2 0 1 6年成人高考高升专数学模拟题本试卷共 5 页， 150 分。

考试时长 120 分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题，共40 分）一、选择题共 8小题，每小题 5 分，共 40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合A{ x | 5 x2}, B { x | 3 x3} ，则AI B（ A）{ x | 3x 2}（B）{ x | 5x 2}（ C）{ x | 3x 3}（D）{ x | 5x 3}（2）圆心为（ 1， 1）且过原点的圆的方程是（ A）( x 1)2( y 1)21（ B）(x 1)2( y 1)21（ C）( x 1)2( y 1)22（D）( x 1)2( y 1)22（3）下列函数中为偶函数的是（ A）y x2 sin x（ B）y x2 cos x（ C）y| ln x |（ D）y 2 x（4）某校老年，中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320 人，则该样本的老年教师人数为（A） 90（B） 100（C） 180（D） 300(5)执行如果所示的程序框图，输出的k 值为（A） 3（B） 4(C)5(D)6（6）设a, b是非零向量，“ agb| a || b |”是“ a // b ”的（ A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（ C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（A） 1（B）2（C）3（D） 2（8）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况。

注：“累计里程” 指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100 千米平均耗油量为（A）6 升（B）8升（C） 10 升（D） 12 升第二部分（非选择题共110 分）二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（9）复数i(1 i)的实部为 ________________1（10） 2 3 ,3 2 ,log 2 5 三个数中最大数的是________________（11）在△ ABC中，a 3,b6,A 2，则 B ________________ 3（12）已知（ 2， 0）是双曲线x2y21(b0) 的一个焦点，则b________________b2（13）如图， ABC 及其内部的点组成的集合记为 D ，P( x, y)为 D中任意一点，则 z 2x3y 的最大值为________________（14）高三年级 267 位学生参加期末考试，某班 37 位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生。

从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是________________②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是________________三、解答题（共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）（15）（本小题13 分）已知函数 f ( x) sin x 2 3 sin 22（Ⅰ）求 f ( x) 的最小正周期；（Ⅱ）求 f ( x) 在区间（16）（本小题13 分）20,上的最小值。

3已知等差数列{ a n} 满足 a1a210, a4a3 2 .（Ⅰ）求 { a n } 的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{ b n} 满足 b2a3, b3a7.问： b6与数列 { a n } 的第几项相等？（17）（本小题13 分）某超市随机选取 1000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买。

商品甲乙丙丁顾客人数100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××（Ⅰ）估计顾客同时购买乙和丙的概率（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？（18）（本小题14 分）如图，在三棱锥V ABC 中，平面VAB平面ABC ，VAB 为等边三角形，AC BC 且AC BC 2 ，O, M分别为AB,VA的中点。

（Ⅰ）求证：VB //平面MOC .（Ⅱ）求证：平面MOC平面VAB（Ⅲ）求三棱锥V ABC 的体积。

（19）（本小题13 分）设函数x2f (x)k ln x, k 02（Ⅰ）求 f (x) 的单调区间和极值；（Ⅱ）证明：若 f ( x) 存在零点，则 f ( x)在区间 (1, e] 上仅有一个零点。

(20)(本小题14 分)已知椭圆 C : x2 3 y2 3 ，过点且不过点的直线与椭圆 C 交于A, B两点，直线AE 与直线 x 3 交于点 M .（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若 AB 垂直于x轴，求直线BM 的斜率；（Ⅲ）试判断直线BM 与直线 DE 的位置关系，并说明理由。

参考答案一、选择题（共8小题，每小题 5 分，共 40分）（1）A（2）D（3）B（4）C （5）B（6）A（7）C（8）B 二、填空题（共6小题，每小题 5 分，共 30分）（9）-1（10）log25（ 11）（12）34（ 13）7（14）乙数学三、解答题（共6小题，共 80 分）（15）（共13 分）解：（Ⅰ）因为 f ( x)sin x3cos x3所以 f (x) 的最小正周期为2（Ⅱ）因为 0 x 2x，所以3323当 x，即 x时， f (x) 取得最小值33所以 f (x) 在区间 [0,2] 上的最小值为 f (2)333（16）（共13 分）解：（Ⅰ）设等差数列 { a n} 的公差为d因为 a4a32，所以d 2又因为 a1a210 ，所以 2a1 d 10 ，故 a1 4所以 a n42(n 1) 2n 2( n 1,2,...)（Ⅱ）设等比数列{b n } 的公比为q因为 b2a38, b3a716所以q 2, b14所以 b6 4 26 1128由 128 2n 2 得 n63所以 b6与数列 { a n} 的第63项相等（17）（共13 分）解：（Ⅰ）从统计表可以看出，在这1000 为顾客中有200 位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购200买乙和丙的概率可以估计为0.21000（Ⅱ）从统计表可以看出，在这1000 位顾客中有100 位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200 为顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了 2 种商品。

所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率可以估计为（Ⅲ）与（Ⅰ）同理，可得：100 20010000.3顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2000.2 ，1000顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为10020030010000.6 ，100顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为0.1，1000所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大。

（18）（共14 分）解：（Ⅰ）因为 O, M 分别为 AB ,VA 的中点，所以 OM // VB又因为 VB平面MOC，所以 VB // 平面 MOC（Ⅱ）因为AC BC ， O 为 AB 的中点，所以 OC AB又因为平面 VAB平面ABC，且OC平面ABC，所以 OC平面VAB所以平面 MOC平面VAB（Ⅲ）在等腰直角三角形ACB 中，AC BC2所以 AB 2,OC1所以等边三角形VAB 的面积 S VAB3又因为 OC平面VAB，所以三棱锥 C VAB 的体积等于1OC gS VAB3 33又因为三棱锥 V ABC 的体积与三棱锥 C VAB 的体积相等，所以三棱锥 V3 ABC 的体积为3（19）（共 13 分）解：x2k ln x(k 0) 得（Ⅰ）由 f ( x)2由 f (x) 0 解得 x kf ( x) 与 f ( x) 在区间 (0,) 上的情况如下：-0+所以， f (x) 的单调递减区间是(0, k ) ，单调递增区间是( k ,) ；f ( x) 在 x k 处取得极小值k (1 ln k)f ( k )2k(1ln k )（Ⅱ）由（Ⅰ）知， f (x) 在区间 (0,) 上的最小值为 f (k )，k(1ln k)2因为 f (x) 存在零点，所以e0 ，从而 k2当 k e时， f ( x)在区间(1, e)上单调递减，且 f ( e)0 ，所以 x e 是 f (x) 在区间 (1,e] 上的唯一零点。

当 k e时， f ( x)在区间(0,e) 上单调递减，且1e kf (1)0, f ( e)0 ，22所以 f (x) 在区间 (1, e] 上仅有一个零点。

综上可知，若 f ( x) 存在零点，则 f ( x) 在区间 (1,e] 上仅有一个零点。

（20）（共14 分）解：（Ⅰ）椭圆 C 的标准方程为x2y213所以 a3, b 1,c2c6所以椭圆 C 的离心率e3a（Ⅱ）因为 AB 过点D (1,0)且垂直于x轴，所以可设A(1,y1), B(1,y1)直线 AE 的方程为y1(1y1)( x2)令 x3，得M (3,2y1 )所以直线 BM 的斜率k BM 2 y1y1131（Ⅲ）直线 BM 与直线DE平行。

证明如下：当直线 AB的斜率不存在时，有（Ⅱ）可知kBM1又因为直线 DE的斜率k DE 101，所以BM // DE 21当直线 AB的斜率存在时，设其方程为y k ( x1)(k1)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，则直线AE的方程为 y1y11( x2)x11令 x 3 ，得点M (3,y1x13) x12x 2 3y 2 3, 得 (1 3k 22 6k 2 x 3k2 3 0由k( x 1)) xy所以 x 1x 2 6k 22, x 1 x2 3k 231 3k1 3k 2y 1x 1 3 y 2x 1 2直线 BM 的斜率 k BM3 x 2因为 k BM1k( x 1 1) x 13 k( x 2 1)( x 12) (3 x 2 )( x 1 2)(3x 2 )( x 1 2)所以 k BM 1kDE所以 BM // DE综上可知，直线BM 与直线 DE 平行。