第15届中环杯决赛试题解析（四年级）一、填空题A （本大题共8小题，每题6分，共48分）： 1.计算：69 4.616.223⨯+⨯=________.【答案】690【解答】()69 4.616.223233 4.616.2232313.816.22330690⨯+⨯=⨯⨯+⨯=⨯+=⨯=2.将长、宽、高分别为3厘米、4厘米、5厘米的长方体积木，叠成最小的正方体，最少要积木______块【答案】3600【解答】容易知道正方体的边长至少为[]3,4,560=厘米，所以需要积木()()6060603453600⨯⨯÷⨯⨯=块3.在5、8、15、18、25、28、 、2008、2015中，有________个数的数码之和为偶数（138的数码之和为13812++=）【答案】202【解答】每两个数一对：{}5,8、{}15,18、 、{}2005,2008，每对里面有且仅有一个数的数码之和为偶数，一共有()20088101201-÷+=对，而最后一个数的数码之和为20158+++=，为偶数，所以答案就是2011202+=4.如图，在长方形ABCD 中，AED ∆与BFC ∆都是等腰直角三角形，2EF AD ==。

则长方形ABCD 的面积为________.【答案】8【解答】可以如下图进行切割，由于2EF AD AG ==，整个长方形的面积是小正方形面积的8倍。

由于一个小正方形的面积为1，所以长方形的面积为85.一个等差数列的首项为9，第8项为12，那么这个数列的前2015项中，有________项是3的倍数。

【答案】288【解答】根据已知条件，容易推出这个等差数列的通项公式为()()1320360177n n n a a n d ++=+-==。

为了使得其为3的倍数，只要使得207n +为整数即可。

容易知道，当1n =、8、15、⋅⋅⋅⋅⋅⋅、2010时满足要求，一共有2010112887-+=项满足要求。

6.老师将一些数填入下图的圆圈内（每个圆圈内能且只能填一个数），左右两个闭合回路的三个数之和均为30，上下两个闭合回路的四个数之和均为40。

若圆圈X 内填的数为9，则圆圈Y 内填的数为 .【答案】11【解答】如下图所示，()408040a b c d a b c d X Y c b X Y c b +++=⎧⇒+++++++=⎨+++=⎩，306030a b X a b c d X Y c d Y ++=⎧⇒+++++=⎨++=⎩，我们推出20c b +=。

将20c b +=代入4020X Y c b X Y +++=⇒+=。

由于9X =，所以11Y =。

7. 如图，一只蚂蚁在网格上爬行，每爬一步就是指从一个点爬到其相邻的点（由一条虚线段连接的两个点称为相邻的点）。

这只蚂蚁一共要爬四步，如果它从点A 开始爬，不同的爬行路线有m 种；如果它从点B 开始爬，不同的爬行路线有n 种。

则n m ÷=________.【答案】3【解答】我们发现，无论从点A 出发还是从点B 出发，接下来都是走到形如C 点的位置（下图中的六个红点），根据对称性，每个红点所对应的走法是相同的。

点A 走到红点有两种方法，点B 走到红点有六种方法，所以623n m ÷=÷=。

【说明】对称计数8. 小明看到一辆拖拉机拉着一条绳子在路上缓慢地行驶着，小明准备去测量一下绳子的长度。

如果小明沿着拖拉机开的方向行走，从绳子的一端走到另一端，一共走了140步；如果小明行走的方向与拖拉机开的方向相反，从绳子的一端走到另一端，一共走了20步。

拖拉机与小明的速度保持恒定，小明每步可以走1米。

那么绳子的长度为 米。

【答案】35【解答】由于第一次走了140步、第二次走了20步，所以第一次花的时间是第二次花的时间的7倍，所以这个过程中拖拉机开的路程也是7倍关系。

设第一次拖拉机开了7S 米，第二次拖拉机开了S 米，并且设绳子的长度为x 米，得到方程组7140352015x S x S x S +==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩。

二、填空题B （本大题共4小题，每题8分，共32分）：9. 一个园艺匠准备种植一排共20棵树，一共有两种树可供选择：枫树或者梧桐树。

任两棵枫树之间（不包括这两棵枫树）的树的数量不能等于3。

那么这20棵树中，枫树最多有 棵。

【答案】12【解答】在任意连续的八棵树中，一旦种下一棵枫树，那么相当于另一个位置只能种梧桐树。

我们用下图进行说明，用●表示枫树，用表示 梧桐树，一旦第二个位置种了枫树，那么位置A 必须种植梧桐树。

无论枫树出现在哪个位置，总有一个位置与其对应，只能种植梧桐树，所以八棵连续的树中最多只有四棵枫树A●根据前面的推导，20棵树中的前16棵树里最多包含了8棵枫树，所以枫树总数最多8412+=，我们可以如下进行种植：●●●●●●●●●●●●10. 如图，ABC ∆为等腰直角三角形，E 为BC 边上一点，满足3BE CE =，D A F 、、三点在一条直线上。

设DBE ∆中BE 边上高的长度为1h ，FEC ∆中EC 边上高的长度为2h ，我们有1233h h +=厘米。

DBE ∆与FEC ∆的面积之和为6平方厘米，则ABC ∆的面积为________平方厘米。

【答案】64【解答】由于313,44BE CE BE BC CE BC =⇒==。

而()121212112213112424138DBE FEC S S BE h CE h BC h BC h BC h h ∆∆+=⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯=⨯+ 将12336DBE FEC h h S S ∆∆+=⎧⎨+=⎩代入，得16BC =。

所以2211166444ABC S BC ∆==⨯=平方厘米11. 已知一个四位数ABCD 满足：ABCD AB CD +⨯是1111的倍数，则ABCD 的最小值为 . 【答案】1729【解答】()()1001100100ABCD AB CD AB CD AB CD AB CD +⨯=++⨯=+⨯+-，从而推出()()()1100100mod1111AB CD +⨯+≡，所以()()11001211AB CD +⨯+=、2322、3433、⋅⋅⋅⋅⋅⋅（1）当()()11001211AB CD +⨯+=时，此时12111211112.11100100AB CD +=≤=+，所以11AB ≤，所以11AB =或10，但是这两个数显然不是1211的因数；（2）当()()11002322AB CD +⨯+=时，考虑到323222343=⨯⨯，所以232218129=⨯，此时1181729100129AB ABCD CD ⎧+=⎪⇒=⎨+=⎪⎩。

接下来我们要证明1729已经是最小值了，假设它不是最小值，还存在1729ABCD <，满足()()11001111100AB CD k +⨯+=+，此时10~16AB =，所以()()()()1100133810361990AB CD +⨯+≤+⨯+=。

当3k ≥时，此时1111100k +已经大于3383了，所以2k ≤。

而对于2k ≤的情况，我们前面已经讨论过了，所以不存在1729ABCD <。

综上所述，本题要求的最小值就是1729。

12. 如下左图，甲要从A 走到B ，每次只能向上或者向右走一格；乙要从C 走到D ，每次也只能向上或者向右走一格。

将两人走的路径标出来，如果两条路径不相交（没有公共点），那么就称这两个人走了“中环路”（下右图就是一条“中环路”）。

那么，“中环路”一共有______种。

【答案】1750【解答】容易知道，从A B →，一共有48C 种走法，同理，从C D →，一共有48C 种走法，所有两人走的路径一共有4488C C ⨯种。

接下来我们只要将相交的情况减掉，剩下的就是答案了。

如下图，两条路径的第一个交点为E ，我们把这两条路径看为：A E D →→与C E B →→（原先应该是A E B →→与C ED →→）。

注意：如上右图，如果没有相交，我们不能这样看待两条路径，只有产生相交点之后，才能这样看待这两条路径。

反过来，对于A E D →→与C E B →→的任意两条路径来说，它们必然会产生公共点。

利用对应原理，我们将相交的两条路径与“A E D →→与C E B →→的路径”对应起来了，所以相交的情况一共有44106C C ⨯种。

综上所述，最后的答案就是444488106490031501750C C C C ⨯-⨯=-=。

三、动手动脑题（本大题共2小题，每题10分，共20分）：13. 如图，ABCD 是一个梯形，其对角线的交点为O 。

延长AC 至点E ，满足CE AO =。

延长DB 至点F ，满足BF DO =。

若BFG ∆的面积为2015平方厘米，求：CGE ∆的面积。

【答案】2015【解答】由于ABCD 是一个梯形，利用等积变换我们有AOB DOC S S ∆∆=。

利用CE AO =，我们推出AOB CBE S S ∆∆=。

利用BF DO =，我们推出DOC BCF S S ∆∆=。

结合AOB DOC S S ∆∆=，我们有CBE BCF S S ∆∆=，所以CBE BCG BCF BCG BFG CGE S S S S S S ∆∆∆∆∆∆-=-⇒=，所以CGE ∆的面积也是2015。

14.A 、B 、C 三人到D 老师家里玩，D 老师给每人发了一顶帽子，并在每个人的帽子上写了一个四位数。

已知这三个四位数都是完全平方数（比如242=，210010=，4100、都是某个数的平方，这样的数称为完全平方数），并且这三个四位数的十位数都是0，个位数都不是0。

每个小朋友只能看见别人帽子上的数。

这三个小朋友非常聪明而且诚实，发生了如下的对话：A 说：“B 、C 帽子上数的个位数相同。

”B 、C 同时说：“听了A 的话，我知道自己的数是多少了。

”A 说：“听了B 、C 的话，我也知道自己的数是多少了，我的这个数的个位数是一个偶数。

”求：A 、B 、C 帽子上的数之和。

【答案】14612【解答】假设()()()22220101002000cb a ef e f e ef f a f ==+=++≠⇒≠，两边对100取余，从而推出()220mod100ef f a +≡，也就是说220ef f +的十位数部分为0。

显然20ef 的十位数部分肯定为偶数，所以2f 的十位数也必须为偶数，满足条件的1f =、2、3、5、7、8、9。

（1）当1f =、2、3时，为了使220ef f +的十位数部分为0，则5e =，此时这三个数就是2512501=、2522704=、2532809=；（2）当5f =时，22010025ef f e +=+，十位数部分不可能为0；（3）当7f =时，22014049ef f e +=+，为了使得十位数为0，则4e =或9，此时满足条件的数为2472209=或2979409=；（4）当8f =时，22016064ef f e +=+，为了使得十位数为0，则4e =或9，此时满足条件的数为2482304=或2989604=；（5）当9f =时，22018081ef f e +=+，为了使得十位数为0，则4e =或9，此时满足条件的数为2492401=或2999801=。