2020年浙江省宁波市镇海中学高考数学模拟试卷（二）（5月份）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.已知集合M={x|−3<x<2}，N={x|(12)x⩽4}，则()A. M∩N=(−2,2)B. M∩N=(−3,−2)C. M∪N=[−2,+∞)D. M∪N=(−3,+∞)2.在正方形内任取一点，则该点在正方形的内切圆内的概率为()A. π12B. π4C. π3D. π23.已知i为虚数单位，若复数z=1−ti1+i在复平面内对应的点在第四象限，则t的取值范围为()A. [−1,1]B. (−1,1)C. (−∞,−1)D.(1,+∞)4.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图所示，则f(5π6)=()A. −√22B. √22C. √32D. −√325.如果a>b，那么在①1a <1b；②a3>b3；③lg(a2+1)>lg(b2+1)；④2a>2b中，正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6.已知函数f(x)=x3−12x+a，其中a≥16，则f(x)零点的个数是()A. 0个或1个B. 1个或2个C. 2个D. 3个7.随机变量ξ的分布列如下表，且E(ξ)=1.1，则D(ξ)等于()ξ01xP15p3108.不等式组{2x+y−6≤0,x+y−3≥0,y≤2表示的平面区域的面积为()A. 4B. 1C. 5D. 无穷大9. 已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 29+y 28=1的左、右焦点，点E 是椭圆C 上的动点，则EF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·EF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值、最小值分别为( )A. 9，7B. 8，7C. 9，8D. 17，810. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BC ，A 1D 1的中点，则BC 与平面EDF 所成角的余弦值为( )A. 13B. √23 C. √33 D. √63二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积(单位：cm 3)为______ cm 3．12. 已知在(1−2x)n 的展开式中，各项的二项式系数之和是64，则(1+2x)n (1−2x 2)的展开式中，x 4项的系数是__________． 13. 若lga +lgb =1，则ab =__________ 14. 若−4<x <1，则x 2−2x+22x−2的最大值为_________．15. 数列{a n }中，a n+1=an1+3a n ,a 1=2，则 a 20= ______ ．16. 如图，已知AC =BC =4，∠ACB =90°，M 为BC 的中点，D 为以AC 为直径的圆上一动点，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值是______．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）17. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量m ⃗⃗⃗ =(b,2a −c)，n ⃗ =(cosB,cosC)，且m⃗⃗⃗ //n ⃗ (1)求角B 的大小；(2)设f(x)=cos(ωx −B2)+sinωx (ω<0)，且f(x)的最小正周期为π，求f(x)的单调区间．18.如图，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中点(1)求证：平面CEM⊥平面ABDE；(2)求直线DE与平面CEM所成角的正切值．19.已知C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长2√3，离心率为12，圆O：x2+y2=b2．(1)求椭圆C和圆O的方程；(2)过椭圆左焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，|AB|=165，若直线l于圆O交于M，N两点，求直线l的方程及△OAB与△OMN的面积之比．20.若函数f(x)=13x3−12ax2+(a−1)x在区间(1,4)上单调递减，在区间(6,+∞)上单调递增，试求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析： 【分析】本题考查了集合的运算，以及指数不等式的解法，属于基础题．根据指数不等式的解法得到N ={x|x ⩾−2}，再由集合的并集的概念得到结果． 【解答】解：集合M ={x|−3<x <2}， N ={x|(12)x≤4}={x|x ≥−2}， 根据集合的并集的概念得到．故选D ．2.答案：B解析：解：设圆的半径为r ，则正方形的边长为2r ∴圆的面积为πr 2，正方形的面积为4r 2 以面积为测度，可得点P 落在⊙O 内的概率为πr 24r 2=π4故选：B ．以面积为测度，计算圆的面积，正方形的面积，即可求得点P 落在⊙O 内的概率． 本题考查几何概型，考查面积的计算，属于基础题．3.答案：B解析： 【分析】本题主要考查复数的四则运算与几何意义，属于基础题．根据复数的四则运算化简得z =1−t−(t+1)i2，再根据复数的几何意义得{1−t2>0−t+12<0,解不等式组即可得答案． 【解答】解：由题意得，z =1−ti 1+i=(1−ti)(1−i)2=1−t−(t+1)i2，∵复数z =1−ti 1+i在复平面内对应的点在第四象限，∴{1−t2>0−t+12<0⇒−1<t<1．故选B．4.答案：B解析：解：由图象可知：T=2×2π3=2πω，解得ω=32．且f(2π3)=sin(32×2π3+φ)=1，取φ=−π2．∴f(x)=sin(3π2x−π2)，∴f(5π6)=sin(3π2×5π6−π2)=sin3π4=√22．故选：B．由图象可知：T=2×2π3=2πω，解得ω=32.且f(2π3)=sin(32×2π3+φ)=1，取φ=−π2.即可得出．本题考查了三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.答案：B解析：解：①不正确，如a=1，b=−1时，尽管a>b，但1a <1b不成立．②正确，∵a>b，a−b>0，∴a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)=(a−b)[(a+b2)2+34b2]>0，∴a3>b3．③不正确，如a=0，b=−2时，a2+1=1，b2+1=5，∴lg(a2+1)<lg(b2+1)．④正确，∵a>b，函数y=2x在R上是增函数，故有2a>2b．故选B．通过举反例可得①、③不正确，利用做差比较法可得②正确，根据函数y=2x在R上是增函数可得④正确．本题主要考查不等式与不等关系，不等式性质的应用，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．属于基础题．6.答案：B解析：解：因为f′(x)=3x2−12，由f′(x)>0得x>2或x<−2，此时函数单调递增，由f′(x)<0得−2<x<2，此时函数单调递减，因此，f(x)在x=−2时取得极大值f(−2)=a+16，f(x)在x=2时取得极小值f(2)=a−16，由a≥16得，a+16>0，a−16≥0，因此f(x)与x轴的交点有1个或2个．故选：B求函数的导数，判断函数的单调性和极值，即可得到结论．本题主要考查函数单调性，函数极值的判断以及零点的判定方法．利用导数是解决本题的关键．7.答案：C解析：【分析】本题考查离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，属于基础题．由随机变量ξ的分布列及E(ξ)=1.1，列方程组求出p=12，x=2，由此能求出D(ξ)．【解答】解：先由随机变量分布列的性质求得p=12，由E(ξ)=0×15+1×12+310x=1.1，得x=2，所以D(ξ)=(0−1.1)2×15+(1−1.1)2×12+(2−1.1)2×310=0.49．故选C．8.答案：B解析：【分析】本题考查简单的线性规划，由不等式组画出可行域即可解得面积，属于基础题．求出点A，B，C的坐标，得△ABC的面积【解答】解：不等式组{2x+y−6≤0,x+y−3≥0,y≤2表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC的面积为所求．求出点A，B，C的坐标，分别为A(1,2),B(2,2),C(3,0)，则△ABC的面积为S=12×(2−1)×2=1．9.答案：B解析： 【分析】本题主要考查了椭圆的应用，考查椭圆的性质，解答的关键是运用平面向量的数量积的坐标表示． 设出点E 的坐标，进而可表示出EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 1，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 2，运用向量的数量积的坐标表示和x 的范围确定EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 1⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 2的最值． 【解答】 解：由椭圆C ：x 29+y 28=1可得a =3，b =2√2，c =√a 2−b 2=1，知F 1(−1,0)，F 2(1,0)， 设E(x,y)，即有x 29+y 28=1，即y 2=8(1−x 29)，则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 1=(−1−x,−y)，EF⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(1−x,−y)， EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 1⋅EF⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(−1−x)(1−x)+y 2 =x 2+y 2−1=7+x 29，∵x ∈[−3,3]，∴0≤x 2≤9， 故EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 1⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 2的最大值∈[7,8] 故最大值8，最小值7． 故选B ．10.答案：C解析： 【分析】本题考查线面角的余弦值的求法，考查利用空间向量求线面的夹角，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出。