附录I 截面图形的几何性质I-1 求下列截面图形对z 轴的静矩与形心的位置。
解：（a ）)2)2((2)2(2h t h b t h ht t h bt s z ++=⋅++= hb h t h b h b t h t h b t A s y zc +++=+++==2)2()()2)2((22 （b ）322332219211)}2)4()43()41()43(32(])4()43[(2{4442D D D D D D D D D D s z =--⨯-+⨯⨯-=ππD D D D D DAs y z c 1367.0])2()43[(2)44(219211223=-⨯+⨯==π（c ） ]22)[(22)(2h t t b t h ht t t t b s z +⋅-=⨯+⨯⨯-= )(2)(2t b h h t t b A s y z c -++-== I-2 试求（1）图示工字形截面对形心轴 y 及 z 的惯性矩z I 与I y 。
（2）图示 T 字形截面对形心轴的惯矩z I 与I y 。
tb解(a) 12)2)((12)2)((123333t h t b bh t h t b bh J z ---=---= 12))2(2(12))(2(1222333t t h b t t t h tb J y -+=-+=(b) cm y c 643.9)520515(2)515(552522=⨯+⨯-⨯+⨯=433423231615121551252010186520)643.91025(12205515)5.2643.9(12515cm J cm J y z =⨯+⨯==⨯⨯--+⨯+⨯⋅-+⨯=I-3 求图示椭圆截面对长轴的惯矩、惯性半径与对形心的极惯矩。
解： θθcos ,sin ⋅=⋅=a z b yθθd b dy cos = ⎰⎰--⋅==∴bbbbz zdy y dA y J 222322223224cos sin 2cos cos sin 2ab d abd b a b J bbz πθθθθθθθππ==⋅=⎰⎰--(a)b)(4)(42422333b a ab b a ab J J J b ab ab AJ i y z p zz +=+=+====ππππI-4 试求图示的41的圆面积（半径a ）对于z ，y 轴的惯性积zy I 。
解： 222022z a zdz ydy zdz zydzdy J az a a yz -⋅===⎰⎰⎰⎰⎰-8)(214022a dz z a z a =-=⎰I-5 图示矩形截面h : b ＝3 : 2。
试求通过左下角A 点一对主轴u 及v 的方位，并求u I 及vI 之值。
yy解： 223341,31,31h b J bh J hb J yz z y === 03322133221105.30))23()23((31)23(21(21)3131412(21)2(21-=⋅-⋅-=-⨯-=--=---b b b b b b tg hb bh h b tg J J J tg y z yz α422223333169.046.1)41(4)](31[212)(31b h b hb bh hb bh J J v u =⨯++±+=I-6 求下列各图形的形心位置、形心主惯轴方位，与形心主惯矩值。
解：(a) 00222245,65,65222===+⋅+⋅==αa z a a a aa a a As y c zc42242231211)62(12)3(22121a a a a a a a a a J J yczc =+++-+⋅== 42231)62)(3()6)(3(2a a a a a a a a J xcyc -=+-+-=44244222,112745)31(42112114)(212a a a a J J J J J J zy y z yz =-±=+-±+=（b ） cmAs y zc 186.41715.1225.1215.125.017=⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯==cm As z y c 936.11715.125.015.11418=⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯==423236.2825.121)86.425.12(125.12117)5.0186.4(1217cm J zc=⨯⨯-+⨯+⨯⨯-+⨯=4232342.1015.111)5.0936.1(1215.1181)936.14(1281cm J yc=⨯⨯-+⨯+⨯⨯-+⨯=4205.1037686.3564.25.12064.2436.1cm A b a J i i i xcyc -=⨯⨯-⨯⨯-==422222,169.5433.32932.13701.192205.103)242.1016.282(242.1016.282)2(2cmJ J J J J J zy yz yczc =±=+-±+=+-±+=01-min1-036.24)69.546.282205.1031(tg )1(tg =---=--=J J J zc zcyc αI-7 图示截面由No14b 的槽钢截面与12⨯2cm 的矩形截面组成，试确其形心主惯矩。
解：NO 14b: A=21.31 2cm404.609cm J x =cmx cm J y 67.11.61040==cm x c 96.321231.21621267.131.21=⨯+⨯⨯+⨯=cm y c 76.421231.21)1(212)9(31.21-=⨯+-⨯⨯+-⨯=4423243390)96.36()75.41(122)96.367.1()74.49(31.211338)75.3(21212212)24.4(31.214.609561)96.36(12212122)96.367.1(31.211.61cm J cm J cm J xy x y =-⨯+-⨯⨯+-⨯+-==⨯⨯+⨯+-+==-⨯⨯+⨯+-+=4222,14001500390)25611338(25611338cm J =+-±+=I-8 求图示花键轴截面的形心主惯矩，键可近似地看作矩形。
解：432024442.27129.025.02)45cos 475.2)(25.09.0(4475.2)25.09.0(2)55.27.4(64cm J z =⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+-=πI-9 试证由一矩形以其对角线所分成的两个三角形分别对 x 及 y 轴的惯积是相等的，且等于矩形面积惯积的一半。
解：对角线 y=(h/b)x 或 x=(b/h)y25.5-IIyxIyxyxhIIyxhyhbhIyxJJhbhbhbJhbxxxdxJhbydyyxdxydyJ2242282822222222===⨯⨯⨯=⋅⋅====⎰⎰⎰⎰＝矩形I-10 图示正六边形截面，试计算xI和yI。
解：4433413.531654821)3(212)3(RaaaaaJJyx=⨯=⨯⋅⨯+⨯==I-11 求图示薄壁截面对水平形心轴x的惯矩x I。
解：44499.3957112381240mmJx=-=aI-12 图示截面由两个No22 a 的槽钢组成，试问当间距 a 为何值时y x I I =。
解： 40428.15729.2393cm J cm J y x ⨯=⨯=2084.3110.2cm A cmx ==cma a56.1229.239384.31)1.22(8.1572=⨯=⨯++I-13 欲使通过矩形截面长边之中点A （或B ）的任意轴 u 都是截面的主轴，则矩形截面的高 h 与宽 b 之比应为多少（h : b ＝？）？解： 02cos 2sin 211=⋅+-=ααxy y z uv J J J Jh b bh J J J y z xy 3311311210==∴=∴须，满足上式，为任意角α23112122==bhb hI-14 图示狭长矩形截面，A 、B 点的纵坐标分别为A y 和B y ，面积为tL A =。
试证明该截面对 x 轴的惯矩为：()223B B A A x y y y y A I ++=。
解： AB y y dyL dL -⋅=)(32222B B A A y y A B L y y x y y y y A y y dy y tL tdL y J BABA++=-⋅==⎰⎰⎰。