[编辑本段]解一元三次方程的卡尔丹公式法卡尔丹公式法特殊型一元三次方程X^3＋pX＋q=0 (p、q∈R)。
判别式Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3。
卡尔丹公式X1=(Y1)^(1/3)＋(Y2)^(1/3)；X2= (Y1)^(1/3)ω＋(Y2)^(1/3)ω^2；X3=(Y1)^(1/3)ω^2＋(Y2)^(1/3)ω，其中ω=(－1＋i3^(1/2))/2；Y(1,2)=－(q/2)±((q/2)^2＋(p/3)^3)^(1/2)。
标准型一元三次方程aX ^3＋bX ^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
令X=Y—b/(3a)代入上式。
可化为适合卡尔丹公式直接求解的特殊型一元三次方程Y^3＋pY＋q=0。
卡尔丹判别法当Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；当Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；当Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3<0时，方程有三个不相等的实根。
解一元三次方程的其他方法[编辑本段]解一元三次方程的其他方法除了上文中的卡尔丹公式解法，一元三次方程还有其它解法，列举如下：1.因式分解法因式分解法不是对所有的三次方程都适用，只对一些简单的三次方程适用．对于大多数的三次方程，只有先求出它的根，才能作因式分解。
当然，对一些简单的三次方程能用因式分解求解的，当然用因式分解法求解很方便，直接把三次方程降次。
例如：解方程x^3-x=0对左边作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0，得方程的三个根：x1=0；x2=1；x3=—1。
2.另一种换元法对于一般形式的三次方程，先将方程化为x^3+px+q=0的特殊型。
令x=z—p/3z，代入并化简，得：z^3-p/27z+q=0。
再令z=w，代入，得：w^2+p/27w+q=0．这实际上是关于w的二次方程。
解出w，再顺次解出z，x。
3.盛金公式法三次方程应用广泛。
用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。
范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法．盛金公式Shengjin’s Formulas一元三次方程aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
重根判别式：A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd，总判别式：Δ=B^2－4AC。
当A=B=0时，盛金公式①：X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。
当Δ=B^2－4AC>0时，盛金公式②：X1=(－b－(Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(3a)；X2，X3=(－2b＋(Y1)^(1/3)＋(Y2)^(1/3))/(6a)±i3^(1/2)((Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(6a)，其中Y1，Y2=Ab＋3a(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2，i^2=－1。
当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③：X1=－b/a＋K；X2=X3=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)。
当Δ=B^2－4AC<0时，盛金公式④：X1=(－b－2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a)；X2，X3=(－b＋A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)，其中θ=arccosT，T= (2Ab－3aB)/(2A^(3/2))，(A＞0，－1＜T＜1)。
盛金判别法[回目录]盛金判别法Shengjin's Distinguishing Means①：当A=B=0时，方程有一个三重实根；②：当Δ=B^2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；③：当Δ=B^2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；④：当Δ=B^2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。
盛金定理[回目录]盛金定理Shengjin's Theorems当b=0，c=0时，盛金公式①无意义；当A=0时，盛金公式③无意义；当A≤0时，盛金公式④无意义；当T＜-1或T＞1时，盛金公式④无意义。
当b=0，c=0时，盛金公式①是否成立？盛金公式③与盛金公式④是否存在A≤0的值？盛金公式④是否存在T＜-1或T＞1的值？盛金定理给出如下回答：盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式①仍成立）。
盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时,适用盛金公式①解题）。
盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时,适用盛金公式①解题）。
盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。
盛金定理5：当A＜0时，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。
盛金定理6：当Δ=0时，若B=0，则必定有A=0（此时，适用盛金公式①解题）。
盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式③一定不存在A≤0的值（此时，适用盛金公式③解题）。
盛金定理8：当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在A≤0的值。
（此时，适用盛金公式④解题）。
盛金定理9：当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出现的值必定是-1＜T＜1。
显然，当A≤0时，都有相应的盛金公式解题。
注意：盛金定理逆之不一定成立。
如：当Δ＞0时，不一定有A＜0。
盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。
任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。
当Δ=0(d≠0)时，使用卡尔丹公式解题仍存在开立方。
与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别方程的解较直观。
重根判别式A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd是最简明的式子，由A、B、C构成的总判别式Δ=B^2－4AC也是最简明的式子（是非常美妙的式子），其形状与一元二次方程的根的判别式相同；盛金公式②中的式子(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2具有一元二次方程求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。
一元三次方程求根公式[回目录]一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。
卡尔丹公式的推导第一步：ax^3+bx^2+cx+d=0为了方便，约去a得到x^3+kx^2+mx+n=0令x=y-k/3 ，代入方程(y-k/3)^3+k(y-k/3)^2+m(y-k/3)+n=0 ，(y-k/3)^3中的y^2项系数是-k ， k(y-k/3)^2中的y^2项系数是k ，所以相加后y^2抵消，得到y^3+py+q=0，其中p=(-k^2/3)+m ， q=(2(k/3)^3)-(km/3)+n。
第二步：方程x^3+px+q=0的三个根为：x1=[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+ [-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)；x2=w[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+ w^2[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)；x3=w^2[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+ w[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)，其中w=(-1+i√3)/2。
×推导过程：1、方程x^3=1的解为x1=1，x2=-1/2+i√3/2=ω，x3=-1/2-i√3/2=ω^2 ；2、方程x^3=A的解为x1=A^(1/3)，x2=A^(1/3)ω，x3=A^(1/3)ω^2 ，3、一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),两边同时除以a,可变成x^3+ax^2+bx+c=0的形式。
再令x=y-a/3,代入可消去次高项，变成x^3+px+q=0的形式。
设x=u+v是方程x^3+px+q=0的解，代入整理得：(u+v)(3uv+p)+u^3+v^3+q=0 ①，如果u和v满足uv=-p/3,u^3+v^3=-q则①成立，由一元二次方程韦达定理u^3和V^3是方程y^2+qy-(p/3)^3=0的两个根。
解之得，y=-q/2±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)，不妨设A=-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2),B=-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)，则u^3=A；v^3=B ，u= A^(1/3)或者A^(1/3)ω或者A^(1/3)ω^2 ；v= B^(1/3)或者B^(1/3)ω或者B^(1/3)ω^2 ，但是考虑到uv=-p/3，所以u、v只有三组解：u1= A^(1/3)，v1= B^(1/3)；u2=A^(1/3)ω，v2=B^(1/3)ω^2；u3=A^(1/3)ω^2，v3=B^(1/3)ω，最后：方程x^3+px+q=0的三个根也出来了，即x1=u1+v1=A^(1/3)+B^(1/3)；x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2；x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。
卡尔丹公式方程x^3+px+q=0，（p，q∈R）判别式△=(q/2)^2+(p/3)^3。
x1=A^(1/3)+B^(1/3)；x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2；x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。
这就是著名的卡尔丹公式。
卡尔丹判别法当△=(q/2)^2+(p/3)^3>0时，有一个实根和一对个共轭虚根；当△=(q/2)^2+(p/3)^3=0时，有三个实根，其中两个相等；当△=(q/2)^2+(p/3)^3<0时，有三个不相等的实根。
根与系数的关系[回目录]设ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0）的三根为x1，x2，x3，则x1+x2+x3=-b/a；x1x2+x2x3+x1x3=c/a；x1x2x3=-d/a。
一个三次方求根计算方法[回目录]下面介绍一个三次方求根计算方法：X(n+1)=Xn+[A/X^2-Xn）1/3n,n+1是下角标，A被开方数。
例如，A=5，5介于1的3次方至2的3次方之间。
X0可以取1.1；1.2；1.3；1.4；1.5；1.6；1.7；1.8；1.9；2.0我们可以随意代入一个数，例如2，那么：第一步，2+[5/（2×2）-2]×1/3=1.7=X1；第二步，1.7+[5/(1.7×1.7)-1.7]×1/3=1.71=X2；第三步，1.71+[5/(1.71×1.71)-1.71]×1/3=1.709=X3；每次多取一位数。