神奇的“洛书”幻方
幻方也叫纵横图，是具有如下奇特性质的数字方阵：把从1开始的若干个连续的自然数放在棋盘状方阵的每个方格中.在一定放法下，能正好形成各行、各列以及两条主对角线上各数字之和都相等的奇妙结果，这样的数字方阵就叫纵横图或幻方.如果棋盘有n×n个方格，就叫n阶幻方.
幻方的发现及对它的研究，是人类智慧和文明的一个重要标志.因此，当1977年美国发射旅行者1号、2号宇宙飞船时，为了寻找外星文明，与“外星人”沟通和建立信息，搭载了一些代表人类和人类文明的金属画面，其中，代表人类在数学上的成就的，除了勾股弦外，就是一个四阶幻方.
幻方的发现是中国古代文明的象征，是值得中国人骄傲的.据古书记载，大约公元前 2200年，在夏禹治水时，洛水（今陕西洛河）里浮出一只大神龟，此龟神在背上有黑白小圆圈45个，排列如图1.后人把此图称为“洛书”，把图中这些小圆圈依序用数字排列起来，就是图2所示三阶幻方.
“洛书”的传说始于北宋，当时，把“洛书”奉为天授神物，玄之又玄（传说中还有“河图”之说）.这显然是把数学神秘化的一种故弄玄虚的手段.据考证，这个三阶幻方最早见于公元前500年左右春秋时期的《大戴礼记》中.汉朝徐岳把它叫“九宫算”，其注解是“九宫者，即二、四为肩，六、八为足，左三、右七，戴九、履一，五居其中”.后又有民间歌诀“四海三山八洞仙，九龙五子一枝莲，二七六郎赏月半，周围十五月团圆”均指这个三阶幻方.也指出了“洛书”在数学方面的奇迹，神妙地排列了一至九这九个数，它的横三行、竖三列，两条对角线共八条直线的三个数之和均为十五.如果我们把经过旋转和反射（镜象映射）以后所产生的幻方，看作完全相同的幻方，那么，三阶幻方的排列方法只有一种，就是“洛书”.
欧洲人知道幻方的存在已经是 15 世纪的事了，比中国人晚了3000多年.据说是由一个印度僧人首先带去的.
幻方在15世纪从中国经由亚洲其他国家传入欧洲以后，引起欧洲人的极大兴趣.许多数学家致力于构造各式各样的幻方，其盛况甚至被反映到美术作品中来.1514年，著名的画家兼文艺理论家丢勒在他创作的一幅铜版画“忧伤”中，就有一个4阶幻方.尤其有趣的是,这个幻方底下一排的中间两个方格中的数字合在一起，正好就是丢勒创作这幅版画的年份.这究竟是丢勒巧妙的有意安排，还是偶然的巧合就不得而知了.
幻方貌似简单，其实蕴含着无穷的奥秘，大数学家欧拉、发明家富兰克林都曾深入地研究过它.香港业余数学家黄志华先生发现了下面有趣的现象：
用幻方中的1，3，9，7顺时针构造四个两位数：97，71，13，39，以及逆时针构造四个两位数：31，17，79，93.他用计算器验算出
97+71+13+39=31+17+79+93，
972+712+132+392=312+172+792+932，
973+713+133+393=313+173+793+933．
顺着黄先生的思路，我们构造两个三位数组：139，397，971，713及179，793，931，317.计算机验算，同样发现
139+397+971+713=179+793+931+317，
1392+3972+9712+7132=1792+7932+9312+3172，
1393+3973+9713+7133=1793+7933+9313+3173.
这是何等的神奇！
不仅如此，幻方还与体育比赛、人工智能、建筑设计有关.表明人类的智慧是何等的深邃、广博.一个3×3幻方竟出现在古代西藏人印玺的中央，这是数学思想没有国家和地区疆界的例证.
如果我们仔细分析，可以发现“洛书”还有许多奇妙之处.
一、横三行（或竖三列）的三个三位数（或三个二位数）构成回码等式（等号右边各数，是对照等号左边的各数，把数码颠倒过来）：
（1）492＋357＋816=294＋753＋618=1665
（2）438＋951＋276=834＋159＋672=1665
（3）92＋57＋16=29＋75＋61=165
（4）43＋95＋27=34＋59＋72=165
（5）4922＋3572＋8162=2942＋7532＋6182=1035369
（6）4382＋9512＋2762=8342＋1592＋6722=1172420
二、被居中“5”隔开的四个二位数构成回码等式，且退至相同位置的一位数等式仍成立：
（7）91＋28＋64＋37=19＋82＋46＋73=220
（8）912＋282＋642＋372=192＋822＋462＋732=14530
（9）9＋2＋6＋3=1＋8＋4＋7=20
（10）92＋22＋62＋32=12＋82＋42＋72=130
三、以5居中的四个三位数构成回码等式：
（11）951＋258＋654＋357=159＋852＋456＋753=2220
（12）9512＋2582＋6542＋3572=1592＋8522＋4562＋7532=1526130
由上面等式的结果中，我们还可以得到另一些等式，如比较（3），（4）式，得：
92＋57＋16=43＋95＋26=165
由（11）式，依次任取其中的二位数（或一位数）均能构成回码等式或等式，如：
51＋58＋54＋57=15＋85＋45＋75=220
由（3），（12）式，还可以通过数字的搬动，再构成型同、数不同的回码等式或等式56个.如：98＋24＋67＋31=89＋42＋76＋13=220
982＋242＋672＋312=892＋422＋762＋132=15630
同学们只要肯动脑筋，还可以发现“洛书”中更多有趣的等式，这对于激发我们学习数学的兴趣，增强我们探索问题的信心，将是非常有益的.。