2007年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅱ卷)数学（理）试题（必修+选修Ⅱ） 第Ⅰ卷（选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P （A+B ）=P （A ）+P （B ） S=42R π如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径， P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 V=334R π，n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径P n (k)=C knP k (1－P)n －k一、选择题1．sin 210=（ ）A ．32B ．32-C ．12D ．12-2．函数sin y x =的一个单调增区间是（ ）A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭，B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭， C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D ．32π⎛⎫π⎪2⎝⎭， 3．设复数z 满足12ii z+=，则z =（ ） A ．2i -+B ．2i --C ．2i -D ．2i +4．下列四个数中最大的是（ ） A ．2(ln 2)B ．ln(ln 2)C ．ln 2D ．ln 25．在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（ ） A ．23B ．13C ．13-D ．23-6．不等式2104x x ->-的解集是（ ）A ．(21)-，B ．(2)+∞，C ．(21)(2)-+∞，，D ．(2)(1)-∞-+∞，，7．已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长与底面边长相等，则1AB 与侧面11ACC A 所成角的正弦值等于（ ）A ．64B ．104C ．22D ．328．已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．129．把函数e x y =的图像按向量(23)=，a 平移，得到()y f x =的图像，则()f x =（ ） A ．3e2x -+ B ．3e2x +- C ．2e3x -+ D ．2e3x +-10．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ） A ．40种B ．60种C ．100种D ．120种11．设12F F ，分别是双曲线2222x y a b-的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ∠=且123AF AF =，则双曲线的离心率为（ ） A ．52B ．102C ．152D ．512．设F 为抛物线24y x =的焦点，A B C ，，为该抛物线上三点，若FA FB FC ++=0，则F A F B F C ++=（ ） A ．9B ．6C ．4D ．3第Ⅱ卷（非选择题） 本卷共10题，共90分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．821(12)x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ．（用数字作答）14．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1)(0)N σσ>，．若ξ在(01)，内取值的概率为0.4，则ξ在(02)，内取值的概率为 ．15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2．16．已知数列的通项52n a n =-+，其前n 项和为n S ，则2limnn S n ∞=→ ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 在ABC △中，已知内角A π=3，边23BC =．设内角B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域； （2）求y 的最大值． 18．（本小题满分12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A =．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，求ξ的分布列． 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，，分别为AB SC ，的中点． （1）证明EF ∥平面SAD ；（2）设2SD DC =，求二面角A EF D --的大小．20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线34x y -=相切． （1）求圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A B ，两点，圆内的动点P 使PA PO PB ，，成等比数列，求PA PB 的取值范围．AEBCFSD21．（本小题满分12分）设数列{}n a 的首项113(01)2342n n a a a n --∈==，，，，，，…． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设32n n n b a a =-，证明1n n b b +<，其中n 为正整数．22．（本小题满分12分） 已知函数3()f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；（2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<．答案解析一、选择题 1.答案：D解析：sin2100=1sin 302-︒=-，选D 。

2.答案：C解析：函数f(x)=|sinx|的一个单调递增区间是(23π)，选C 。

3.答案：C解析：设复数z=a bi +, (a ，b ∈R)满足z i21+=i ，∴ 12i ai b +=-，21a b =⎧⎨=-⎩，∴ z =2i -，选C 。

4.答案：D解析：∵ 0ln 21<<，∴ ln(ln2)<0，(ln2)2< ln2，而ln 2=21ln2<ln2，∴ 最大的数是ln2，选D 。

5.答案：A解析：在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ，CD =CB CA λ+31，则22()33CD CA AD CA AB CA CB CA =+=+=+-1233CA CB +=32，选A 。

6.答案：C 解析：不等式:412--x x >0，∴ 10(2)(2)x x x ->+-，原不等式的解集为(-2, 1)∪(2, +∞)，选C 。

7.答案：A解析：已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，取A 1C 1的中点D 1，连接BD 1，AD 1，∠B 1AD 1是AB 1与侧面ACC 1A 1所成的角，11362sin 42B AD ∠==，选A 。

8.答案：A解析：已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12，13'2y x x =-=21，解得x=3或x=－2，由选择项知，只能选A 。

9.答案：C解析：把函数y =e x的图象按向量a =(2,3)平移，即向右平移2个单位，向上平移3个单位，平移后得到y =f (x )的图象，f (x )= 23x e -+，选C 。

10.答案：B解析：从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有225360C A =种，选B 。

11.答案：B解析：设F 1，F 2分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点。

若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90º，且|AF 1|=3|AF 2|，设|AF 2|=1，|AF 1|=3，双曲线中122||||2a AF AF =-=，22122||||10c AF AF =+=，∴ 离心率102e =，选B 。

12.答案：B解析：设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若FC FB FA ++=0，则F 为△ABC 的重心，∴ A 、B 、C 三点的横坐标的和为F 点横坐标的3倍，即等于3， ∴ |FA|+|FB|+|FC|=(1)(1)(1)6A B C x x x +++++=，选B二、填空题 13.42-解析：(1+2x 2)(x －1x)8的展开式中常数项为4338812(1)C C ⋅+⋅⋅-=－42。

14.0.8解析：在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N （1，σ2）（σ>0），正态分布图象的对称轴为x=1，ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，可知，随机变量ξ在(1，2)内取值的概率于ξ在(0，1)内取值的概率相同，也为0.4，这样随机变量ξ在(0，2)内取值的概率为0.8。

15.242+解析：一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上。

正四棱柱的对角线的长为球的直径，现正四棱柱底面边长为1cm ，设正四棱柱的高为h ，∴ 2R=2=22211h ++，解得h=2，那么该棱柱的表面积为2+42cm 2.16.52-解析：已知数列的通项a n =－5n +2，其前n 项和为S n(51)2n n --，则2lim n n Sn →∞=－25。

三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.解：（1）ABC △的内角和A B C ++=π，由00A B C π=>>3，，得20B π<<3. 应用正弦定理，知23sin sin 4sin sin sin BC AC B x x A ===π3，2sin 4sin sin BC AB C x A π⎛⎫==- ⎪3⎝⎭. 因为y AB BC AC =++，所以224sin 4sin 2303y x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+<<⎪ ⎪3⎝⎭⎝⎭，（2）因为14sin cos sin 232y x x x ⎛⎫3=+++ ⎪ ⎪2⎝⎭543sin 23x x ππππ⎛⎫⎛⎫=++<+< ⎪ ⎪6666⎝⎭⎝⎭，所以，当x ππ+=62，即x π=3时，y 取得最大值63. 18.解：（1）记0A 表示事件“取出的2件产品中无二等品”，1A 表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”.则01A A ，互斥，且01A A A =+，故01()()P A P A A =+012122()()(1)C (1)1P A P A p p p p =+=-+-=-于是20.961p =-.解得120.20.2p p ==-，（舍去）.（2）ξ的可能取值为012，，. 若该批产品共100件，由（1）知其二等品有1000.220⨯=件，故2802100C 316(0)C 495P ξ===. 1180202100C C 160(1)C 495P ξ===. 2202100C 19(2)C 495P ξ===. 所以ξ的分布列为ξ0 1 2P316495 160495 1949519.解法一：（1）作FG DC ∥交SD 于点G ，则G 为SD 的中点.连结12AG FG CD∥，，又CD AB∥， 故FG AE AEFG∥，为平行四边形. EF AG ∥，又AG ⊂平面SAD EF ⊄，平面SAD .所以EF ∥平面SAD .（2）不妨设2DC =，则42SD DG ADG ==，，△为等 腰直角三角形.取AG 中点H ，连结DH ，则DH AG ⊥. 又AB ⊥平面SAD ，所以AB DH ⊥，而AB AG A =，所以DH ⊥面AEF .取EF 中点M ，连结MH ，则HM EF ⊥. 连结DM ，则DM EF ⊥.故DMH ∠为二面角A EF D --的平面角2tan 21DH DMH HM ∠===. 所以二面角A EF D --的大小为arctan 2. 解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系D xyz -.设(00)(00)A a S b ，，，，，，则(0)(00)B a a C a ，，，，，，00222a a b E a F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，， 02b EF a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，.取SD 的中点002b G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，则02b AG a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，.EF AG EF AG AG =⊂，∥，平面SAD EF ⊄，平面SAD ，所以EF ∥平面SAD .（2）不妨设(100)A ，，，则11(110)(010)(002)100122B C S E F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，. EF 中点EF MD EF MD EF MD M ⊥=⋅==0,(-1,0,1),),21,-21,21(-),21,21,21(又1002EA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，，EF EA EF EA ⊥=⋅0,，所以向量MD 和EA 的夹角等于二面角A EF D --的平面角..所以二面角A EF D --的大小为3arccos3. 20.解：（1）依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线34x y -=的距离， 即 4213r ==+.得圆O 的方程为224x y +=.（2）不妨设1212(0)(0)A x B x x x <，，，，.由24x =即得(20)(20)A B -，，，.设()P x y ，，由PA PO PB ，，成等比数列，得222222)2()2(y x y x y x +=+-⋅++，即 222x y -=.),2(),-(-2y x y x PB PA --⋅-=⋅22242(1).x y y =-+=-由于点P 在圆O 内，故222242.x y x y ⎧+<⎪⎨-=⎪⎩，由此得21y <.所以PB PA ⋅的取值范围为[20)-，.21.解：（1）由132342n n a a n --==，，，，…， 整理得 111(1)2n n a a --=--.又110a -≠，所以{1}n a -是首项为11a -，公比为12-的等比数列，得 1111(1)2n n a a -⎛⎫=--- ⎪⎝⎭（2）方法一： 由（1）可知302n a <<，故0n b >. 那么，221n n b b +-2211222(32)(32)3332(32)229(1).4n n n n n n n n n n a a a a a a a a aa ++=-----⎛⎫⎛⎫=-⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-又由（1）知0n a >且1n a ≠，故2210n n b b +->，因此1n n b b n +<，为正整数.方法二：由（1）可知3012n n a a <<≠，， 因为132n n a a +-=， 所以 111(3)322n n n n n a a b a a +++-=-=. 由1n a ≠可得33(32)2n n n a a a -⎛⎫-< ⎪⎝⎭， 即 n n n n a a a a ⋅-<22)23()23－（ 两边开平方得n n n a a a ⋅-<-23)23(a n 即 1n n b b n +<，为正整数.22.解：（1）求函数()f x 的导数；2()31x x f '=-.曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为：()()()y f t f t x t '-=-，即 23(31)2y t x t =--.（2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使23(31)2b t a t =--.于是，若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程32230t at a b -++=有三个相异的实数根.记 32()23g t t at a b =-++，则 2()66g t t at '=- 6()t t a =-.当t 变化时，()()g t g t '，变化情况如下表： t (0)-∞， 0 (0)a ， a ()a +∞，()g t '+ 0 - 0 + ()g t ↗ 极大值a b + ↘ 极小值()b f a - ↗由()g t 的单调性，当极大值0a b +<或极小值()0b f a ->时，方程()0g t =最多有一个实数根； 当0a b +=时，解方程()0g t =得302a t t ==，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根； 当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2at t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根. 综上，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根，则0()0.a b b f a +>⎧⎨-<⎩， 即 ()a b f a -<<.。