《常微分方程》复习习题集
一． 求解下列一阶微分方程
1．
3(ln )0y
dx y x dy x
++= 2．tan sec dy
y x x dx
+= 3．tan dy y
x y x dx x
-=
4．
2(cos sin )dy
y y x x dx
+=- 5．222()2dy x dy y x
dx dx
=++ 6．(2)0y
y
e dx y xe
dy ---+=
7．
2(cos cos 2)dy
x y dx
= 8．2dy y x dx x
=- 9．()ln
dy x y
x
y x y dx x
+-=+ 10．
411
(12)33
dy y x y dx +=- 11．(2)0y y e dx x xy e dy -+= 12．(1)y y y e ''=-
13．(2)(2)0x y dx x y dy ++-= 14．
dy x
y e dx =+ 15．tan dy y y dx
x
x
-=
16．2
()0ydx y x dy -+= 17．22
()1y y '+=
二． 求解下列微分方程组
1. 234dx
x y dt
dy x y dt ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 3. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=y x dt
dy y x dt
dx
232 2. 5445dx
x y dt
dy x y dt ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 4. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x dt
dy y x dt
dx
2543 三． 求下列微分方程的通解
1. x y y xe -''+=
2. 65x
y y y e '''++=3. 33x
y y y y xe
-''''''+++=
4. 265x
y y y e '''++=四． 叙述“皮卡存在唯一性定理”，并求下列初值问题
1.
22,(0)0dy
x y y dx
=+= 2.
22, (0)0dy
x y y dx
=-= 的第三次近似解。

五． 对任意的0x 及满足条件300<<y 的0y ，求方程
)3(-=y y dx
dy
的满足初值条件00()y x y =的解的最大存在区间。

六． 考虑微分方程
()0y q x y ''+=
（1）设()y x ϕ=与()y x ψ=是它的任意两个解，试证()x ϕ与()x ψ的朗斯基行列式恒等于一个常数；
（2）设已知方程有一个特解为x y e =，试求这方程的通解，并确定()q x 。