双基自测]
1.不等式43xx+ -21>0 的解集是(
)
A.x|x>13或x<-12
B.x|-12<x<13
1
C.x|x>3
D.x|x<-12
解析:34xx-+12>0 等价于(4x+2)(3x-1)>0,
解析:原不等式等价于 mx2+mx+m-1<0,对 x∈R 恒成立, 当 m=0 时,0·x2+0·x-1<0 对 x∈R 恒成立. 当 m≠0 时,由题意,得
m<0,
m<0,
Δ=m2-4mm-1<0 ⇔3m2-4m>0
m<0, ⇔m<0,或m>43 ⇔m<0.
综上,m 的取值范围为 m≤0.
探究三 一元二次方程根的分布问题
[典例 3] 已知方程 x2+2mx-m+12=0 的两根都大于 2,求实数 m
的取值范围. [解析] 法一:设方程 x2+2mx-m+12=0 的两根为 x1,x2.
由题意知Δx1=+4xm2=2--42-m>m4+12≥0 x1-2x2-2>0
. m≤-4 或 m≥3
m2+m-12≥0
即m<-2
+bx+c=0 的两实根,
-2+4=-b, a
得 -2×4=c, a
得
b=-2a c=-8a
所以 f(x)=ax2-2ax-8a=a(x+2)(x-4).
当 a>0,所以 f(x)的图象开口向上.
又对称轴方程为 x=1,
f (x )的大致图象如图所示, 由图可得 f(2)<f(-1)<f(5).
[答案] f(2)<f(-1)<f(5)
1.解不等式. (1)x2-x-x-1 6>0;
解析:(1)原不等式等价于
⇔x2 x 6x 1 0
x 3x 2x 1 0
x 2, x 1, x 3
-2
13
解得 x>3 或-2<x<1.
∴原不等式的解集为{x|x>3 或-2<x<1}.
人教A版数学 ·必修5
1.解不等式. (2)23x--41x >1.
a=0 b=0,c>0 b=0,c<0
a≠0
a>0,
Δ<0
a<0,
Δ<0
2.有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法 (1)f(x)≤a 恒成立⇔f(x)max≤a. (2)f(x)≥a 恒成立⇔f(x)min≥a.
2.关于 x 的不等式(1+m)x2+mx+m<x2+1 对 x∈R 恒成立,
求实数 m 的取值范围.
(1) f x >0⇔f (x)g(x )>0; gx
[自主梳理]
(2)fx≤0⇔ gx
f xgx 0 gx 0
( f x agx)gx 0
(3)fx≥a ⇔ fx-agx≥0
gx
gx
gx 0
2.处理不等式恒成立问题的常用方法 (1)一元二次不等式恒成立的情况: ①ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立⇔aΔ><00 ;
1.不等式xx- +21≤0 的解集是( A.(-∞,-1)∪(-1,2] C.(-∞,-1)∪[2,+∞)
)
B.[-1,2] D.(-1,2]
解析:将原不等式转化为(x+1)(x-2)≤0,解此一元二次不等式可得 结果,注意 x+1≠0. 答案:D
2.对于 x∈R,式子 mx2+1mx+1恒有意义,则常数 m 的取值范围
Δ≥0 fk>0 - b <k
2a
根的分布 k<x1≤x2 x1<k<x2
图象
等价条件Ⅰ
Δ≥0 xx1+1-xk2>·2k x2-k>0 Δx>1-0 k· x2-k<0
等价条件Ⅱ
Δf>k0>0 -2ba>k
f(k)<0
根的分布
图象
x1、x2∈(k1, k2)
k1<x1<k2<x2 <k3
等价条件Ⅰ 等价条件Ⅱ
解析:设方程 x2-2ax+1=0 两根 x1,x2,
Δ=-2a2-4≥0
则x1+x2=2a>0
,解得 a≥1.
答案:[1,+∞)
探究一 解简单的分式不等式
[典例 1] 解不等式. (1)x1+ -2x<0;
[解析] (1)由x1+-2x<0,得xx+-21>0. 此不等式等价于(x +2)(x -1)>0.
(4)方程 f(x)=0 的一根小于 k1,另一根大于 k2 且 k1<k2 的条件是 fk1<0, fk2<0.
3.关于 x 的方程 2kx2-2x-3k-2=0 的两根, 一个小于 1,一个大于 1,求实数 k 的取值范围. 解析:因为关于 x 的方程 2kx2-2x-3k-2=0 有两不同实根,所以 2k≠0.又因为一个小于 1,一个大于 1, 所以设 f(x)=2kx2-2x-3k-2, 当 k>0 时,f(1)<0,即 2k-2-3k-2<0,整理后得 k>-4,所以 k>0. 当 k<0 时,f(1)>0,即 2k-2-3k-2>0,整理后得 k<-4,所以 k< -4. 综上:当 k<-4 或 k>0 时,方程 2kx2-2x-3k-2=0 的两根,一个 根小于 1,一个根大于 1.
f (x )<-m+5
恒成立,就要使
m
x -1 2
2+3m-6<0, 4
令
g(x)=m
x
-1 2
2+3m-6,x 4