2010年天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分。

共150分。

考试时间120分钟。

第I 卷（选择题 共40分）注意事项：1. 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上，并将本人考试用条形码贴在答题卡的贴条形码处。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在试卷上的无效。

3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

一、单项选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1． 下列极限存在的是A. xx x 10)1(lim +→ B . 1115lim -→x xC . x x arctan lim ∞→ D . 11lim 31--→x x x2. 0=x 是函数xy 1cos=的 A ．连续点 B. 第二类间断点 C. 第一类可去间断点 D. 第一类非可去间断点3. 设函数()x f 在0x 处可导，且2)(0='x f ，则当00→-=∆x x x 时，()x f 在0x 处的微分dy 是A. 与x ∆等价的无穷小B. 与x ∆同阶的无穷小 C ．比x ∆低价的无穷小 D. 比x ∆高阶的无穷小4. 设函数)(x f 在),(+∞-∞内二阶可导，且)()(x f x f =-.如果当0<x 时，0)(,0)(>''<'x f x f ，则当0>x 时，有A ．0)(,0)(<''>'x f x f B. 0)(,0)(<''<'x f x f C. 0)(,0)(>''<'x f x f D. 0)(,0)(>''>'x f x f5.⎰=-dx x x 21lnA. C x x x +-ln 2B. C x x +-lnC ．C xx x ++-ln 2 D.C x x+ln 6. 已知向量→→b a ,满足,→→⊥b a 且,4,3==→→b a 则=-⨯+→→→→)()(b a b a A. 0 B. 12 C. 24 D. 30 7. 设)(x f 是以2为周期的周期函数，且⎩⎨⎧≤<-≤≤=,21,2,10,)(x x x xx f 则⎰=71)(dx x f A. 0 B. 1 C. 3 D. 6 8. 改变积分顺序：⎰⎰10),(xdy y x f dx =A ．⎰⎰1012),(y dx y x f dy B. ⎰⎰12),(y dx y x f dyC.⎰⎰10),(y dx y x f dyD.⎰⎰101),(ydx y x f dy9. 微分方程044=+'+''y y y 的通解为 A. xex C C 221)(-+B. xex C C 221)(+C. xe x x C x C 221)sin cos (-+D. xex x C x C 221)sin cos (+10.设)(x f 在),0[+∞上可导，其反函数为)(x g .若⎰=)(02)(x f x e x dt t g ，则=')1(fA. 0B. eC. 3eD. 2e2010年天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高 等 数 学第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）注意事项：1. 答第Ⅱ卷前，考生须将密封线内的项目填写清楚。

2．考生须用蓝、黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。

二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分，把答案填在 题中横线上.11. 求极限:=⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→211252lim x x x x12. 设b a ,为常数，且()3,1是曲线23bx ax y +=的拐点,则b a -的值为 13. 计算广义积分⎰+∞=+12)ln 31(1dx x x14. 过点)3,1,3(-且通过直线211132-=+=-z y x 的平面方程是 15. 设函数y x y x y x z arctan arctan 22-=，则=∂∂∂yx z 216. 微分方程xe y y x =+'的通解为三、解答题:本大题共8小题,共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）.求极限：)3ln()2ln(lim 23x x x e e +++∞→18．（本小题满分10分）设参数方程⎩⎨⎧-==)()1(,)(t f t y t f x 确定了函数)(x y y =，其中)(t f 为二阶可导函数，0)(≠'t f求dx dy 和22dx y d19．（本小题满分10分）设抛物线21x y -=与x 轴的交点为A 、B ，在它与x 轴所围成的平面区域内，以线段AB 为下底作内接等腰梯形ABCD （如图）.设梯形的上底DC 长为2x ，面积为S （x ） （1）求函数S （x ）的解析式;(2)求S （x ）的最大值20．（本小题满分10分）设函数),(y x z z =由方程22-=+ze e e yz x所确定.（1） 求偏导数yzx z ∂∂∂∂,及全微分dz ； （2） 求曲面),(y x z z =在点)2,1,1(--处的法线方程x21．（本小题满分10分）设二元函数⎰⎰+=Ddxdy y x f y y x f ),(sin ),(2，其中D 是由直线2,1,1=-==y x y x 所围成的平面区域，求二重积分⎰⎰+Ddxdy y x 22的值22．（本小题满分12分）设常数12ln ->a ，证明：当0>x 时，122+->ax x e x23．（本小题满分12分）设)(x f 在),(+∞-∞内满足x x f x f sin )()(+-=π，且),0[,)(π∈=x x x f ，求⎰ππ3)(dx x f24．（本小题满分12分）已知曲线)(x y y =通过点)3,2(，该曲线上任意一点处的切线被两坐标轴所截的线段均被切点所平分（1） 求曲线方程);(x y y =（2） 求该曲线与直线0,2,6===y x x y 所围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积2010年真题参考答案一、选择题1．D 2. B 3. B 4. D 5. B6. C7. C8. A9. A 10.C 二、填空题11. 2e 12.-6 13.31 14.742=--z y x 15. 2222yx y x +- 16. x C e y x += 三、解答题17.解: 原式=xx x xx e e e e 22333223lim +++∞→=23131121lim 2323=++--+∞→x x x e e 18. 解:)(t f dt dx '=， )()1()(t f t t f dt dy'-+= 于是1)()()()()1()(-+'=''-+=t t f t f t f t f t t f dx dy dtdx dxdydt d dx y d )(22==)(1)]([)()()()(2t f t f t f t f t f t f '+'''-''=32)]([)()()]([2t f t f t f t f '''-'19.解:（1）由⎩⎨⎧=-=,0,12y x y 解得.1±=x则A 、B 两点坐标分别为)0,1(-A 、)0,1(B ，且AB 的长度为2. 于是)1)(1()1)(22(21)(22x x x x x S -+=-+=，10<<x （2）123)(2+--='x x x S 令,0)(='x S 得1,3121-==x x （舍去）因为,04)26()(3131<-=--=''==x x x x S所以2732)31(=S 为极大值. 根据问题的实际意义，可知唯一的极大值2732=S 即为最大值. 20. 解:（1） 设 22),,(--+=ze e ez y x F yz x，故,2),,(2x x e z y x F ='yz y ze z y x F ='),,(，2),,(--='e ye z y x F yz z所以yzxyz x z x ye e e e ye e F F x z -=--=''-=∂∂--222222 yz yzyz yz z y ye e ze e ye ze F F y z -=--=''-=∂∂--22 dy yee ze dx ye e e dz yzyz yz x -+-=--2222 （2）,2)2,1,1(2-=--'e F x ,2)2,1,1(2-=--'e F y ,2)2,1,1(2--=--'e F z 取法线的方向向量为{},1,1,1-故法线方程为121211--=+=+z y x 21. 解:直线1-=x y 与2=y 的交点为（3，2），区域D 用不等式可表示为 11,20+≤≤≤≤y x y ，设⎰⎰=DM dxdy y x f ),(，其中M 为常数，则,sin ),(2M y y x f += 故⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=DDDdxdy M dxdy y dxdy y x f ,sin ),(2或 ⎰⎰⎰⎰=-D Ddxdy ydxdy M 2sin )1(根据二重积分几何意义有⎰⎰Ddxdy =平面区域D 的面积=2因而 ⎰⎰⎰⎰+-=-=21122sin sin y Ddx y dy dxdy y M)14(cos 21cos 21sin 21sin 202202222-==-=-=⎰⎰y dy y dy y y 22. 证明：设),12()(2+--=ax x e x f x则,22)(a x e x f x +-='2)(-=''x e x f .令,0)(=''x f 得.2ln =x当2ln <x 时，;0)(<''x f 当2ln >x 时，.0)(>''x f所以)(x f '在2ln =x 处取到最小值，因此.022ln 22)2(ln )(>+-='≥'a f x f 于是)(x f 为单调增加函数.故当0>x 时，有,0)0()(=>f x f 即.122+->ax x e x23. 解：⎰⎰⎰-=+-=ππππππππ333)(]sin )([)(dx x f dx x x f dx x f⎰⎰=-=πππ2020)()(dx x f dt t f x t⎰⎰+=πππ20)()(dx x f dx x f⎰⎰+-+=ππππ20]sin )([)(dx x x f dx x f2)()(20--+=⎰⎰ππππdx x f dx x f22)(22-=-=⎰ππdx x f24. 解：（1）设),(y x P 为曲线上任意一点，则该点的切线在x 轴，y 轴的截距分别为x 2，y 2，且切线斜率为.2002x y x y -=--由导数的几何意义，得.xydx dy -=于是⎰⎰-=.x dxy dy 故 C xy =由于曲线经过点（2，3），因此6=C .故所求曲线方程为6=xy(2)所求旋转体的体积为⎰+⋅⋅=2122)6(1631dx x V ππ.30)1(361221πππ=-+=x。