黑龙江省实验中学2020—2021学年上学期期末高二年级数学试题（理）考试时间：90分钟 总分：100分Ⅰ卷（选择题 共48分）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1．下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若21,1x x >>则”的否命题为“若21,1x x >≤则”B ．“1x =-”是“”的充要条件C ．命题“,x R ∃∈使得210x x ++<”的否定是“,x R ∀∈均有210x x ++<” D ．命题“若x y =,则cos x =cosy ”的逆否命题为真命题 2．a ∈R ，| a |<4成立的一个必要不充分条件是( )A ．a <4B ．| a |<3C ．a 2<16D ．0< a <33．直线x sin α-y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )A ．[0，π) B.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π 4.圆心在x 轴上，且过点(2,4)的圆与y 轴相切，则该圆的方程是( )A ．22100x y y ++=B ．01022=-+y y xC ．01022=++x y xD ．01022=-+x y x5．过双曲线2221(0)4x y b b-=>的左焦点的直线交双曲线的左支于A 、B 两点，且6AB =，这样的直线可以作2条，则b 的取值范围是（ ）A ．(]0,2 B ．()0,2 C．(D．(6．在平面直角坐标系Oxy 中，点B 与点(1,1)A -关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于13，则动点P 的轨迹方程为（ ）A ．2232x y -=-B ．2232(1)x y x -=≠±C ．2232x y -=D ．2232(1)x y x -=-≠± 7.在抛物线y 2＝8x 中，以(1，－1)为中点的弦所在直线的方程是( )A ．x －4y －3＝0B ．x ＋4y ＋3＝0C ．4x ＋y －3＝0D ．4x ＋y ＋3＝08．设1F ，2F 分别为双曲线22134x y -=的左，右焦点，点P 为双曲线上的一点.若12120F PF ∠=︒，则点P 到x 轴的距离为（ ）A．21B．21C．21D2230x x --=9．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则 OP →·FP →的最大值为( )A ．6B ．3C ．2D ．810．设1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=(0a >，0)b >的左、右焦点，若在右支上存在点A ，使得点2F 到直线1AF 的距离为2a ，则该双曲线的离心率的取值范围是 （ ）A． B ．(1,2) C．)+∞ D ．(2,)+∞11.三棱锥P-ABC 中，PA ⊥平面ABC，2,3,3BAC AP AB π∠===Q 是BC 边上的一个动点，且直线PQ 与面ABC 所成角的最大值为,3π则该三棱锥外接球的表面积为( )A ．45πB ． 63πC ．57πD ．84π12.在抛物线24y x =上有一动点P ,(2,3)A ，记P 到y 轴的距离为d ，则PA d -（ ）A ．有最大值无最小值B ．有最小值无最大值C ．既有最大值也有最小值D ．无最大值也无最小值Ⅱ卷（非选择题 共52分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13.已知点在不等式组2010220x y x y -≤-≤+-≥⎧⎪⎨⎪⎩表示的平面区域内运动，则的最大值是 .14. 若坐标原点到抛物线2mx y =的准线距离为2，则=m .15. 设椭圆()222210x y a b a b+=>>的焦点为12,F F ，P 是椭圆上一点，且123F PF π∠=，若12F PF ∆的外接圆和内切圆的半径分别为,R r ，当4R r =时，椭圆的离心率为 .16. 已知圆22:(1cos )(2sin )1M x y θθ--+--=，直线02:=+--k y kx l ，下面五个命题：①对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点； ②存在实数k 与θ，直线l 和圆M 相切；③存在实数k 与θ，直线l 和圆M 相离；④对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与和圆M 相切； ⑤对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与和圆M 相切.其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）.三、解答题（本大题共3题，共36分） 17．（本小题满分12分）如图,四棱锥S ABCD -的底面是正方形, SD ⊥平面ABCD ,2,2SD a AD a ==,点E 是SD 上的点,且.（1）求证:对任意的,都有. （2）设二面角D AE C --的大小为,直线BE 与平面ACE 所成的角为,若cos 3sin θ=φ,求的值.18．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>长轴是短轴的2倍，点(2，1)在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与圆O ：222x y +=相切，切点在第一象限，与椭圆C 相交于P ，Q 两点，若△OPQ 的面积为63,求直线l 的方程.19．（本小题满分12分）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过点,02p A ⎛⎫-⎪⎝⎭的直线与抛物线在第一象限相切于点B ，点B 到坐标原点O 的距离为25. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点()8,0M 任作直线l 与抛物线C 相交于P ，Q 两点，请判断x 轴上是否存点T ，使得点M 到直线PT ，QT 的距离都相等.若存在，请求出点T 坐标；若不存在，请说明理由.理科数学答案(02)DE a λλ=<≤(0,2]λ∈AC BE ⊥θϕλ一、选择题二、填空题13. 2 14. 81± 15. 3216. ①②④ 三、解答题17.（1）证明：底面ABCD 是正方形AC BD ⊥SD ⊥平面,SD AC,AC ;ABCD SBD BE SBD ⊥∴⊥⊂面面（2）解：以D 为坐标原点，,,DA DC DS 为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系D -xyz ，则))(),0,0,,0,,(0,0),0,0),(0,0,ABC D E a λ),2,2(),0,2,2(),,0,2(a a a a a a a λλ-=-=-=∴设面ACE 的法向量为),,(z y x =，)2,,(02202λλλ=∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+-=⋅n ay ax n az ax n∴面ADE 的一个法向量)0,2,0(a DC =4222sin ,22cos 222+⋅+==+==∴λλλϕλλθ24222322sin 3cos 222=∴+⋅+=+∴=λλλλλλϕθ18.解：（1）由题意椭圆C 倍，点(2，1)在椭圆C 上，AC BE ⊥可得22222411a a b c a b⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪+=⎩，解得26a =，23b =，所以椭圆C 的方程为22163x y +=.（2）因为切点在第一象限，直线的斜率存在，不妨设直线PQ 的方程为y kx m =+，即0kx y m -+=，且0k <，0m >，=2222m k =+，联立22026kx y m x y -+=⎧⎨+=⎩，得222(12)4260k x kmx m +++-=， 设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，则有122412km x x k +=-+，21222612m x x k-=+，所以PQ ==，点O 到直线PQ，可得12OPQS ∆==，解得22k =，或218k =， 当22k =时，28m =，当218k =时，294m =，所以k =m =4k =-，2m =，则直线方程为y =+342y x =-+. （1）设直线AB 的方程为()02p y k x k ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭， 联立方程组22,,2y px p y k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩消去x 得，2220ky py kp -+=， 由222440p k p ∆=-=，因为0p >，解得1k =（1k =-舍），所以由2220y py p -+=可得y p =，所以2p x =，所以B 点坐标为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，则OB ==，解得4p =， 故抛物线C 的标准方程为28y x =.（2）设直线:8l x ny =+，假设存在这样的点T ，设()11,P x y ，()22,Q x y ，点(),0T t ，联立方程28,8,y x x ny ⎧=⎨=+⎩消去x 整理得28640y ny --=，可得128y y n +=，1264y y =-，若点M 到直线PT ，QT 的距离相等，则直线PT ，QT 的斜率互为相反数， 有12121212088PT QT y y y y k k x t x t ny t ny t+=+=+=--+-+-（先假设1x t ≠，2x t ≠）， 可得()()1221880y ny t y ny t +-++-=，整理得，()()1212280ny y t y y +-+=，得2(64)(8)80n t n ⨯-+-⨯=对任意的n 都成立，得8t .显然18x ≠-且28x ≠-.故存在这样的点T 的坐标为()8,0-.。