E
f
rf2
ln(
R rf
)
其中 Gm 为基体剪切模量，rf 为纤维半经，R为
纤维间距，l为纤维长度，R与纤维的排列方式和 V f 有关。
ET（短） ET (长)
2、Halpin-Tsai方程
EL Em
1

l d
LV
f
1 LV f
ET
1 2TV f
Em 1 TV f
Ef 1
L
Em Ef 2
c kl
)
其中
S
ijk
l
为Eshelby张量；
c kl
为因夹杂的出现而
形成的干扰应变；
0 kl
为无限远处的均匀应变；
C0 ijkl
为基体材料的弹性张量；
Cijkl 为夹杂的弹性张量。
联解上式可得到
* ij
。
由此可得：
E1 若求出
11
0 11
11
(
0 11
f
* 11
)
22 ，则：
Em
(1
CI ijkl
(
0 kl
kl )
C0 ijkl
(
0 kl
kl
* kl
)
将（*）代入该式则可求得特征应变，进 而求得夹杂内外的弹性场。
2、单向短纤维复合材料的弹性性能预测
设沿1方向作用均匀应力
0 11
求 E1 和 12
1
因为材料内部有：
3
ij
0 11
2a 2b
表示平均值。
2
11
0 11
只需求得材料内的平均应变 ij
c
c
c
c
a) aligned fiber model
b) tilted fiber model
单向短纤维复合材料的理想化模型
y
Fiber
y Interface
c
S
o
z
c
Matrix
l
x d
L
S
a) Longitudinal section
b) Transverse section
三维代表性体积单元
I ij
0 ij
ij
CI ijkl
(
0 kl
kl
)
C0 ijkl
(
0 kl
kl
* kl
)
其中，
* ij
称为等效特征应变。
由Eshelby的研究得出扰动应变和特征应变
的关系为：
ij
S * ijkl ij
（*）
其中四阶张量Sijkl称为Eshelby张量，仅与基 体的材料性能和夹杂物的形状和尺寸有关。如 果夹杂物的形状为椭球，则夹杂内的应变和应 力场是均匀的。关键在于如何求得特征应变的 值。利用等效夹杂理论有：
1、RVE的尺寸<<整体 尺寸，则宏观可看成一 点； 2 、 RVE 的 尺 寸 > 纤 维 直径；
3、RVE的纤维体积分数=复合材料的纤维体积 分数。
纤维体积分数：
Vf
vf v
v f —纤维总体积； v —复合材料体积
注意： 只有当所讨论问题的最小尺寸远大于代表性体 积单元时，复合材料的应力应变等才有意义。
ij
0 11
；而
ij
1 v
v
0 ij dv
该积分的值可由FEM进行数值计算，即有：
ij
1 V
n
( ij ) p V p
p 1
p为离散的单元号，n为单元总数。
只需求出了 11 和 22 ，即可得：
E1
0 11
11
12
22 11
对复合材料有效性能的计算均需要建立一定的
体积代表性单元，如：
计算E1时，取：
E1
2a b
计算E2时，取： E2 2
二、短纤维复合材料
（一）单向短纤维复合材料
只讨论纵向和横向模量（EL , ET ）。 1、修正复合法则（修正混合定律）
EL L E f V f EmVm
L
1
tanh(l )
2
l
2
其中 L 表示纤维长度有效因子。
1
2
2Gm
三、有效模量理论
1、边界条件：（不能随意！）
①均匀应变边界条件：
ui (s)
0 ij
x
j
②均匀应力边界条件： Ti (s) i0j nj
2、可证明的两个特性：
①在给定均匀应变边界下，有：
ij
0 ij
②在给定均匀应力边界下，有：
ij
0 ij
证明可见《复合材料力学》（周履等）P223。
3、有效模量理论
即可求得该材料的有效模量。
由Eshelby夹杂理论可得：
ij
0 ij
f
* ij
其中f为纤维体积分数；
* ij
即特征应变。
对椭圆形夹杂，Eshelby已经证明
* ij
在夹杂内部
是均匀的，而在夹杂以外为零，且有：
c ij
S * ijkl kl
Ci0jkl
(
0 kl
c kl
* kl
)
Cijkl
(
0 kl
* ij
*
ij
(
)
然后对其求对于θ得平均值：
* ij
1
2
2
d
0
2
0
*
ij
(
)d
在
0 11
作用下可求得
* 11
和
* 22
，进而求得
11 和 22 。最后可得：
Erandom
0 11
11
random
22 11
注意：上述计算均未计及纤维之间的互相作用。
三、数值计算方法（有限元法）
由前面的分析可知
微观的，涉及 组分属性和微 结构分布
模量、强度
组分的含量、 形状、结合 状态等
细观力学建 立二者之间 的关联
§8-2 有效模量理论
一、有效模量理论
1、宏观均匀、代表性体积单元
复合材料中的增强体 的几何分布可以是规 则的（如图），也可 以是不规则的。
总体来看，复合材料是宏观均匀的，因此 研究其某些性能时，只须取其一代表性体积单 元（representative volume element）来研究即 可代表总体，见图。 RVE的要求：
1 v
v 0
ij
dv
0 ij
而
ij
1 v
v
0 ijdv
则由
ij
C* ijkl
kl
，只需求得
ij
，即可求得
C* ijkl
此时，复合材料的应变能也为：
U 1 2
v
ij
ij
dv
1 2
Ci*jklij klv
3）有效模量的严格理论解
只有按上述两种均匀边界条件算得的有效 弹性模量一致，并可由RVE的解向邻近单元连 续拓展到整体时，所得的有效弹性模量才是严 格的理论解。
1）给定均匀应变边界条件
ui
(s)
0 ij
x
j
ij
1 v
v ij
dv
0 ij
而
ij
1 v
v
0 ijdv
ij
C* ijkl
kl
其中
C* ijkl
为复合材料的有效模量。
其应变能为： U 1 2
v
ij
ij
dv
1 2
Ci*jklij klv
2）给定均匀应力边界条件
Ti
(s)
n0
ij j
ij
1 vf
v f ij dv
vm v
1 vm
vm ij dv
( f )Vf ( m )Vm
所以有 1 f V f mVm
而 利用
1 E11 , f E f f , m Em m 1 f m
E1 E f V f EmVm
称为纵向有效模量的混合律。
（二）纵向泊松比 21 RVE的纵向应变关系式：
所有的计算都是基于上述代表性体积单元。 对随机分布短纤维复合材料的处理方法与前一 致。
不同的方法得到的结果不同，见下表。
复合材料 Vf
-Al2O3f/Al- 0 5.5Mg 10
15
20
-Al2O3f/Al- 0
5.5Zn
10
15
20
-Al2O3f/Al- 0
12Si
10
20
混合律 H-T方程 夹杂理论 FEM
第八章 复合材料细观力学基础
§8-1 引言
复合材料至少由两种材料构成，微观性质是不 均匀的。
前几章中复合材料“模量”和“强度”的含义是什么？
平均值，等效——均匀材料
复合材料细观力学就是在研究如何用一个均匀 材料的响应来代替非均匀复合材料的平均响应。
复合材料的结构分析涉及两个尺度：
宏观的，平 均意义的量
1、Eshelby等效夹杂理论
* kl
Pij
D-
异质夹杂
同质等效夹杂
* kl
：特征应变
设整个系统在无穷远边界处受均匀应力边
界条件，如没有夹杂，则D内的应力应变为
0 kl
;
C 0
0 1 0
kl ijkl ij
而实际的应力应变场还应该加上由夹杂引 起的扰动应力和扰动应变，即：
ij ij
则夹杂中的应力场可表示为
有效模量，结果为：
1、
E1 E f V f
EmVm