习题22-1 质量为16kg 的质点在xOy 平面内运动，受一恒力作用，力的分量为6N x f =，7N y f =，当0t =时，0x y ==，2m /s x v =-，0y v =。

当2s t =时，求： (1) 质点的位矢； (2) 质点的速度。

解：由 x x f a m =，有：x a 263m /168s ==，27m /16y y f a s m -== （1）2003522m /84x x xv v a dt s =+=-+⨯=-⎰， 200772m /168y y y v v a dt s -=+=⨯=-⎰。

于是质点在2s 时的速度：57m /s 48v i j =--v v v（2）22011()22x y r v t a t i a t j =++v v v1317(224)()428216i j -=-⨯+⨯⨯+⨯v v137m 48i j =--v v2-2 摩托快艇以速率v 0行驶，它受到的摩擦阻力与速率平方成正比，可表示为F = -kv 2(k 为正值常量)。

设摩托快艇的质量为m ，当摩托快艇发动机关闭后，求： (1) 求速率v 随时间t 的变化规律； (2) 求路程x 随时间t 的变化规律；(3) 证明速度v 与路程x 之间的关系为x0ek v v '-=，其中m k k /='。

解：（1）由牛顿运动定律F ma =得：2d v kv md t -=，分离变量有2k d vd t m v-=， 两边积分得：速率随时间变化的规律为011k t v v m=+； （2）由位移和速度的积分关系：0tx v dt =⋅⎰，积分有：000111ln()ln 1tk k k x dt t k m v m m v t v m=⋅=+-+⎰∴路程随时间变化的规律为：0ln(1)k kx v t m m=+ ； （3）由2d v d x kv md x d t -=⋅，k d v d x m v -=，∴00xv v k dv dx m v -=⎰⎰积分有：x0k v v e'-=。

2-3．质量为m 的子弹以速度0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求：(1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；(2) 子弹进入沙土的最大深度。

解：（1）由题意，子弹射入沙土中的阻力表达式为：f kv =- 又由牛顿第二定律可得：dv f m dt =，则dv kv m dt-= 分离变量，可得：dv k dt v m =-，两边同时积分，有：000t v dv kdt v m=-⎰⎰，所以：t mke v v -=0（2）子弹进入沙土的最大深度也就是0v =的时候子弹的位移，则：考虑到dv dv dx dt dx dt =，dx v dt =，可推出：mdx dv k=-，而这个式子两边积分就可以得到位移：00max0v m m x dv v k k=-=⎰ 。

2-4．一条质量分布均匀的绳子，质量为M 、长度为L ，一端拴在竖直转轴OO ′上，并以恒定角速度ω在水平面上旋转．设转动过程中绳子始终伸直不打弯，且忽略重力，求距转轴为r 处绳中的张力T ( r )．解：在绳子L 上距离转轴为r 处取一小段微元绳子，假设其质量为dm ，可知：M dm dr L=，因为它做的是圆周运动，所以微元绳的所受合力提供向心力：LMdrrrdm r dT 22ωω==）（。

距转轴为r 处绳中的张力T ( r )将提供的是r 以外的绳子转动的向心力，所以两边积分：）（）（）（2222r L LM r dT r T Lr-==⎰ω。

2-5．已知一质量为m 的质点在x 轴上运动，质点只受到指向原点的引力作用，引力大小与质点离原点的距离x 的平方成反比，即2/x k f -=，k 是比例常数．设质点在A x =时的速度为零，求质点在4/A x =处的速度的大小。

解：由题意：2k f x =-，再由牛顿第二定律可得：2k dv m x dt-=， 考虑到dv dv dx dt dx dt =，dx v dt =，可推出：2k mvdv dx x =- 两边同时取积分，则：/4201v A A m vdv k dx x=-⎰⎰ 有：mAkv 6=2-6．一质量为kg 2的质点，在xy 平面上运动，受到外力2424F i t j =-v v v (SI)的作用，0=t 时，它的初速度为034v i j =+v v v(SI)，求s t 1=时质点的速度及受到的法向力n F 。

解：由于是在平面运动，所以考虑矢量。

由：d v F m d t =v v ，有：24242d v i t j dt-=⋅v v v ，两边积分有：0201(424)2vt v d v i t j dt =-⎰⎰v v v ，∴3024v v t i t j =+-v v v v ， 考虑到034v i j =+v v v ，s t 1=，有15v i =v v由于在自然坐标系中，t v v e =v v ，而15v i =v v（s t 1=时），表明在s t 1=时，切向速度方向就是i v 方向，所以，此时法向的力是j v 方向的，则利用2424F i t j =-v v v ，将s t 1=代入有424424t n F i j e e =-=-v v v v v ，∴24n F N =-。

2-7．如图，用质量为1m 的板车运载一质量为2m 的木箱，车板与箱底间的摩擦系数为μ，车与路面间的滚动摩擦可不计，计算拉车的力F 为多少才能保证木箱不致滑动？解法一：根据题意，要使木箱不致于滑动，必须使板车与木箱具有相同的加速度，且上限车板与箱底间为最大摩擦。

即：max 212222f m g f Fa m m m m m μ==<=+可得：12()F m m g μ<+解法二：设木箱不致于滑动的最大拉力为max F ，列式有：max 2122F m g m am g m aμμ-==联立得：max 12()F m m g μ=+， 有：12()F m m g μ<+。

2-8．如图所示一倾角为θ的斜面放在水平面上，斜面上放一木块，两者间摩擦系数为)(θμtg <。

为使木块相对斜面静止，求斜面加速度a 的范围。

解法一：在斜面具有不同的加速度的时候， 木块将分别具有向上和向下滑动的趋势，这就是加速度的两个范围，由题意，可得：（1）当木块具有向下滑动的趋势时（见图a ），列式为：sin cos N N mg μθθ+= 1sin cos N N ma θμθ-= 可计算得到：此时的θμμθtan 1tan 1+-=a g（2）当木快具有向上滑动的趋势时（见图b ），列式为：sin cos N mg N μθθ+=2sin cos N N ma θμθ+=可计算得到：此时的θμμθtan 1tan 2-+=a g ，所以：tan tan 1tan 1tan g a g θμθμμθμθ-+≤≤+-。

解法二：考虑物体m 放在与斜面固连的非惯性系中， 将物体m 受力沿'x 和'y 方向分解，如图示，同时考虑非惯性力，隔离物块和斜面体，列出木块平衡式： 'x 方向：sin cos 0mg ma f θθ-±='y 方向：cos sin 0N mg ma θθ--= 考虑到f N μ=，有：sin cos (cos sin )0mg ma mg ma θθμθθ-±+=，θx 'y Nmamg解得：sin cos tan cos sin 1tan a g g θμθθμθμθμθ±±==m m 。

∴a 的取值范围：tan tan 1tan 1tan g a g θμθμμθμθ-+≤≤+-。

2-9 密度为ρ1的液体，上方悬一长为l ，密度为ρ2的均质细棒AB ，棒的B 端刚好和液面接触。

今剪断绳，并设棒只在重力和浮力作用下下沉，求： (1) 棒刚好全部浸入液体时的速度；(2) 若ρ2<ρ1/2，棒进入液体的最大深度； (3) 棒下落过程中能达到的最大速度。

解：（1）由牛顿运动定律G F ma -=n 得：212d v g l S g x S l S d t ρρρ⋅-⋅=⋅⋅，考虑到d v d v d x d t d x d t =⋅，d xv d t=，分离变量，有：212g l g xv d v d x l ρρρ-⋅=，棒刚好全部浸入液体时，速度为v ，此时x l =, 则两边积分，21002vlg l g xv d v d x lρρρ-⋅=⎰⎰得：212122g l v g l ρρ=-，∴212(2)gl v ρρρ-= （2）由212(2)glv ρρρ-=2120ρρ->，即：122ρρ>，假若有条件122ρρ<，则棒不能全部浸入液体；若122ρρ<，设棒进入液体的最大深度为h ，由积分2102vhg l g xv d v d x lρρρ-⋅=⎰⎰可得：2212122g h v g h lρρ=-，考虑到棒在最大深度时速度为零，有：212l h ρρ=。

（3）由牛顿运动定律G F ma -=n 知，当G F =n 时，0a =，速度最大（设为m v ） 有：21g l S g x S ρρ⋅=⋅，即21lx ρρ=， 由积分212102mlv g l g xv d v d x lρρρρρ-⋅=⎰⎰，有：222121211()22m l g l v g l ρρρρρρ=⋅-，∴21m g lv ρρ2-10．圆柱形容器内装有一定量的液体，若它们一起绕圆柱轴以角速度ω匀速转动，试问稳定旋转时液面的形状如何？解：取容器内稳定旋转液面某处一小块液体微元m ∆，m ∆受重力mg ∆v和支持力N v 的作用，考虑yoz 剖面，受力分析如图示。

列式：2sin N m y αω=∆ ①，cos N mg α=∆ ②①/②有：2tan ygωα=，又由导数几何意义，有：tan d zd yα=∴ 2ydz dy g ω=，积分有： C y gωz +=222 当 0=y 时 0z z = 所以 0z C =0222z y gωz +=，表明yoz 剖面上，形成液面的抛物线；同理，在xoz 剖面上，可得：2202z x z gω=+，稳定旋转时液面是一个抛物面，综上，在立体的三维坐标xyz 上，抛物面的方程为：2220()2z x y z gω=++。

2-11．质量为2m 的物体可以在劈形物体的斜面上无摩擦滑动， 劈形物质量为1m ，放置在光滑的水平面上，斜面倾角为θ， 求释放后两物体的加速度及它们的相互作用力。